拉压杆件轴力图的矢量画法

谭志银，杨思国

（滁州职业技术学院机电系，安徽 滁州239000）

引言

高职高专类的培养目标侧重于培养技术应用能力，而学生的分析计算能力通常较弱，一般很难达到推导和应用《工程力学》一系列公式的要求。这一矛盾，造成了高职高专相关专业开设的《工程力学》课程，普遍难教、难学。而“简化计算分析过程，则重于解决典型实际工程问题”的教学思路，有利于缓解这一矛盾。本文将遵循这一思路，对“拉压与压缩”章节中关于绘制拉压杆件轴力图方法，重新进行整理与分析，以研究出了计算少、效率高的方法，本文称之为“矢量画法”。

轴力图是描述拉压杆件的各横截面所受轴力大小和方向的图线，是计算拉压杆件应力，判断杆件强度的依据。本文首先总结其一般画法，在此基础上提出另一种快速画法，并结合实例详细介绍该画法的具体绘制轴力图的过程。

一、截面法的优缺点

现有教材大多采用截面法，即分别列式依次计算出各段截面轴力，然后根据各段内力的大小和方向，再进行轴力图的绘制。

截面法虽具有很强的理论依据，适用范围广。但截面法求各截面内力时，有以下缺点：

（一）计算量大。需根据外力作用点个数，将构件分段，逐段列平衡方程，才能求解出每段内力。外力数量越多，平衡方程数量也越多，计算量就越大，计算效率就越低下。

（二）判断内力的实际正负号较为麻烦。判断每段截面内力的正负号方法，一般为先假设该段内力为正，再由所列的平衡方程求解出的内力的正负号，判断出内力的实际正负号。同样，当外力数量越多时，内力的方向需要判断的次数也就越多。

二、矢量画法

本文提出的矢量画法方法，其基本原理为：

（一）拉压杆的轴力图，由各段跳跃矢量和保持矢量构成；

（二）在外力作用的截面，轴力变化图线表现为跳跃矢量；在其余各段截面，其轴力图线表现为保持矢量；

（三）跳跃矢量、保持矢量与位置坐标轴构成的区域封闭。

其中，跳跃矢量的具体画法为：跳跃矢量的起点，为上段保持矢量的终点。跳跃矢量方向，需要根据外力方向与位置坐标轴正方向是否一致判断，当外力方向与位置坐标轴正方向一致时，跳跃矢量指向轴力减小的方向；反之，则指向轴力增加的方向。跳跃矢量的长度，为该处截面受到的外力。特别地，起始处跳跃矢量的起点，从坐标轴原点开始；末尾处跳跃矢量的终点，返回到零。

保持矢量的画法为：保持矢量方向沿着位置坐标轴方向。保持矢量的起点，为本次跳跃矢量的终点；保持矢量的终点，为下次跳跃矢量的起点。即在未受到外力作用的各段截面，直接绘制平行于位置坐标轴的线段。

而上述位置坐标轴正方向的规定，与截面图画法一致，即从拉压杆的一端指向另一端。三、矢量画法解题举例

现结合图1的实例，说明1.2中矢量画法的一般过程，有一杆件受力如图1所示，请绘制其轴力图结合。

图1 杆件受力图

轴力图的矢量画法解题过程：从左向右，建立位置坐标，即向右为位置坐标轴正方向。则跳跃矢量的方向为：外力指向右边，跳跃矢量指向下；外力指向左边，跳跃矢量指向上。将跳跃点与跳跃高度列入表1中，并按表1，绘制出图2的轴力图图线，整理后得图3的轴力图。

表1 跳跃点与水平线段关系

图2 矢量画法轴力图图线

图3 轴力图

关于表1的说明：

（一）跳跃矢量与保持矢量分界点的位置，即为杆件受力图上给出的外力作用截面位置。分界点的数量，即为外力作用截面的个数。

（二）跳跃矢量的位置，即在跳跃矢量与保持矢量分界点处。其方向和大小，均可由1.2关于“跳跃矢量的画法”中的规定，直接得出。

（三）保持矢量，即为相邻两外力作用截面之间的杆件的轴线。

若将上述例子的a截面的所受外力变成未知，且该杆件仍受力平衡，即得如图4所示的悬臂梁受力图。

图4 悬臂梁受力图

在解决这类杆件轴力图绘制时，若采用矢量画法，则不必像截面法那样，先根据力的平衡方程，计算出a截面处的外力，然后再按一般过程，进行计算并绘图，而可以直接利用矢量的相应性质，从杆件已知外力端向未知外力端，依次绘制矢量，而省去计算未知端(a截面)处的外力，绘制出相应的轴力图。具体过程为：

1、从截面a向截面e方向建立位置坐标轴，则跳跃矢量的方向为：外力指向右边，跳跃矢量指向下；外力指向左边，跳跃矢量指向下。

2、从已知轴力端绘制矢量。由图可知，a截面的轴力未知，而最右边的e截面的轴力已知，故从e截面开始绘制轴力矢量。由于e截面为末端，其跳跃矢量的终点返回到零，即图5中的e2为跳跃矢量的终点。由其外力指向右，可知跳跃矢量方向应向下，且长度为F，故可得该截面的跳跃矢量为图5中所示矢量。

3、绘制de段的保持矢量。过e1点绘制平行于位置坐标轴的线段，如图5所示。

4、按2)和3）步骤，依次绘制出从d到a段的保持矢量和跳跃矢量。依次为如图5所示、。

5、绘制未知端a截面跳跃矢量。根据“拉压杆的起始处的跳跃矢量的起点，从坐标轴原点开始”，则只需连接a点与坐标原点，即得未知端a截面的跳跃矢量。如图5所示。

6、整理图5，即得图6所示的轴力图。

图5 矢量画法轴力图图线

图6 轴力图

结论：

本文提出的拉压杆件轴力图的矢量画法，是在分析计算拉压杆件轴力时，对传统采用的截面法分析计算的一种扩展。与传统的截面法相比，本文提出的矢量画法不需要逐段列平衡方程求解各截面的内力大小，并简化了判断方向的方法，具有简单易学、绘图效率高的特点。同时，本文提出的矢量画法，由于遵循了“简化计算分析过程，则重于解决典型实际工程问题”的思路，能够使高职高专类学生更容易掌握“拉压与压缩”知识，并能迅速地解决相关力学工程问题，提高了其学习兴趣。这也为高职高专类学校关于《工程力学》课程改革，提供了一定的参考思路。

[1]张信群.工程力学[M].北京：北京航空航天大学出版社，2009.

[2]张定华.工程力学[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]杨虹.工程力学[M].北京：科学出版社，2005.