具有干扰和离散时滞的神经网络稳定性分析

杨渺渺，钟守铭

(电子科技大学数学科学学院，四川成都611731)

具有干扰和离散时滞的神经网络稳定性分析

杨渺渺，钟守铭

(电子科技大学数学科学学院，四川成都611731)

研究了具有干扰时滞的神经网络渐进稳定性，通过构造合适的Lyapunov函数，运用线性矩阵不等式、零等式、凸函数等方法，控制Lyapunov导函数的上界，从而得到系统渐近稳定性的条件.最后的数值分析验证了结论的有效性.

神经网络；干扰时变时滞；LMI（Linear Matrix Inequalities）（线性矩阵不等式）；渐近稳定性

0 引言

近年来，尽管神经网络在现实生活有了广泛应用[1-4]，但神经网络的信号在传输过程中时滞是不可避免的，它能使系统产生震荡，进而影响系统的稳定性.因此有众多学者研究具有时滞的神经网络[3-4]，而且系统常受到离散因素的干扰及系统本身存在延时，神经网络的稳定性有变化.现实应用又须建立在神经网络系统的稳定性基础上，所以对具有干扰和离散时滞的神经网络稳定性的研究尤为重要.之前有很多学者对时滞神经网络的讨论，但这些文章都得到较弱的保守性准则[5-8].也就是说这些结果的保守性在某种程度上还有改善的空间.

1 系统的描述及预备知识

考虑如下神经网络模型

x（·）=[x1（·），x2（·），…，xn（·）]T是神经元状态向量，C=diag{c1，c2，…，cn}＞0其中，ci＞0，i=1，2，…，n，A∈Rn×n，B∈Rn×n，g（x（·））=[g（x1（·）），g（x2（·）），…，g（xn（·））]T是神经元激活函数，τ（t）为连续的时变时滞，满足

这里τ，d为常数.

假设A[9]系统（1）中每个gi（·），i=1，2，…，n有界且满足如下不等式

其中，γi，i=1，2，…，n是已知的实常数.假设A保证了系统（1）至少存在一个平衡点.

引理1（Jensen[10]不等式）对任意对称正定矩阵M∈Rm×m，标量h2＞h1＞0，向量函数ω:[h1，h2]→Rm是可积的，则有如下不等式成立

引理2[11]由假设可得下列不等式成立：

2 主要结果

定理1已知Γ=diag（γ1，γ2，…，γn），d≥0，若存在正定矩阵P，Qi（i=1，2，…，6），Ri（i=1，…，4），，正定对角矩阵M1，M2满足E=e8×8＜0，F=f8×8＜ 0，G=g8×8＜0其中

系统（1）渐进稳定的.

证明：选择下面的Lyapunov-Krasovkii泛函来得出系统稳定性结论.

（1）0≤τ（t）≤τ/3，由[11]可得，

（2）τ/3≤τ（t）≤2τ/3时，由[11]可得

（3）2τ/3≤τ（t）≤τ时，由[11]可得

为了得到较弱的稳定性结果，我们添加下列恒等零不等式，其中M1，M2为正定对角矩阵

（1）当0≤τ（t）≤τ/3，我们可以得到V（xt）≤ζT（t）Eζ（t）≤0，

（2）当τ/3≤τ（t）≤2τ/3，我们可以得到V（xt）≤ζT（t）Fζ（t）≤0，

（3）当2τ/3≤τ（t）≤τ，我们可以得到V（xt）≤ζT（t）Gζ（t）≤0，

其中，ζT（t）=[x（t），f（x（t）），f（x（t-τ（t））），x（t-τ/3），x（t-2τ/3），x（t-τ），，因此，可以得到.由文献[10]中方程渐近稳定的定理知模型（1）是渐近稳定的.

注1.本文把τ分成三个部分[0，τ/3]，[τ/3，2τ/3]，[2/3τ，τ]而不是[12]中的[0，τ/2]，[τ/2，τ]使计算更精确，得到较弱的稳定性.

数值仿真：考虑系统模型（1）的参数如下.

Γ＝diag（0.2，0.2，0.2），d=τ.

对（6）式运用Matlab中的LMI工具箱，解得表1.

表1

根据以上参数我们可以看到，在本篇文章中时滞的最大值比其他同类文章较大些，这就说明本文的研究方法比参考文献[8-13]的结果要好.因此，数值验证了结论的有效性和先进性.

3 结论

本文考虑了一类具有干扰和离散时滞的递归神经网络，通过构造含有二阶积分Lyapunov泛函，运用Jensen不等式，将时变时滞进行若干份划分精确计算，得到模型稳定性准则.在以往的研究中，其他学者把τ二等分，而本文进行三等分，精确了划分区间，从而得出的结果更精确，本文还运用零矩阵，凸函数等方法，给出渐近稳定的充分条件，并通过线性矩阵不等式来表示，便于求解.最后通过一个数值举例可以看出本文的方法比参考文献[8-13]得到更好的结果，验证了结论的可行性.

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Stability Analysis of Neural Networks w ith Discrete and Distributed Time-Varying Delay

YANG Miaomiao，ZHONG Shouming
（School of Mathematics Science，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，Sichuan，China）

In this paper，the problem of stability analysis of neural networks with discrete and distributed time-varying delay is investigated.By constructing a suitable Lyapunov functional and applying the LMI formula,zero equalities，reciprocally convex approach tighter upper bound of the derivative of the Lyapunov functional，a new stability criterion is derived.Finally，numerical examples are provided to demonstrate its effectiveness.

neural networks；distributed time-varying delay；linear matrix inequalities（LMI）；asymptotically stable

O 175.1

A

1001-4217（2015）01-0034-06

2014-06-25

杨渺渺（1989-），女，硕士研究生，主要研究方向：神经网络的稳定性. E-mail：miaomiaoyang1989@163.com