“微元法”高考物理专题复习建议

刘小兵

摘 要：在研究物理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法，称为“微元法”。这是物理研究中非常重要的方法，在高考中屡屡出现，从应用来看，可以分为选取微元作为研究对象、微元求导和微元求和等三个方面。本文归纳总结了“微元法”解题步骤，力图通过最简单的例子和规范的解题过程引领示范，并且运用各种图象让物理情景形象生动地呈现，易于学生理解和提升。

关键词：微元法；变力；变加速度；化变为恒；化曲为直

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）9（S）-0039-5

在处理和研究物理问题时，将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直），从其中抽取某一微小单元（研究对象或研究过程）进行研究，从而找到被研究对象或被研究过程遵循的物理规律，这种方法称为“微元法”。从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。这是一种深刻的思维方法，化变为恒，化曲为直，通过分割逼近，获得“微元”，从而可以运用中学阶段的解题手段，再累加求和（或求商求导），最终达到了求解整体的目的。

人教版课本中多处涉及到了“微元思想”，由于散落在各册教材中，学生印象比较模糊，因此在总复习专题复习时以“微型例题”形式总结。如推导v-t图的面积表示位移、研究重力做功、推导向心加速度等，都用到了“微元法”。

微型例题1 试用“微元法”推导说明v-t图像的面积表示位移。

解析 第一步：如图1， 在匀速直线运动的v-t图象中， 图象与时间轴所围的面积表示位移x=vt。

可以把整个匀变速直线运动的运动过程分成几个比较小的时间段，把每一小段时间内的匀变速运动粗略地看成是匀速直线运动（化变为恒）。然后把运动物体在每一个时间间隔内的位移（即小矩形的面积）都表示出来，最后求和，就得到了匀变速直线运动的总位移。

第二步：从图2看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移。

第三步：选取的时间段Δt越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图3。

当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象的面积。

第四步：如果把整个运动过程划分得非常非常细（微元法），很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于如图4所示的梯形的面积。

微型例题2 已知物体以O为圆心，R为半径，做角速度为ω的匀速圆周运动，求物体的向心加速度的大小。

解析 如图5所示，物体的运动速度由v1变到v2，速度变化为Δv=v2-v1（矢量差）。

可见，课本中的“微元法”“随风潜入夜，润物细无声”，并且不特别指明方法——“微元法”。我们在总复习时应该加以提炼和归纳，便于学生备考。本文分为三种题型：题型一、以“微元”为研究对象；题型二、微元求导；题型三、微元求和。

题型一、以“微元”为研究对象

1.选取质量元△m

一旦我们遇到“质量元”的时候规律都是相同的，我们可以将其分解为无数个微小的“质量元”，我们选取其中之一作为研究对象，写出表达式就能使得问题迎刃而解。

例1 如图7所示，加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面之间的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度为多大？

解析 我们需要从水面上提取所需的“水元”，其质量为△m，其受力情况如图7所示，合力F合=△mgtanθ， 根据牛顿第二定律可知F合=△ma，则a=gtanθ，方向与启动方向相同。

例2 证明，如图8，建筑工地上的黄砂，无论怎样堆，其锥角保持不变。假如圆锥的底周长为l，高为h，求黄砂之间的动摩擦因数（假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）。

2.选取时间元Δt

例3 高压采煤水枪出口的横截面积为S，水的射速为v，水射到煤层上后速度变为零，若水的密度为ρ，试求水对煤的冲击力。

解析 如图10所示，取很小的一小段时间Δt内冲到煤层的一小段水柱为研究对象，设其质量为Δm，则Δm=ρSvΔt。

3.选取电量元Δq

例4 如图11所示，一个均匀的带电圆环，带电量为Q，半径为R，圆心为O 点。通过O 点作垂直于圆环面的直线，在此线上取一点P，P到O的距离为R，则带电圆环在P点处产生的电场强度多大？方向怎样？

4.选取圆弧元ΔS

例5 如图12所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？

解析 由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作用点的轨迹分成无限多小段ΔS1、ΔS2、ΔS3…，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。

运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功W1=FΔS1，W2=FΔS2，W3=FΔS3，…。则转动一周过程中推力做的功W=W1+W2+W3+…=F∑ΔS=2πFL。

题型二、微元求导

例6 （2012年江苏高考）一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比。图13的4个选项描绘了皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是（ ）

题型三、微元求和

对于变力作用的物理过程，有时用能量无法求解。此时可以考虑用“微元法求和”。其基本思路是：第一步：确定研究对象，写出瞬时表达式；第二步：取一小段时间Δt（时间极短，加速度、速度都来不及变）；第三步：换元，使之具有“平权性”，才能正确合理求和；第四步：对各小段求和；第五步：写出解答，得到结果。

例8 一质量为m 的雨滴，从距地面h 高处由静止开始下落，假设雨滴在运动中受到的空气阻力跟速度的一次方成正比，即有f=kv（k为已知常数），已知雨滴落地前已开始做匀速运动，当地的重力加速度为g。试问：

（1）雨滴的运动时间；

（2）定性画出v-t图、a-t图。

解析：（1）（第一步：写瞬时式）

参考文献：

[1]陈锋.窥一斑而见全豹——微元法在中学物理中的应用[J].物理教学探讨，2012，（3）：46.

[2]黄皓燕.微元思想在物理学习中的应用[J].物理教师，2009，（5）：51.

[3]王化银.推进微元方法在物理教学中的应用[J].物理通报，2013，（3）：9.（栏目编辑 罗琬华）

摘 要：在研究物理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法，称为“微元法”。这是物理研究中非常重要的方法，在高考中屡屡出现，从应用来看，可以分为选取微元作为研究对象、微元求导和微元求和等三个方面。本文归纳总结了“微元法”解题步骤，力图通过最简单的例子和规范的解题过程引领示范，并且运用各种图象让物理情景形象生动地呈现，易于学生理解和提升。

关键词：微元法；变力；变加速度；化变为恒；化曲为直

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）9（S）-0039-5

在处理和研究物理问题时，将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直），从其中抽取某一微小单元（研究对象或研究过程）进行研究，从而找到被研究对象或被研究过程遵循的物理规律，这种方法称为“微元法”。从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。这是一种深刻的思维方法，化变为恒，化曲为直，通过分割逼近，获得“微元”，从而可以运用中学阶段的解题手段，再累加求和（或求商求导），最终达到了求解整体的目的。

人教版课本中多处涉及到了“微元思想”，由于散落在各册教材中，学生印象比较模糊，因此在总复习专题复习时以“微型例题”形式总结。如推导v-t图的面积表示位移、研究重力做功、推导向心加速度等，都用到了“微元法”。

微型例题1 试用“微元法”推导说明v-t图像的面积表示位移。

解析 第一步：如图1， 在匀速直线运动的v-t图象中， 图象与时间轴所围的面积表示位移x=vt。

可以把整个匀变速直线运动的运动过程分成几个比较小的时间段，把每一小段时间内的匀变速运动粗略地看成是匀速直线运动（化变为恒）。然后把运动物体在每一个时间间隔内的位移（即小矩形的面积）都表示出来，最后求和，就得到了匀变速直线运动的总位移。

第二步：从图2看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移。

第三步：选取的时间段Δt越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图3。

当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象的面积。

第四步：如果把整个运动过程划分得非常非常细（微元法），很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于如图4所示的梯形的面积。

微型例题2 已知物体以O为圆心，R为半径，做角速度为ω的匀速圆周运动，求物体的向心加速度的大小。

解析 如图5所示，物体的运动速度由v1变到v2，速度变化为Δv=v2-v1（矢量差）。

可见，课本中的“微元法”“随风潜入夜，润物细无声”，并且不特别指明方法——“微元法”。我们在总复习时应该加以提炼和归纳，便于学生备考。本文分为三种题型：题型一、以“微元”为研究对象；题型二、微元求导；题型三、微元求和。

题型一、以“微元”为研究对象

1.选取质量元△m

一旦我们遇到“质量元”的时候规律都是相同的，我们可以将其分解为无数个微小的“质量元”，我们选取其中之一作为研究对象，写出表达式就能使得问题迎刃而解。

例1 如图7所示，加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面之间的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度为多大？

解析 我们需要从水面上提取所需的“水元”，其质量为△m，其受力情况如图7所示，合力F合=△mgtanθ， 根据牛顿第二定律可知F合=△ma，则a=gtanθ，方向与启动方向相同。

例2 证明，如图8，建筑工地上的黄砂，无论怎样堆，其锥角保持不变。假如圆锥的底周长为l，高为h，求黄砂之间的动摩擦因数（假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）。

2.选取时间元Δt

例3 高压采煤水枪出口的横截面积为S，水的射速为v，水射到煤层上后速度变为零，若水的密度为ρ，试求水对煤的冲击力。

解析 如图10所示，取很小的一小段时间Δt内冲到煤层的一小段水柱为研究对象，设其质量为Δm，则Δm=ρSvΔt。

3.选取电量元Δq

例4 如图11所示，一个均匀的带电圆环，带电量为Q，半径为R，圆心为O 点。通过O 点作垂直于圆环面的直线，在此线上取一点P，P到O的距离为R，则带电圆环在P点处产生的电场强度多大？方向怎样？

4.选取圆弧元ΔS

例5 如图12所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？

解析 由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作用点的轨迹分成无限多小段ΔS1、ΔS2、ΔS3…，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。

运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功W1=FΔS1，W2=FΔS2，W3=FΔS3，…。则转动一周过程中推力做的功W=W1+W2+W3+…=F∑ΔS=2πFL。

题型二、微元求导

例6 （2012年江苏高考）一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比。图13的4个选项描绘了皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是（ ）

题型三、微元求和

对于变力作用的物理过程，有时用能量无法求解。此时可以考虑用“微元法求和”。其基本思路是：第一步：确定研究对象，写出瞬时表达式；第二步：取一小段时间Δt（时间极短，加速度、速度都来不及变）；第三步：换元，使之具有“平权性”，才能正确合理求和；第四步：对各小段求和；第五步：写出解答，得到结果。

例8 一质量为m 的雨滴，从距地面h 高处由静止开始下落，假设雨滴在运动中受到的空气阻力跟速度的一次方成正比，即有f=kv（k为已知常数），已知雨滴落地前已开始做匀速运动，当地的重力加速度为g。试问：

（1）雨滴的运动时间；

（2）定性画出v-t图、a-t图。

解析：（1）（第一步：写瞬时式）

参考文献：

[1]陈锋.窥一斑而见全豹——微元法在中学物理中的应用[J].物理教学探讨，2012，（3）：46.

[2]黄皓燕.微元思想在物理学习中的应用[J].物理教师，2009，（5）：51.

[3]王化银.推进微元方法在物理教学中的应用[J].物理通报，2013，（3）：9.（栏目编辑 罗琬华）

摘 要：在研究物理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法，称为“微元法”。这是物理研究中非常重要的方法，在高考中屡屡出现，从应用来看，可以分为选取微元作为研究对象、微元求导和微元求和等三个方面。本文归纳总结了“微元法”解题步骤，力图通过最简单的例子和规范的解题过程引领示范，并且运用各种图象让物理情景形象生动地呈现，易于学生理解和提升。

关键词：微元法；变力；变加速度；化变为恒；化曲为直

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）9（S）-0039-5

在处理和研究物理问题时，将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直），从其中抽取某一微小单元（研究对象或研究过程）进行研究，从而找到被研究对象或被研究过程遵循的物理规律，这种方法称为“微元法”。从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体的方法。这是一种深刻的思维方法，化变为恒，化曲为直，通过分割逼近，获得“微元”，从而可以运用中学阶段的解题手段，再累加求和（或求商求导），最终达到了求解整体的目的。

人教版课本中多处涉及到了“微元思想”，由于散落在各册教材中，学生印象比较模糊，因此在总复习专题复习时以“微型例题”形式总结。如推导v-t图的面积表示位移、研究重力做功、推导向心加速度等，都用到了“微元法”。

微型例题1 试用“微元法”推导说明v-t图像的面积表示位移。

解析 第一步：如图1， 在匀速直线运动的v-t图象中， 图象与时间轴所围的面积表示位移x=vt。

可以把整个匀变速直线运动的运动过程分成几个比较小的时间段，把每一小段时间内的匀变速运动粗略地看成是匀速直线运动（化变为恒）。然后把运动物体在每一个时间间隔内的位移（即小矩形的面积）都表示出来，最后求和，就得到了匀变速直线运动的总位移。

第二步：从图2看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移。

第三步：选取的时间段Δt越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图3。

当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象的面积。

第四步：如果把整个运动过程划分得非常非常细（微元法），很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于如图4所示的梯形的面积。

微型例题2 已知物体以O为圆心，R为半径，做角速度为ω的匀速圆周运动，求物体的向心加速度的大小。

解析 如图5所示，物体的运动速度由v1变到v2，速度变化为Δv=v2-v1（矢量差）。

可见，课本中的“微元法”“随风潜入夜，润物细无声”，并且不特别指明方法——“微元法”。我们在总复习时应该加以提炼和归纳，便于学生备考。本文分为三种题型：题型一、以“微元”为研究对象；题型二、微元求导；题型三、微元求和。

题型一、以“微元”为研究对象

1.选取质量元△m

一旦我们遇到“质量元”的时候规律都是相同的，我们可以将其分解为无数个微小的“质量元”，我们选取其中之一作为研究对象，写出表达式就能使得问题迎刃而解。

例1 如图7所示，加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面之间的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度为多大？

解析 我们需要从水面上提取所需的“水元”，其质量为△m，其受力情况如图7所示，合力F合=△mgtanθ， 根据牛顿第二定律可知F合=△ma，则a=gtanθ，方向与启动方向相同。

例2 证明，如图8，建筑工地上的黄砂，无论怎样堆，其锥角保持不变。假如圆锥的底周长为l，高为h，求黄砂之间的动摩擦因数（假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）。

2.选取时间元Δt

例3 高压采煤水枪出口的横截面积为S，水的射速为v，水射到煤层上后速度变为零，若水的密度为ρ，试求水对煤的冲击力。

解析 如图10所示，取很小的一小段时间Δt内冲到煤层的一小段水柱为研究对象，设其质量为Δm，则Δm=ρSvΔt。

3.选取电量元Δq

例4 如图11所示，一个均匀的带电圆环，带电量为Q，半径为R，圆心为O 点。通过O 点作垂直于圆环面的直线，在此线上取一点P，P到O的距离为R，则带电圆环在P点处产生的电场强度多大？方向怎样？

4.选取圆弧元ΔS

例5 如图12所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？

解析 由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作用点的轨迹分成无限多小段ΔS1、ΔS2、ΔS3…，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。

运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功W1=FΔS1，W2=FΔS2，W3=FΔS3，…。则转动一周过程中推力做的功W=W1+W2+W3+…=F∑ΔS=2πFL。

题型二、微元求导

例6 （2012年江苏高考）一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比。图13的4个选项描绘了皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是（ ）

题型三、微元求和

对于变力作用的物理过程，有时用能量无法求解。此时可以考虑用“微元法求和”。其基本思路是：第一步：确定研究对象，写出瞬时表达式；第二步：取一小段时间Δt（时间极短，加速度、速度都来不及变）；第三步：换元，使之具有“平权性”，才能正确合理求和；第四步：对各小段求和；第五步：写出解答，得到结果。

例8 一质量为m 的雨滴，从距地面h 高处由静止开始下落，假设雨滴在运动中受到的空气阻力跟速度的一次方成正比，即有f=kv（k为已知常数），已知雨滴落地前已开始做匀速运动，当地的重力加速度为g。试问：

（1）雨滴的运动时间；

（2）定性画出v-t图、a-t图。

解析：（1）（第一步：写瞬时式）

参考文献：

[1]陈锋.窥一斑而见全豹——微元法在中学物理中的应用[J].物理教学探讨，2012，（3）：46.

[2]黄皓燕.微元思想在物理学习中的应用[J].物理教师，2009，（5）：51.

[3]王化银.推进微元方法在物理教学中的应用[J].物理通报，2013，（3）：9.（栏目编辑 罗琬华）