学生对数学产生误解的根源探究

◆ 武汉小学 李 凯

学生对数学产生误解的根源探究

◆ 武汉小学 李 凯

数学作业中一些离奇的错误背后往往隐藏着学生对数学大大小小的误解，反映出学生对数学的认识存在片面、混淆甚至是错误。教学中如果能帮助学生及时纠正这些误解，学生就更容易建立对数学知识的正确认识，教学也更有效能。

数学学习；根源探究；教学效能；误解

学生做数学题出错的原因可归结为没听讲、粗心、不动脑筋这几条，但是对于一些学生来说，这却有点冤枉他们了。数学作业中一些离奇的错误背后往往隐藏着学生对数学大大小小的误解，反映出学生对数学的认识存在片面、混淆甚至是错误。教学中如果能帮助学生及时纠正这些误解，学生就更容易建立对数学知识的正确认识，教学也更有效能。

一、学生的误解是相关学习经验的外化应予以足够重视

（一）学生自身学习经验差异性导致对数学的误解

课堂教学是教师与学生、学生与学生之间相互参与的过程，学生的课堂学习往往是外部经验（源于教师或其他学生）和自身内部经验相互作用的结果，并最终形成对某一数学知识的理解，生成新的经验。在这一过程中，由于学生内部经验的差异导致学生对数学形成误解。例如，教学解方程时会发现少数学生对于形如“a+x=b”的方程会出现这样的错误：

（图一）

乍看上去，学生是没有听讲不动脑筋，这么简单的题为什么会做成这样呢？简直莫名其妙。但是，如果耐心询问学生，可以发现他们有着自己的道理。学生根据例题的解答（图二）理解利用等式的性质解方程的方法，并直观地认为只能消去等式左边的第二数，已有的经验会被学生合情推理到类似的题目中，就出现了上面的错误。由此可见，学生的错误是基于一种错误的直观经验造成的，同一个教学过程有的学生根据之前天平的演示理解方程的解法，有的学生则根据外在形式来理解方程的解法，不同的经验得到不同的认识。

（二）尊重学生就应该重视学生的学习经验

要做到尊重学生，那么学生在学习过程中的多种经验都应该得到应有的重视，正确的经验要予以肯定，错误的经验要引导学生进行辨析。一般情况下，在学生没有否定自身错误认识的时候是难以坚定接受正确认识的。我们常看到学生会在正确与错误的方法之间摇摆，一个重要原因就是学生对于正确方法并不坚定，也可以说，误解所带来的影响没有得到根本解决。例如有一道题（如图三），虽经老师反复讲解和引导，学生始终把算式列成“100÷1”。问题的症结在于学生根据以往的经验片面地认为除法算式应该是较大数在前，较小数在后，从心底里不认可“1÷100”这样的算式。

从纵向来看，学生个体对于数学知识的误解会不断积累，终将对后续的数学学习造成巨大隐患；从横向来看，错误的认知在班级中会怎样分布没有特定规律可循。这样客观上会造成错误的经验和认知在班级内不断扩散和积累，影响之后的教学效能。既然差异化的学习经验让学生产生各种误解是无法避免的，所以，在教学中就应该认真研究学生错误背后的深层原因，及时纠正学生的误解。

二、正确认识误解产生的根源是教师课后反思并改进教学的重要依据

（一）探寻误解产生的根源可以让教师反思问题的本质

学生的错误容易被外在表象所掩盖，尤其是在中低年段，学生掌握的数学知识有限，可以猜测出正确答案。教师刚指出一个错误，学生就知道该怎样订正了，出错的原因似乎只是粗心而已，对数学的误解并未真正消除。当学生在后续学习中遇到类似问题时这些误解又会继续困扰学生。

例如教学大于号和小于号时为了方便学生分辨和运用，不少教师都会用比较形象的方法帮助学生记忆，如“开口方向朝大数”、“开口向左是大于号，开口向右是小于号”等等。大部分学生能较好掌握，可是一些学生总是弄混，甚至到了三四年级还出错。经耐心询问才知道出错的原因是把比大小的方法和数学符号的用法相混淆了。如图（四）中既可以说桃子比香蕉多又可以说香蕉比桃子少，从左往右比或是从右往左比都可以，但是要把比较的结果记录下来就必须符合人们的书写和阅读习惯，也就是说必须从左往右来读写。因此如果桃子的个数写在左边就要用大于号：“3〉2”，如果桃子的个数写在右边就要用小于号：“2〈3”。

可见数学符号是数学的语言，它既具有数学的属性也要符合阅读习惯，教学中只偏重符号的数学内涵是不够的。通过探寻学生误解的根源，教师能从不同的角度来思考问题，有助于发现问题的实质。

（二）要抓住中学生误解的根源改进教学提高效能

学生的正确率是评价教学效能的重要参照，教师会针对学生的普遍错误，采用判断、找错误、改错等方法帮助学生建立正确的认识，这些都是行之有效的方法。除此以外，对于基于误解产生的错误还需要引导学生从数学的角度思考问题的本质，从根本上纠正错误的认识，提高教学效能。

例如在低年级教学“已知比一个数多几（或少几）的数，求原数”的问题，教师大都会提醒学生不能见到“多”字就加或见到“少”字就减，要依据问题中的意义来列算式。但是这样的对比方法对于低年级的学生来说较抽象，课堂上教师可以采取游戏的方式将两种问题用游戏的方式呈现，学生在游戏的过程体验两个问题的不同。即便学生不能体会到这样的区别，但也能直观感受到大小的区别，也就是说在解决这类问题时不用先忙着列算式，而要先区分谁大谁小，有了区分大小的过程就找准了解决问题的关键。

三、帮助学生发现误解产生的根源有利于学生的自主学习

（一）理性剖析误解的根源加深学生对数学的正确认识

理性剖析误解产生的根源就是为了加深学生对数学的正确认识，也就说知道为什么对和知道为什么错是同等重要的，它们是一个问题的两个方面，都反映出学生对数学知识的认识是否正确。

例如，学生在学习估算时认识了约等号，进而在学习“四舍五入法”时强化了约等号的作用，一些学生就从形式上将取近似数的方法与约等号的用法进行了等同，沿着这种错误认识会发生许多问题。其实约等号只是一种用来表示两个数量近似相等的关系符号，它与取近似数的方法没有直接联系，无论是用怎样的法得到的数据，只要两个量相等就应该用等号，不相等就可以用约等号。

（二）辨析误解的根源有利于学生用数学的方式进行思考

数学学习是一个螺旋上升的过程，数学知识之间有着内在的逻辑联系，之前的学习基础是后续学习的保障。同时数学也是一门强调思维的学科，在数学学习中常需要严谨的数学思考与已有的数学知识相配合得到新的数学知识。如果对已有的数学知识缺乏正确认识，学生的思维探究就容易被引向歧路，进而加大对数学的误解。教的真正目的是不教，从旧知正确推导出新知的前提之一就是对已有数学知识的本质上的理解和认识，帮助学生辨析出错的根源有利于之后数学探究活动的开展。

有人说垃圾是放错了位置的财富，此话也可以套用到这里。对待学生在数学上的误解既不能回避也不能简单处理，教师需要了解学生的真实想法，探究产生误解的根源，反思自身教学中的问题，将学生的误解变成提高教师自身数学素养和教学效能的财富。

[1]唐全腾.《教师不可不知的心理学》[M]. 上海：华东师范大学出版社，2008.

[2]苏鸿，李斌辉，穆湘兰.《高效课堂：备课、上课、说课、听课、评课》[M]. 上海：华东师范大学出版社，2013.

[3]史宁中.《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

（编辑：胡 璐）

小学管理诸多挑战：学校管理应该谁说了算？

当前，社会巨变，科技进步，为中小学管理提出了诸多挑战。而进行管理创新的起点，在于要关注到当前学校教育的六个转变。

一是从以知识为中心转向以育人为本，促进学生的全面发展，加强立德树人。学校对学科的关注，不仅要关注学科的知识价值、能力培养价值，更要关注学科的育人价值。比如，以往学校教研都是以学科教研为中心，而今天同一学科的教师应该坐在一起，以学生为中心进行教研——以人为中心的教研，将提升教师的育人能力，形成教育合力，产生新的育人能量和效果。

二是从过去单纯重管理转向管理与服务并重并将之相统一。过去，教育行政部门对学校要求多、协商少、支持少。即使是学校管理层，为教师和学生服务的意识与投入也严重不足。一所学校办得好不好，不仅要关注学校做了什么，最重要的是要关注学生得到了什么，除此还要关注学生和家长的多样化需求。只有满足这些需求，让原来发展水平不一的教育，都能够在原有基础上得到最大发展，这样的教育才是最好的教育。

三是从关注投入转向关注效益。当前不少教育举措重投入轻产出，从投入到产出，没有系统分析，存在很多问题：对学生的投入，在实际的教育教学过程中，包括学校管理过程中，还存在很多不应有的负面投入；对产出的分析，更多关注的是积极方面，并没有关注到积极方面的获得，是以多少消极的产出为代价。学生的健康不能以牺牲教师、校长的身心健康为代价，学生成绩的提高，也不能以牺牲学生的心理健康、身体健康为代价。

四是学校管理要学习企业从粗放到精细化管理转变的经验。在教育领域中，不少管理仍然是粗放式的。教育设计环节非常多，每个环节都会影响育人质量，而目前这些环节的标准都太不细致，远远不及一些行业对每项工作均有明确与细致要求的做法。

五是从经验型管理转向科学型管理。目前很多校长并没有接受过专业化的管理培训，他们使用的都是在工作中领悟、观察、学习、交流、借鉴出来的管理方法，决策难免带有随意性，工作落实很难保证。校长只有把科学方法用于管理，基于客观数据进行科学决策，而不是用行政权力说话，才更具公信力、权威性、继承性和可持续性。

六是从个人管理提升到学校系统领导力建设。过去学校管理更多依靠学校少数人的管理，在学校层面，从校长到副校长，再到中层管理干部和教研室人员，并没有系统的、有针对性的管理能力提升方案。但事实上，学校管理要赢在中层，而不是赢在校长。作为校长，如果能把所有副校长调动起来，把学校中层干部的管理能力提升起来，学校就具有了可持续发展能力，在管理方面也就达到了更高的现代化水平。

今天，国家正在加强管理创新，为实现学校治理能力现代化，对学校进行管办评分离。为此，政府必须给学校下放办学自主权，通过校长责任制，解决学校民主管理与依法治校的问题；另一方面，通过第三方评估，解决科学评价问题。对学校管理既不能有过多的政府干预，也不能再让校长自己说了算。

（摘自《中国教育报》）

李凯，武汉小学教师。

G623.5

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1671-0568 （2015） 31-0133-03