群柱失稳研究进展

章友浩+郭彦林+朱博莉

摘要：首先对群柱平面内稳定性进行论述，通过算例分析简单阐述了同层框架柱以及层间框架柱的相互作用机理，并对各国学者在此方面的研究工作进行了总结；然后着重讨论了通高区结构群柱面外稳定问题，包括平面框架（矩形通高区）和曲面框架，其中对平面框架的群柱面外稳定设计方法的研究相对成熟，而对于面外支撑效果更强的曲面框架，通过算例分析了其失稳机理；最后对在高层筒中筒结构和塔结构中大量使用的网格式筒壳结构的群柱稳定问题进行了探讨。结果表明：网格式筒壳结构不同于平面框架，其在失稳时表现出明显的空间变形特性，使得网格式筒壳结构群柱面外稳定设计理论的研究变得非常复杂；各国研究成果较少，严重滞后于工程应用，亟待进一步解决。

关键词：群柱平面内稳定；群柱平面外稳定；框架柱；网格式筒壳；失稳机理

中图分类号：TU323.5 文献标志码：A

0 引 言

钢结构材料强度高，其构件截面小和长细比大，因而失稳问题突出。因失稳导致的工程事故在各国均有报道，如1907年的魁北克大桥倒塌，1978年美国哈特福德城体育馆屋盖网架结构失稳事故等。

结构的稳定分析要考虑结构的整体性。结构的失稳多数表现为群柱的失稳，而非单一构件的失稳。因此作为结构组成单元的构件，不能割离其与周边构件的联系，而应该从结构整体的角度出发，充分考虑构件之间受力性质和相对大小以及构件之间约束刚度等因素的影响。群柱失稳时构件之间的相互作用不仅表现在失稳时刻，而且表现在全荷载施加过程中。这种相互作用随荷载的增加不断发生变化，结构弹性屈曲时构件之间的相互作用与结构加载进入弹塑性范围时构件之间的相互作用不尽相同。结构在受荷破坏时，部分构件已经进入屈服状态，构件之间的约束作用有所降低。

因此，对于结构的稳定设计，目前存在2种认知度。有学者认为，以结构弹性屈曲计算而获得的柱子计算长度系数，不能反映结构破坏时的内力重分布与构件之间的约束变化，因而从计算长度系数出发校核柱子的稳定性不尽合理。按照这种计算方法，一般要从结构整体弹性屈曲分析中计算其对应构件的弹性屈曲荷载，然后按照公式（1）计算柱子的计算长度系数μ，进而可获得柱子的长细比，最终按照《钢结构设计规范》（GB 50017—2003）[1]计算稳定系数并校核其柱子的稳定性。

结构的二阶分析方法有较高的认同度，其全过程分析也考虑了结构的几何非线性与材料塑性的扩展情况，最终获得了结构的整体稳定承载力。这种计算方法也叫高级分析方法，反映了整体结构在加载过程中构件之间的相互作用与塑性区扩展直到破坏的真实过程。由于结构复杂和庞大以及考虑弹塑性分析而导致的海量计算工作量，目前还不能将其真正作为通用的结构设计方法。因此，从结构极限承载力分析的概念出发，用柱子的计算长度系数校核构件的稳定性尽管有不合理之处，但目前还是被各国钢结构设计规范广泛采用。对于结构破坏时侧向位移不是很大的结构，该方法的计算结果仍具有较高的精度。

本文将综述平面、曲面以及柱面壳群柱的面外失稳机理，总结结构群柱弹性屈曲荷载的计算方法，旨在告诉工程设计人员以群柱的弹性屈曲荷载计算柱子的计算长度系数，进而校核柱子稳定承载力的方法。

1 群柱面内稳定

对于结构的平面内稳定设计，各国规范基本都采用计算长度系数法，依据柱子上下端的梁、柱总线刚度比，确定柱子的计算长度系数。虽然具体形式略有不同，但均在Julian和Lawrence于1959年提出的“七杆模型”基础上发展而来，中国《钢结构设计规范》（GB 50017—2003）[1]也是如此。

“七杆模型”如图1所示，分为有侧移失稳和无侧移失稳2种模式，并在计算中采用了如下假定：

（1）AB柱与其相连接的上下柱AG和BH同时屈曲。

（2）屈曲时同层横梁两端转角大小相同，发生无侧移屈曲时转角方向相反，有侧移屈曲时方向相同。

（3）不计横梁中轴力的影响。

（4）各柱的P/PE相等，P为柱所受的轴力，PE为以柱子几何长度计算的欧拉屈曲荷载。

（5）柱端转角隔层相等。

（6）发生有侧移失稳时，各层层间位移角相等。

在这些假定的基础上，通过推导建立了框架柱在无侧移和有侧移模式下的屈曲方程，进而得到柱子的计算长度系数。可以看到，“七杆模型”作为一种传统的计算方法，将群柱稳定计算转化为单根构件的稳定计算，概念清晰明了；计算上以柱端梁、柱总线刚度比作为参数，计算简单易行，适用于工程设计，且对于大量工程实例均得到了满足工程要求的计算结果，因此得到广泛的应用。

“七杆模型”也存在着明显的不合理之处，如其柱端转角隔层相等，各层层间位移角相等的假定，在实际中很难满足，尤其是在底层、顶层等部位；另外“七杆模型”认为屈曲时同一层横梁两端的转角大小相等，也是不符合实际的；最重要的是“七杆模型”没有考虑框架柱之间的相互约束作用，仅考虑了横梁对框架柱的约束作用，且对横梁约束刚度在节点上下柱间分配的处理也存在着明显的概念错误。Hellesland等[2]就曾经指出，“七杆模型”中上下柱P/PE相等的假定造成横梁的约束刚度在节点上下柱间的分配比例等于上下柱的线刚度比，使得在其余条件均不变的情况下，增大框架柱的线刚度可以获得更多的横梁约束作用，这与实际情况是完全相悖的。

综上所述，规范采用的框架平面内稳定传统设计方法水平较低，梁启智[3]将其称为框架平面内稳定设计的第一水平，考虑同层框架柱之间的相互作用为第二水平，同时考虑同层框架柱以及不同层框架柱之间的相互作用为第三水平。后两者即为群柱稳定的概念，将在下文进一步剖析。

1.1 同层框架柱间相互作用

为了简要阐明同层框架柱间的相互作用，对最简单的单层单跨铰接框架进行分析，考察左右框架柱柱顶荷载比值α及框架柱抗弯刚度比值β对同层框架柱之间相互作用的影响。对于铰接框架，同层框架柱间的相互作用表现为框架失稳时柱子之间的相互支持作用。图2（a）为柱顶荷载分配比例对同层框架柱间相互作用的影响，假定框架柱的抗弯刚度相同，则受力较大的右柱更易失稳，从而受到左柱的支撑作用，右柱的计算长度系数减小，且左柱的受力越小（α越小），对右柱提供支撑的能力越强，右柱的计算长度系数减小越多。图2（b）为框架柱相对抗弯刚度对同层框架柱间相互作用的影响，假定柱顶荷载相等，则抗弯刚度较小的左柱更易失稳，因而受到右柱的支撑作用，这种支撑作用对于右柱是不利的，因此右柱的计算长度系数增大，且左柱的抗弯刚度越小（β越小），左柱所需的支撑作用越强，相应右柱的计算长度系数增大越多。

上述算例中仅考虑了柱顶荷载分配比例及框架柱抗弯刚度对同层框架柱之间相互作用的影响，而对于梁、柱刚接的框架结构，还需考虑横梁对立柱提供的转动约束作用。对此各国学者展开了大量的研究，早在1969年和1971年，Salem[4]和Yura[5]就分别提出了考虑同层框架柱之间相互作用的柱子计算长度系数计算公式和框架柱设计方法。中国《冷弯薄壁型钢结构技术规范》（GB 50018—2002）[6]也以结构的侧移刚度为基准，给出了单层刚架结构考虑柱间相互作用的柱子计算长度系数μi的简化计算公式，即

式中：K为刚架柱顶承受水平荷载时的侧移刚度；Ni，Hi分别为第i根柱的轴压力和高度；NEi为第i根柱按照几何长度计算的欧拉屈曲荷载。

公式（2）包含各柱轴力、欧拉屈曲荷载以及结构侧移刚度，体现了框架柱刚度、柱顶荷载分配比例以及横梁线刚度对柱子计算长度系数的影响。除此之外，《门式刚架轻型房屋钢结构技术规程》（CECS 102：2002）[7]也给出了多跨刚架的中间柱为摇摆柱时，框架柱计算长度系数的放大系数η计算公式，即

式中：Pli，Pfi分别为摇摆柱和框架柱所承受的荷载；hli，hfi分别为摇摆柱和框架柱的高度。

公式（3）体现了摇摆柱对框架柱的不利影响。

1.2 不同层框架柱间相互作用

对于多层框架结构，不仅需要考虑同层框架柱之间的相互作用，不同层框架柱之间也存在着相互影响。同样通过对简单结构进行分析来简要阐明不同层框架柱间的相互作用，选取如图3（a）所示的两层单跨无侧移框架计算模型，其中，L为上柱长度。由于对称性，该结构不存在同层框架柱间的相互作用，仅存在不同层框架柱之间的相互作用，并通过相互约束柱端转角予以实现，且该相互约束作用的强度取决于上下柱的线刚度比以及边界条件。通过改变底层框架柱的层高及底层框架柱的线刚度，可以计算得到如图3（b）所示的底层框架柱计算长度系数与底层层高之间的关系。由图3（b）可以看出，随着底层层高的增加，底层框架柱的线刚度降低，因此受到上层框架柱更强的约束作用，计算长度系数随层高增加而减小。

上述算例仅仅体现了层高对不同层框架柱间相互作用的影响，但在实际框架结构中框架柱的抗弯刚度、柱顶荷载、横梁的抗弯刚度以及框架有无侧移均是重要的影响因素，且同层框架柱间和不同层框架柱间相互作用往往是同时存在的，情况更加复杂。

对于考虑不同层框架柱之间相互作用的计算长度设计方法，各国学者先后开展了大量深入的研究。Hellesland等[2，8]将梁、柱线刚度比G值修正为G′A=（EIc/Lc）/kA，其中，E为材料弹性模量，Ic为柱的惯性矩，Lc为柱的长度，kA为与柱端A相邻的所有构件（包括梁和柱）对柱端的转动约束刚度总和，并提出约束需求系数（Restraint Demand Factor）的概念，对框架柱计算长度系数的计算方法予以改善；随后又在后续论文中提出了一种适用于支撑框架和绝大部分无支撑框架的平均值方法（Method of Means）；另外，梁启智[3]提出了考虑层与层相互作用的累积算法，从顶层和底层向中间薄弱层逐层计算，将层间约束作用累计至薄弱层柱端，从而计算薄弱层的计算长度系数；童根树等[9]摒弃了传统“七杆模型”中上下柱P/PE相等的假定，提出了考虑层与层相互作用的框架柱计算长度系数方法；童根树等[10]还基于层稳定理论提出了框架弹塑性失稳的层稳定系数。

由此可见，各国对于不同层框架柱之间相互作用的学术研究均已取得了一定的成果，但都不完善，无法形成相应的规范条款供设计人员使用，因此对于不同层框架柱之间的相互作用的研究仍有待进一步加强。2 群柱面外稳定

群柱面外稳定问题来源于通高区结构。通高区结构不同于一般框架结构，由于对使用空间的要求，其在特定区域抽掉1层或多层楼板或联系构件后形成无面外支撑的薄弱层。广州新电视塔（图4）就是通高区结构的典型代表，该结构采用筒中筒结构体系，核心筒为钢筋混凝土结构，外筒由钢管混凝土斜立柱、钢斜撑和钢环梁组成。沿塔高度设置了多处通高区，在通高区范围内，外框筒与内核心筒之间没有任何水平支撑，两者相互独立，因此外框筒极易发生群柱的面外失稳，即径向失稳变形。郭彦林等[11]进行了广州新电视塔细腰段整体模型稳定性试验，也证实了这一结论。

目前，通高区结构的面外稳定设计尚无相关规范可依。尽管各国学术研究取得了一些成果，但还需要转换成可供设计规范采纳的计算方法。

2.1 平面框架群柱面外失稳

平面框架群柱面外稳定问题来源于矩形通高区结构，采用有限元方法对该类结构进行屈曲分析可以发现，其群柱面外失稳只发生在通高区，且角柱基本保持挺直，表明各框架面之间的相互影响不大，因此可以选取通高区一个框架面上的群柱进行分析，即可得到如图5所示的平面群柱分析模型，其中假定立柱上下端简支。图5中，h为单层柱高，l为横梁跨度，m为立柱数目，Is为梁端支承柱截面惯性矩。

为阐明平面框架面内失稳与面外失稳的差异，选取平面框架的最基本组成单元——两层两跨十字刚架进行特征值屈曲分析[图6（a）]。利用ANSYS软件中的Beam188单元建立有限元模型，研究其弹性屈曲性能，梁、柱截面均采用400 mm×12 mm的圆管截面，单层柱高h=5 m，横梁跨度l=5 m，材料弹性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3。十字刚架的立柱简支，横梁两端铰接于支座（即梁端弹簧刚度无限大），整个模型仅在柱顶承受轴向力。计算得到的十字刚架面内、面外第1阶弹性屈曲模态如图6（b），（c）所示。图6中，Ib为梁截面惯性矩，Ab为梁截面面积，Ac为柱截面面积。可以发现，十字刚架在面内发生S形双波失稳，在面外则发生单波失稳。

造成十字刚架在面内、面外不同屈曲模态的原因在于横梁对立柱不同的约束机制。对于面内屈曲，横梁对立柱在梁、柱交点的约束作用包括对侧移的约束和对转动的约束。前者对应横梁的轴向变形，其约束刚度由横梁的轴向刚度决定；后者对应横梁的弯曲变形，由横梁的抗弯刚度决定。通常情况下，横梁的轴向刚度都远大于立柱所需的支撑门槛刚度，因此十字刚架在面内发生S形双波失稳。对于面外屈曲，横梁对立柱在梁、柱交点处的侧移约束实现的方式则完全不同。立柱发生面外屈曲时，梁、柱交点发生面外侧移，带动横梁发生面外的弯曲变形，故侧移约束刚度是由横梁的弯曲刚度决定的。横梁的弯曲刚度远小于轴向刚度，通常达不到支撑门槛刚度的要求，因而发生面外的单波失稳，相应的弹性屈曲荷载也小得多。有限元的计算结果验证了这一点，上述十字刚架的面内屈曲荷载是面外的2.74倍。面内、面外屈曲机制差异造成的悬殊的屈曲荷载，使得该类平面框架均由面外失稳控制。

以上的计算为特征值屈曲分析，无法考虑横梁的“弯弓效应”，即随着横梁面外弯曲变形的发展，横梁的轴向变形受到支撑角柱的限制，使得横梁产生轴向应力，引起横梁的应力刚化，从而提高横梁的刚度。相关研究表明[12-13]：“弯弓效应”会造成横梁支撑作用增强，对于柱子的承载力有进一步的提高，而提高程度取决于支撑角柱对横梁轴向的约束效果。图7为十字刚架弹性屈曲后性能和与轴向约束刚度之间的关系。计算所采用的模型同前，只在横梁端部增设刚度为K的轴向弹簧，以模拟支撑角柱对横梁轴向约束，并对结构施加幅值为H/1 000（0.01 m）的面外初始缺陷进行大挠度弹性屈曲分析，计算中取梁、柱节点面外位移达到0.5 m时的荷载作为代表值P，并除以横梁无轴向约束时的弹性屈曲荷载P0进行纲量为1化。可以看到，随着轴向约束的增强，十字刚架屈曲后性能明显提高，最大增幅可达到125%。

由上述分析可知，横梁的“弯弓效应”对十字刚架的弹性屈曲后性能有着非常大的改善，现研究“弯弓效应”对十字刚架的弹塑性承载力的影响。图8为通过有限元方法计算得到的十字刚架的弹塑性荷载-位移（P-Uy）曲线。结构参数除层高和跨度增至10 m外，其余参数与前文相同，材料采用理想弹塑性本构，屈服强度为235 MPa，2条曲线分别按横梁轴向完全约束和无约束计算。可以看到，相对于弹性屈曲，横梁的“弯弓效应”对十字刚架弹塑性屈曲性能的增强效果有限，极限承载力增幅仅为9%，且在达到极限承载力后，结构承载力迅速下降。造成该现象的原因有2个：一方面是由于算例立柱的几何长细比不算太大，几何非线性不显著，立柱较早地进入塑性；另一方面，随着横梁面外变形的发展，横梁内轴向应力迅速增大，使得横梁提前进入塑性，横梁的支撑作用也无法充分发挥。后述的各国学者在研究平面框架的面外屈曲荷载时，也都偏保守地忽略了“弯弓效应”的增强作用。

对于十字刚架的面外稳定性能的研究较多，Dewolf等[14]，El-Tayem等[15]，Kitipornchai等[16]，Picard等[17]，Stoman[18-19]，Wang等[20]，Segal等[21]针对梁、柱端部在铰接、刚接、半刚接情况下的弹性稳定性能进行了深入讨论，提出了柱子计算长度系数的计算方法。Moona等[22]则对十字刚架的弹塑性屈曲性能进行了研究。

在实际结构中，平面框架的梁端并非铰接或刚接在支座上，而是与有限刚度的角柱连接（图9），梁端的面外位移并不能被完全约束。针对该情况，王永海等[23]假定横梁端部与角柱铰接，并通过理论推导建立了横梁和梁端角柱组合面外支撑的等效支撑刚度K的计算公式，即

式中：NE，H为柱子的屈曲荷载；Ke，th为单支撑轴压柱的门槛刚度，Ke，th=16π2EIc/H3。

上述十字刚架的面外稳定实质仍是单柱的面外稳定问题，而对于更具普遍意义的多层多跨平面框架（图10）的群柱面外稳定问题则复杂得多，需要考虑立柱间的相互作用，以及横梁支撑刚度在各立

图10 多层多跨平面框架群柱稳定分析模型和等效模型

Fig.10 Analytical Model and Equivalent Model for

Multi-column Stability of Multi-story

multi-span and Planar Frame柱间的分配关系。

当图10（a）中梁端支撑角柱刚度足够大时，可认为横梁梁端铰接于刚性支座。周承倜[24]、Tong[25]曾指出，在此种情况下，横梁为各立柱提供的面外支撑刚度相等，平面框架可以等效为带多个等间距侧向弹簧支撑的轴压柱[图10（b）]，并通过图乘法推导得到了横梁对框架柱的面外等效支撑刚度Kb，eq，即

Jasinsky，Boobnov，Parkova，Kurdiumov和周承倜[24]分别采用不同的方法计算得到多支撑轴压柱的弹性屈曲荷载与弹簧支撑刚度间的关系。结合上述研究成果，角柱刚度足够大时平面框架的群柱面外稳定问题已得到了很好的解决。

对于角柱为有限刚度的情况，郭彦林等[26-27]的研究表明，三层及以下平面框架仍可以等效为带多个等间距侧向弹簧支撑的轴压柱，但此时框架柱的面外支撑由梁端支撑角柱和横梁串联组成的组合面外支撑系统提供，并推导建立了组合面外支撑系统支撑刚度的计算公式，即

式（9）中横梁的面外等效支撑刚度Kb可通过能量法求得，即Kb=π4EIb/（m+1）/L3。该公式与周承倜[24]、Tong[25]推导得到的公式误差不大，但形式更简单，也更适宜于工程实际应用；而Kv则表示梁端角柱的面外支撑刚度，其与平面框架的层数以及屈曲模态有关。

进而得到了三层及以下平面框架面外弹性屈曲荷载的实用计算公式：

两层平面框架式中：Ke，th1，Ke，th2分别为单支撑轴压柱和双支撑轴压柱的临界刚度，Ke，th1=2π2EIc/h3，Ke，th2=3π2EIc/h3。

对于四层及以上平面框架，带多个等间距侧向弹簧支撑轴压柱的等效模型已不再适用，王永海[28]根据面外支撑刚度等效的原则，建立了一种新的轴压单柱等效约束模型，该模型将多层平面框架的面外支撑系统转化为由多个侧向弹簧支撑和1根支承柱串联而成的组合支撑（图11），并通过大量数值计算给出了柱子计算长度系数μh的计算表格。

在上述平面框架弹性屈曲荷载的研究基础之上，平面框架群柱面外稳定承载力的2种设计方法被提出，即计算长度系数法和直接计算稳定系数法。计算长度系数法基于弹性屈曲分析获得柱子计算长度系数，并结合中国《钢结构设计规范》（GB 50017—2003）中的柱子稳定曲线对平面框架柱进行稳定承载力设计，但是对于中小长细比框架柱的计算结果过于保守。造成该现象的原因是，对于中小长细比的柱子发生的是弹塑性失稳，柱子所需的弹塑性支撑门槛刚度小于弹性门槛刚度，从而造成实际稳定承载力的提高。对此，郭彦林等[26]又提出了基于弹塑性支撑门槛刚度的稳定系数直接计算方法。对于三层平面框架，其弹塑性支撑门槛刚度Ksymu，th，Kasymu，th计算公式分别为

式中：φx为按照柱子计算长度为x计算得到的柱子稳定系数。

经对比验证，该方法偏于保守且精度优于计算长度系数法，是更为合适的稳定承载力设计方法。

2.2 曲面框架群柱面外失稳

由上文可以看到，对于平面框架群柱面外稳定性能的研究已较为完善，但对于面外约束作用更强的曲面框架的群柱面外失稳性能的研究各国却鲜见报道，在此本文对曲面框架群柱的面外失稳性能进行简单讨论。

选取如图12（a）所示的曲面框架群柱基本单元——两层三跨曲面框架，采用ANSYS软件中的Beam188单元建立有限元模型进行特征值屈曲分析，梁、柱均采用400 mm×12 mm的圆管截面，单层柱高h=5 m，单跨曲梁弧长s=5 m，材料弹性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3。立柱简支，横梁两端铰接于支座（即认为角柱刚度无限大），整个模型仅在柱顶承受轴向力。

计算结果如图13（a）所示，纵坐标为曲面框架群柱面外弹性屈曲荷载Pcr，c与对应平面框架群柱（即横梁曲率为0）面外弹性屈曲荷载Pcr，p的比值。可以看到，随着梁曲率的变化，两层三跨曲面框架表现出2种屈曲模态——对称屈曲[图12（b）]和反对称屈曲[图12（c）]。当梁曲率较小时，其接近于直线，因此更易发生与平面框架类似的对称失稳，2个立柱向同一侧发生弯曲，且随着梁曲率的变大，曲梁的拱效应增强，对立柱的面外支撑作用也随之增强，结构面外屈曲荷载迅速增大；当梁曲率达到0.025 m-1时，曲面框架的面外屈曲模态发生转变，由平面框架的对称屈曲模态转变为反对称屈曲模态，曲梁的变形也由横梁的单波弯曲变形转变为拱更易发生的反对称变形，曲面框架的面外屈曲荷载达到一个极值，约为平面框架的3倍，之后随着曲梁曲率的增加，曲面框架的面外屈曲荷载略微下降。

对于更多跨的曲面框架结构，也存在着类似的屈曲模态随着曲率而改变的现象，如图13（b）所示为两层四跨曲面框架弹性屈曲荷载与曲梁曲率之间关系，转折点曲率约为0.016 m-1。

综上所述，相对于平面框架，曲面框架中梁对立柱的面外约束效果更强，而且存在一个曲率转折点，用于曲面框架从对称面外屈曲到反对称面外屈曲的转变。在该转折点处，曲面框架的弹性屈曲荷载达到极大值，是最佳的设计点。

3 网格式筒壳群柱稳定

分别为立柱的截面惯性矩和截面面积，Ib，AB分别为环梁的截面惯性矩和截面面积。上述结构形式在塔结构和高层建筑筒的筒结构中使用较多，同样也存在通高区没有任何面外支撑，因而在轴向压力作用下极易发生群柱失稳的工程问题，且网格式筒壳在失稳时呈现明显空间变形特性，环梁将群柱连接起来并协调它们之间的相互作用。解决该问题不仅需要考虑柱子和环梁的弯曲刚度，还要考虑环梁的扭转刚度，因为网格柱失稳时会带动环梁发生弯曲和扭转变形，反之环梁也会反作用于网格柱。这种空间变形的耦合作用使得网格式筒壳群柱面外稳定设计理论的研究变得非常复杂。

目前关于网格式筒壳结构群柱稳定性能的相关报道较少，仅前苏联学者金尼克在《纵向弯曲与扭转》[29]一书中总结了双曲外形和圆柱外形的正交网格式筒壳立柱在相同轴压力作用下临界荷载计算公式，但该公式的计算精度较差，且公式复杂不适用于工程设计。此外，王永海[28]曾对环梁道数、立柱数目和梁、柱截面尺寸等因素对正交网格式柱面壳稳定性能的影响进行了定性研究，研究表明，正交网格式柱面壳弹性屈曲荷载随环梁道数和梁、柱抗弯刚度比的增加而增加，但随立柱数目变化的规律尚不明朗。在设计方面，各国规范也尚无相关条款可依。综上所述，对于网格式筒壳群柱稳定性能的研究严重滞后于工程应用，亟待进一步解决。

3.1 正交网格式柱面壳

本节将对正交网格式柱面壳的群柱弹性稳定性能进行探讨，旨在阐明其群柱失稳机理，并为进一步形成完整的正交网格式柱面壳群柱稳定承载力设计方法奠定基础。

正交网格式柱面壳的屈曲模态与其层数有着密切的关系，研究表明，对于两层正交网格式柱面壳，如图15所示，其第1阶屈曲模态总表现为整体弯曲失稳。这是因为在此屈曲模态下，所有立柱朝同一方向发生等幅值的单波弯曲变形，环梁随立柱在平面内发生刚体平移，且环梁处于立柱的跨中，梁、柱节点处也不存在任何转动，因此在此屈曲模态下环梁对立柱没有任何约束，屈曲荷载最小。有限元的计算结果也表明，此时立柱的屈曲荷载与无约束单柱的屈曲荷载完全相等。

三层网格式柱面的屈曲模态则相对复杂，对此利用ANSYS软件中的Beam188单元建立有限元模型，研究其屈曲模态随结构参数的变化。有限元模型中约束立柱下端的所有平动自由度和立柱上端x，y方向的平动自由度以及竖向平动自由度释放，并在各立柱柱顶施加同样大小的竖向力。算例变化的主要结构参数为柱面半径R、立柱数目m以及环梁截面尺寸，层高h及立柱截面尺寸取为定值，具体数值见表1。

参数范围的选择来自工程实际，基本涵盖常见工程情况。在该范围之内，进行大量算例计算，研究三层网格式柱面壳的弹性屈曲模态。结果表明，在常见的工程范围内，网格式柱面壳可能出现的屈曲模态有2种：整体弯曲失稳和群柱面外失稳，如图16所示。

图16 三层正交网格式柱面壳屈曲模态

Fig.16 Buckling Modes of Three-storey

Grid Cylindrical Shells整体弯曲失稳模态容易出现在柱面半径较小（R≤20 m）、环梁截面尺寸较小或立柱数目较少的情况。因为在柱面半径较小时，整个网格式柱面壳接近于细长柱，易发生整体弯曲失稳；而在环梁截面尺寸较小时，环梁的约束作用较小，接近于单柱失稳，但由于环梁的协调作用，所有立柱发生同向弯曲，表现为整体弯曲失稳；立柱数目较少时是类似的，此时相邻间环梁弧段长度大，约束作用小，同样接近于单柱。其余情况下则表现为群柱面外失稳，下文将对2种屈曲模态进行分析。

3.1.1 群柱面外失稳

如图16（a）所示，三层正交网格式柱面壳在发生群柱面外失稳时，立柱沿环梁径向发生或内或外的弯曲变形，从而带动环梁在梁、柱节点处发生相应的环梁平面内位移和环梁的扭转变形。反作用下，环梁会对立柱在梁、柱节点处的侧移和转动变形进行约束，从而提高立柱的屈曲荷载，且为保证立柱同时发生屈曲，环梁对各立柱的约束刚度必然相等。因此，可以将三层正交网格式柱面壳简化为单柱，并根据面外约束刚度相等的原则，将环梁的约束作用等效为梁、柱交点处的侧移弹簧约束和转动弹簧约束，从而得到网格式柱面壳在群柱面外失稳模态下的等效模型——带双侧移约束弹簧和转动约束弹簧的轴压柱（图17）。图17中，Kθ，Kt分别为弹簧和径向刚度和法向刚度，θ1，θ2均为弹簧的变形角度，Δ1，Δ2分别为弹簧的位移，Q1，Q2均为柱受到的荷载，M1，M2均为柱的弯矩。

等效模型的屈曲方程可通过理论推导求得，而环梁对立柱的等效约束刚度则可由数值拟合得到，将后者代入屈曲方程并简化即可得到三层正交网格式柱面壳在群柱面外失稳模态下的弹性屈曲荷载Pcr1计算公式，即

现对公式（17）进行一些简单的讨论，以进一步揭示群柱面外失稳的失稳机理。公式（17）分为3项，等号右边后2项分别对应环梁对立柱的侧移约束作用和转动约束作用，不难发现，两者随立柱数目m的变化规律是完全不同的，环梁对立柱的侧移约束刚度随立柱数目m的增大而减小，而转动约束刚度则随着立柱数目m的增大而增大，这与立柱屈曲时环梁的受力有关。

环梁对立柱的侧移约束刚度对应环梁的面内受力，环梁在径向集中力的作用下发生如图16（a）所示的椭圆变形，可取2个反弯点间区段进行分析，随着立柱数目的增加，反弯点间距不变，但相同弧段需要约束的立柱数目增大，因此单柱受到的约束刚度降低。

转动约束刚度则对应环梁的平面外受力，环梁在扭矩的作用下发生扭转变形和面外弯曲变形。图18为群柱面外失稳时环梁面外变形，其中，点划线表示环梁变形前的位型，实线和虚线表示变形后的位型，实线在前，虚线在后，而与点划线的交点则是立柱所在的位置。可以看到，网格式柱面壳在屈曲后环梁的面外变形不同于面内变形。面内变形的变形模式是不变的，存在不变的反弯点以及明显的弧段划分；而面外变形则表现出明显的多波性质，相邻立柱间为一个半波，因此在环梁半径不变的情况下，随着立柱数目的增加而波长减小，故转动约束刚度随着立柱数目增大而增大。

3.1.2 群柱整体弯曲失稳

与群柱面外失稳相同，要了解三层正交网格式柱面壳在群柱整体弯曲失稳模态下的屈曲机理，首先需要研究环梁对立柱的约束作用，或者说环梁的受力情况。如图16（b）所示，三层正交网格式柱面壳在发生群柱整体弯曲失稳时，所有立柱向同一方向发生等幅值的弯曲变形，环梁不存在面内变形，因此可以认为环梁对立柱在梁、柱交点并不存在侧移约束，仅存在转动约束，但约束机制也与群柱面外失稳有很大区别。图19（a）为网格式柱面壳在发生群柱面外失稳时环梁在平面外的受力情况，由于此时网格式柱面的变形双轴对称，因此环梁受到的扭矩 是自平衡的；图19（b）为整体弯曲失稳下环梁的平面外受力，在该失稳模态下，所有立柱的弯曲方向一致，反作用于环梁的力矩同向，无法自平衡。因此，必会引起“支座反力”，即立柱的附加轴力。

综上所述，在整体弯曲失稳模态下，环梁对立柱的作用包括对梁、柱节点的转动约束和附加轴力，且各立柱所受到的附加轴力大小方向均不同，环梁对各立柱的转动约束刚度也必然不同，否则无法同时失稳，因此由于附加轴力的影响，网格式柱面壳的整体弯曲失稳问题是较为复杂的。

对于附加轴力的影响大小，可以采用如下方法进行评估：附加轴力的合力为0，其合力矩与当立柱屈曲时环梁对立柱的转动约束力矩的合力矩mi=1Kθiθi平衡。而环梁对立柱的转动约束力矩Kθiθi是随着环梁对立柱的转动约束刚度增大而增大的，因此其最大值发生在当环梁对立柱的转动约束刚度足够大，使得梁、柱节点无法转动时，如图20所示。此时Kθiθi=PΔi+EIy″，由于中间段的变形曲线近似为直线，可以忽略后一项，因此Kθiθi≈PΔi，则合力矩mi=1Kθiθi≈mPΔ，那么不难得知附加轴力与PΔ/R为同一量级，而Δ/R1，因此附加轴力的影响甚小，可以忽略。相应地，可以近似认为环梁对各立柱转动约束刚度相等。

综上所述，在群柱整体弯曲失稳模态下同样可以将三层正交网格式柱面壳简化为单柱，并根据面外约束刚度相等的原则，将环梁的约束作用等效为梁、柱交点处的转动弹簧约束，从而得到网格式柱面壳在群柱面外失稳模态下的等效模型——带双转动约束弹簧的轴压柱（图21）。

同样，该等效模型的屈曲方程也可通过理论推导求得并简化，加之拟合得到的环梁约束刚度计算公式，就可得到三层正交网格式柱面壳在群柱整体弯曲失稳模态下的弹性屈曲荷载Pcr2计算公式，即

3.2 斜交网格式柱面壳

斜交网格式柱面壳与正交网格式柱面壳相比有着更复杂更多样的屈曲模态，下文将以两层斜交网格式柱面壳为例进行对比说明。

前文已明确，对于两层正交网格式柱面壳，其第1阶屈曲模态必然是整体弯曲失稳（单波）；而对于两层斜交网格式柱面壳，由于斜柱与水平面存在倾角，不可能发生整体的单波弯曲失稳模态。利用ANSYS软件中的Beam188单元建立有限元模型，对两层斜交网格式柱面壳进行特征值屈曲分析，可以得到其屈曲模态，其中梁、柱均采用圆管截面，具体结构参数在实际工程中常见取值范围内选取（表2）。

计算结果如图22所示，第1阶屈曲模态与结构参数相关，主要归纳为2类：第1类失稳模态下，斜柱沿环梁径向发生或内或外的单波弯曲变形，从而带动环梁发生平面内的多波变形，且随着结构参数的变化，环梁变形的波数也随之变化（不仅局限于图示波数）；第2类失稳模态下，斜柱发生的是S形的双波弯曲，而根据立柱弯曲方向的不同又可细分为2种屈曲模态，包括所有斜柱沿同一方向发生弯曲，以及所有斜柱均沿环梁径向发生等幅值弯曲。

2类屈曲模态中，第1类（单波）是两层斜交网格式柱面壳的主要屈曲模态，而第2类（双波）仅出现在整体结构柱面半径较小，环梁截面尺寸较大，且斜柱与水平面夹角较小的情况（即斜柱数目较少）。不难理解，斜柱发生单波或双波失稳主要取决于跨中环梁对其支撑刚度的大小，当环梁的截面尺寸越大，整体结构柱面半径越小，环梁所需约束的斜柱数目越少时，环梁对斜柱的支撑作用越强；当环梁对斜柱的支撑刚度超过其所需的支撑门槛刚度时，斜柱发生双波失稳，即第2类失稳，此时梁、柱节点不存在侧移，故环梁不存在面内变形。而当环梁的支撑刚度不足时，则发生或内或外的单波失稳，即第1类失稳。此时环梁在斜柱的带动下在平面内发生多波变形，依据算例研究的结果，环梁变形的波数多寡主要取决于斜柱的数目，大致表现为斜柱数目越多，环梁变形的波数越多，其具体内在机理仍待进一步研究。

3.3 网格式锥台壳

网格式锥台壳是在塔结构中被更多使用的一种结构形式，与正交网格式柱面壳结构相比，网格式锥台壳的立柱与水平面存在一定的夹角，以致柱面直径沿高度变化，形成上小下大的锥台壳形式。大量的算例计算表明，网格式锥台壳结构失稳模态与柱面壳结构相类似，主要发生2种屈曲模态：群柱整体弯曲失稳和群柱面外失稳（图23），其中对于前一种屈曲模态，两者的屈曲机理是相似的，而对于群柱面外失稳，两者则略有差别。

以两层网格式锥台壳为例来简单阐明这种差别。在群柱面外失稳模态下，由于网格式锥台壳的立柱与水平面存在倾角，立柱的弯曲变形不仅仅带动环梁发生沿环梁径向的侧移，同时还会存在沿环梁面外的位移，如图24（a）所示。因此造成环梁对立柱的约束力与水平面存在倾角，即存在环梁平面外分量，相应的立柱对环梁的反作用力也存在环梁平面外分量，如图24（b）所示，环梁表现出明显的空间受力特性。

网格式锥台壳中，环梁对立柱的约束作用与诸多因素有关，图25为梁、柱线刚度比a=ib/ic以及立柱倾角θ对网格式锥台壳立柱计算长度系数的影响，此处柱、梁线刚度分别定义为ic=EIc/[h/cos（θ）]和ib=EIb/s，即为节间线刚度的概念。可以看到，网格式锥台壳的弹性屈曲荷载无论在何种屈曲模态下，均随着梁、柱线刚度比的增大而增大，并随着立柱倾角的增大而减小。

4 结 语

（1）分析群柱的面内失稳，其关键在于如何考虑同层框架柱以及不同层框架柱之间的相互作用。对此各国研究成果颇多，但仍需要进一步完善形成可供设计规范采纳的设计方法。

（2）分析平面框架的面外失稳，其关键在于建立横梁和角柱的组合面外支撑系统，包括支撑刚度在各立柱间的分配关系以及支撑刚度的计算方法；该问题已得到很好的解决，并得到了相关的稳定承载力设计方法。

（3）对于面外约束效果更强的曲面框架面外失稳性能的研究，各国尚无相关报道。本文研究指出，其存在一个曲率转折点，对应于曲面框架从对称面外屈曲到反对称面外屈曲的转变。

（4）网格式筒壳结构同样存在群柱面外失稳问题，且各国研究较少。本文对各类网格式筒壳结构的群柱面外失稳机理进行了初步探讨，并通过对三层正交网格式柱面壳的弹性屈曲性能的研究，提出了弹性屈曲荷载的简化计算公式。

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