基于Duffing振子混沌系统的地震速度分析方法

刘财， 王博,2， 刘洋*

1 吉林大学地球探测科学与技术学院， 长春 130026 2 石家庄经济学院， 石家庄 050031



基于Duffing振子混沌系统的地震速度分析方法

刘财1， 王博1,2， 刘洋1*

1 吉林大学地球探测科学与技术学院， 长春 130026 2 石家庄经济学院， 石家庄 050031

强随机噪声干扰是导致地震勘探资料低信噪比的主要原因，如何在强随机噪声干扰下获取有效的信息是值得关注的问题.Duffing振子混沌系统是一个非线性的动力学系统，其对强随机噪声具有免疫能力，而对特定的周期性信号具有敏感性.本文提出一种基于Duffing振子混沌系统的速度分析方法.对CMP道集按照时距曲线关系进行移动窗口截取，将所截取的信号构建为待测信号加入Duffing振子混沌系统，通过相图网格分割方法(GPM)判断系统状态的改变，从而在强随机噪声背景下获得高分辨率的速度谱.理论模型和实际资料的处理结果表明，与传统的水平叠加速度分析方法相比，本方法能够在强随机噪声背景下获得更准确的速度分析结果.

混沌系统； Duffing振子； 强随机噪声； 涌浪噪声； 速度分析

1 引言

地震勘探资料中的随机噪声是影响地震勘探资料信噪比的主要原因之一.随机噪声的产生通常与接收、激发以及仪器本身等因素有关.近年来，国内外学者就随机噪声的压制以及有效地震信号的提取与重建进行了大量的研究并取得了一定的进展(刘洋等，2009，2011；林红波等，2011；白兰淑等，2014).在海上拖缆地震勘探中，涌浪噪声是一种常见的强随机噪声干扰.涌浪噪声具有低频、强能量的特点，在原始地震记录上会形成强烈的低频噪声背景(郭建卿等，2007).国内外一些研究人员对涌浪噪声的产生机制与压制方法进行了相关研究.通常认为检波器挂上异物或电缆平衡不好而造成的干扰波是涌浪噪声的主要产生原因.Parrish(2005)研究发现拖缆弦波能够为涌浪噪声的特点提供合理的解释.Elboth等(2009)从流体动力学角度分析了涌浪噪声的产生原因，认为与天气条件相关的水流扰动与拖缆之间的相互作用是产生涌浪噪声的原因，并提出了相应的压制方法.宋家文等(2001)采用地震道随机重排联合EM(Expectation Maximization，最大期望)算法对高振幅涌浪噪声进行衰减压制.徐善辉(2012)使用HHT(Hilbert-Huang Transform，希尔伯特黄变换)技术进行时频域滤波及低切方法压制涌浪噪声.在强随机噪声的干扰下，由于地震同相轴淹没在噪声中，传统的水平叠加速度分析方法会产生不准确的速度拾取结果.近年来，有研究者提出了一些新的速度分析方法.Fomel(2009)提出了基于AB相似性的速度分析方法，与传统速度分析方法相比，该方法受振幅变化影响更小.Blias(2009)针对上覆地层速度横向变化的情况，提出一系列技术方法以提高叠加速度的求取精度.Luo和Hale(2012)采用加权相似的方法，提高了基于相似性方法速度分析的分辨率.而针对强随机噪声干扰的地震速度分析方法研究具有重要意义，如何获取强随机噪声干扰下的速度信息是一个值得关注的问题.

在信号检测领域中，国内外很多相关学者对含有噪声情况下的有效信号提取与检测进行了研究.曹开田和杨震(2010)提出了基于随机矩阵理论(Tulino and Verdú，2004)的频谱感知方法，该方法对噪声的不确定性具有较强的鲁棒性.而在基于非线性方法的弱信号检测方法中，对混沌系统的研究受到了广泛的关注.Brix和Pipenberg(1992)提出将混沌理论应用于弱信号检测，通过实验从随机高斯噪声背景下检测出了有效的信号.Haykin和Li (1995)利用人工神经网络的方法实现了对混沌噪声下的目标弱信号检测.王冠宇等(1997)利用Duffing振子对强噪声背景下的弱信号检测进行了相关研究.Wang等(1999)利用振子混沌系统实现了在白噪声背景下低信噪比的正弦信号的检测.聂春燕和石要武(2001)提出了将互相关与Duffing振子相结合进行信号检测的方法.李月等(2005)针对地震勘探资料湮没在随机噪声中的微弱同相轴问题，提出了基于混沌理论的混沌振子检测算法.李月等(2006)构建了由两个Duffing方程耦合确定的混沌系统，并通过仿真实验，表明此类混沌系统具有更好的抗噪声能力和更稳定的周期相态.Li等(2009)将Duffing振子混沌系统用于地震弱信号检测，在共炮点道集上实现了强噪声背景下的地震同相轴识别.

本文提出了一种基于Duffing振子混沌系统的地震速度分析方法.以不同速度对CMP道集数据进行移动窗口截取，并构建成待测信号，将构建的待测信号加入到临界状态的Duffing振子混沌系统中，利用系统状态的改变来判断待测信号是否具有特定的周期性，从而获取准确的动校正速度.同时提出一种基于混沌系统相图的网格分割法(GPM)对混沌系统的状态进行判断，定量地反映混沌系统的状态，为自动拾取地震速度信息提供有效的方法.理论模型与实际数据验证的结果表明，与传统的水平叠加速度分析方法相比，本文所提出的方法能够在强随机噪声背景下获得更准确的速度分析结果.

2 理论基础

2.1 Duffing方程回顾

Duffing方程是由Duffing(1918)提出的一个用以描述软弹簧弱阻尼振动的非线性方程.经典Holmes型Duffing方程的形式是

(1)

式中，γcos(t)为混沌系统的周期性策动力(参考信号)，k为阻尼系数，一般令k=0.5，ax+bx3为非线性恢复力.取a=-1，b=1时，公式(1)的状态方程形式为

(2)

用4阶龙格库塔(Runge-Kutta)法对此状态方程进行求解，龙格库塔(Runge-Kutta)法的步长取信号的采样步长，求得每一时间采样点处的x(n+1)和y(n+1)，输出x(n+1)和y(n+1)得到系统的相图.首先，固定k=0.5，研究γ对系统状态的影响.当γ从0逐渐增大时，系统状态随γ的变化呈现出规律性的变化：经历平衡点、同宿轨道、分叉状态、混沌状态和大尺度周期状态.图1为Duffing系统在混沌状态时和大尺度周期状态时的相图.从图1中可以看出，系统从混沌状态到大尺度周期状态，相图产生了非常明显的变化.

2.2 相图网格分割法(GPM)

目前，对于Duffing振子混沌系统状态的判断依据主要有以下几种方法：对相图的直接观察、Lyapunov指数(Wolf et al.，1985)、Melnikov法(Wiggins，1988)、Poincare截面(Dubois et al.，1982)等.其中，对相图的直接观察最为简单直接，但是效率比较低，无法使用到实际的地震速度分析中，且难以实现自动化.而诸如Lyapunov指数等方法又存在计算效率的问题，过高的计算成本使其不适合应用在地震速度分析上.本文提出了对系统相图进行网格分割的判断方法，将二维的相图转化成为一维的参数分析，实现对系统状态的定量判断.在提高计算效率的同时，为速度的扫描与自动拾取提供了条件.

图1 Duffing系统在不同状态下的相图(a)γ=0.824，混沌状态；(b)γ=0.828，大尺度周期状态.Fig.1 The phase plane diagram of different system states(a) γ=0.824, chaotic state; (b) γ=0.828, large-scale periodic state.

相图网格分割方法的原理如图2所示，将Duffing系统的相图按一定尺寸的网格(如正方形网格)进行平均分割，例如每个网格的边长为gx.对每一网格进行判断赋值，若网格中有相轨迹经过，对其赋权值为1；而对没有相轨迹经过的网格，则赋权值为0.对赋值后的全部网格权值进行求和统计，得出系统状态判断参数p.从图2可以看出，在网格大小gx固定时，大尺度周期状态的系统状态判断参数p要明显小于混沌状态时的系统状态判断参数.

利用Duffing振子混沌系统检测微弱特征信号，主要根据混沌系统对特定小信号的敏感性以及对噪声“免疫”的特点进行检测.将Duffing方程中的参数γ设置在临界值γc附近，使系统处于变化的边缘.根据混沌学理论，这时噪声对系统的影响很小，不会引起系统相态的变化，而微弱特征信号对系统状态的改变起着决定性作用.当待测信号加入系统后，观察系统是否从混沌状态变化到稳定的大尺度周期状态，以此判断待测信号中是否含有特定的周期信号.因此，需要预先确定系统临界状态的临界值γc的大小.通过取网格分割法的网格大小gx，使混沌状态时的系统判断参数pc与大尺度周期状态时的系统判断参数pp差别最大.经过试验对比，选择gx=0.02作为正方形网格参数.当系统无外加信号输入时，γ从0.750逐渐增加至0.900的过程中，随着系统由混沌状态变为大尺度周期状态，系统判断参数p有出现阶跃跃变，如图3a所示.进一步通过对系统状态判断参数(图3a)求导，得到系统的临界状态阈值γc为0.826(图3b).

2.3 用于地震速度分析的Duffing振子混沌系统

根据公式(1)，标准的Duffing方程形式是

(3)

为了实现对不同频率信号进行检测，对公式(3)进行坐标变换.令t=ωτ，则x(t)=x(ωτ)=xτ(τ)，可得

(4)

(5)

代入公式(3)得：

(6)

写成状态方程形式为：

(7)

与公式(3)进行比较后发现，x和y都变成了原来的ω倍，系统以原来ω倍的速率进行运动，但系统的动力学性质并未发生变化.这样，通过选取不同的ω

图2 相图网格分割法原理示意图(a)混沌状态的相图；(b)大尺度周期状态的相图.Fig.2 The illustration of grid partition method(a) The phase plane diagram of chaotic state; (b) The phase plane diagram of large-scale periodic state.

值可以实现对不同频率信号的检测.为了表述方便，令τ=t，并消去角标，将外加信号加入系统后，公式(6)变为

=γcos(ωt)+ξR(t)，

(8)

其中，R(t)为系统外加信号，这里R(t)=s(t)+n(t)，s(t)为待测信号，n(t)为噪声，ξ为外置信号的振幅可调参数.由于待检测信号可以看作是系统内置周期策动力的补充，因此，这种“补充”是否适当，还应当考虑周期性策动力与待检测信号之间的相位关系.若待测信号为R(t)=cos(100t+0.5π)，令ξ=0.01，将公式(8)对应的Duffing振子混沌系统调至临界混沌状态.此时，系统的周期性策动力与待测信号的相位差为0.5π.将待测信号加入Duffing振子混沌系统中，系统仍处于混沌状态，系统状态没有改变，如图4所示.

为解决该问题，加入相位参数φ，Duffing振子混沌系统变为：

=γcos(ωt+φ)+ξR(t).

(9)

令φ=0.5π，此时，系统的周期性策动力与待测信号间的相位差为0.从时域图上看，在消除了相位差之后，待测信号对处于阈值状态的周期性策动力形成了很好的“补充”，使系统进入大尺度周期状态，如图5所示.因此，加入相位参数后，能够提高Duffing振子混沌系统的检测精度.

2.4 基于Duffing振子混沌系统的速度分析方法

首先，建立一个理论无噪声共中心点(CMP)合成地震记录，如图6a所示.时间采样4 ms，记录时间4 s，80个记录道，最小炮检距为零，道间距50 m.

图3 混沌系统临界值曲线(a)状态判断参数p随γ变化的关系曲线；(b)状态判断参数导数曲线(γc=0.826).Fig.3 Determine the critical value of chaotic system(a) The judgment parameter p varies as the γ increases; (b) The derivative of judgment parameter (γc=0.826).

图4 系统周期性策动力与待测信号存在相位差时混沌系统状态图(a)时域图(实线为系统周期性策动力，虚线为外加待测信号)；(b)系统相图.Fig.4 The phase plane diagram of chaotic system with the phase difference between the periodic force and input signal(a) Time-domain plot (the solid line is periodic force of system; the dash line is input signal); (b) the phase plane diagram.

图5 消除系统周期性策动力与待测信号间的相位差后，系统进入大尺度周期状态(a)时域图(实线为系统周期性策动力，虚线为外加待测信号)；(b)系统相图.Fig.5 The phase plane diagram of chaotic system without the phase difference between the periodic force and input signal(a) Time-domain plot (the solid line is periodic force of system; the dash line is input signal); (b) the phase plane diagram.

图6 理论共中心点合成地震记录(a)无噪声合成地震记录；(b)加入强随机噪声后的合成地震记录.Fig.6 Synthetic CMP record(a) Noise-free synthetic CMP record; (b) Synthetic CMP record with strong random noise.

其中，在t0=1.2 s和2.6 s处，两条同相轴所对应的均方根速度Vr ms分别为1800 m·s-1和2500 m·s-1.合成地震记录采用的子波是雷克子波，主频fr=25 Hz.在如图6a的人工合成共中心点(CMP)地震记录中，加入高斯白噪声，信噪比约为-16.14 dB(图6b).从图6b中可以看出，原本在t0=1.2 s和t0=2.6 s处的两条地震同相轴已经完全湮没在噪声之中，肉眼很难分辨.

对共中心点地震记录进行移动窗口截取.对于每一个自激自收时间t0，用不同速度在各道上截取窗口大小为ws的信号.在同一扫描速度下，将每道所截取到的信号首尾相接组成待检测信号.截取窗口中心点满足双曲线方程

(10)

其中，t0取值范围为0～4000ms，x为炮检距，V为扫描速度.选择截断窗口大小ws时，应当保证在窗口范围内能完整将子波的波形包含其中.同时，截取窗口大小ws与系统周期性策动角频率ω之间的关系应满足：

(11)

式中，n为正整数，即截断窗口大小ws应为系统周期性策动力周期的整数倍.对模型所选用的主频为25 Hz的雷克子波，本文选用的截断窗口大小ws为100 ms.

按公式(10)的关系在CMP道集上进行双曲型移动窗口截取.在t0=1.2 s(或2.6 s)处，若分别按1200 m·s-1(或2600 m·s-1)的速度正确进行移动窗口截取，所截取到的待测信号如图7a所示，此时所截取到的待测信号为持续时间为8 s的雷克子波序列.而在t0=1.2 s(或2.6 s)处，当扫描截取速度不正确时，所截取的待测信号则无法包含完整的80个雷克子波(图7b).在正确的截取速度下，对如图6b所示的混合强随机噪声后的CMP道集进行移动窗口截取，从时域图上看，待检测的雷克子波序列已经完全湮没在噪声中(图7c).此时，叠加噪声后的信号信噪比为

(12)

其中，PS为信号的平均功率，PN为噪声的平均功率.

在t0=1.2 s处，将扫描速度正确时所截取的待测信号(图7a)作为待测信号R(t)，加入公式(9)所描述的Duffing振子混沌系统中.为使检测更加准确，调整γ稍小于γc使系统处于临界混沌状态边缘，即令γ=0.824，周期策动力角频率ω=20×2π，周期策动力相位φ=π/2，外加信号振幅可调参数ξ=0.02.加入待测信号R(t)后，原本处于临界混沌状态的系统变为大尺度周期状态(图8a).扫描速度不正确时所截取的待测信号(图7b)加入到上述临界状态的Duffing振子混沌系统中，由于待测信号不具有周期性，系统状态依然处于混沌状态(图8b).将混合了噪声后的信号加入临界Duffing振子混沌系统中进行检测.从相图(图8c)上看，与无噪声时的情况(图8a)相比，虽然噪声的加入使相图的轮廓变的有些“粗糙”，但系统的状态依然是大尺度周期状态，噪声并未对系统状态的改变产生影响.

图7 检测信号对比图(a)扫描速度正确时的待测信号；(b)扫描速度不正确时的待测信号；(c)扫描速度正确时的含噪声信号.Fig.7 The comparison diagram of reconstructed signal(a) The reconstructed signal intercepted by correct velocity; (b) The reconstructed signal intercepted by incorrect velocity; (c) The reconstructed signal with noise intercepted by correct velocity.

图8 加入待测信号后的系统相图(a)图7a对应的待测信号；(b)图7b对应的信号；(c)图7c对应的待测信号.Fig.8 The phase plane diagrams when added the different signals(a) The signal corresponding to Fig.7a; (b) The signal corresponding to Fig.7b; (c) The signal corresponding to Fig.7c.

3 理论模型分析

对叠加强随机噪声的地震记录(图6b)分别进行水平叠加速度分析和基于Duffing振子混沌系统的速度分析.两种分析方法的速度扫描步长均选取为25 m·s-1，速度扫描范围为1000～4000 m·s-1.水平叠加速度分析结果如图9a所示.Duffing振子混沌系统的参数在每一个t0时间均为γ=0.824，周期策动力角频率ω=20×2π，周期策动力相位φ=π/2，外加信号振幅可调参数ξ=0.02.对CMP地震记录进行窗口截断扫描，在各自激自收时间t0下，将每一截断扫描速度所截取的信号作为待测信号R(t)加入系统中，采用相图网格分割方法对系统状态进行判断，网格大小gx=0.2，将系统判断参数p输出，得到速度谱(图9b).从水平叠加速度分析的结果(图9a)可以看到，由于强随机噪声的存在，使得对应的速度谱几乎没有可分辨的能量团存在，因此无法识别出同相轴的自激自收时间t0和相应的RMS速度.由于噪声的存在，在速度谱的低速区(1000～1500 m·s-1)产生强烈干扰，会导致自动速度拾取错误.图9b为基于Duffing振子混沌系统的速度分析方法所获得的速度谱.在t0=1.2 s，V=1800 m·s-1和t0=2.6 s，V=2500 m·s-1处，由于对应合成地震记录(图6a)中的两条同相轴，此时加入Duffing振子混沌系统的待测信号为混合了随机噪声的周期雷克子波序列，系统由混沌状态转变为大尺度周期状态.因此系统状态判断参数p在这两处为局部极小值，分别为162和145.与水平叠加速度分析相比，基于Duffing振子混沌系统的速度分析方法能够获得高分辨率的速度谱，且表现出很强的抗噪能力.

图9 速度分析方法对比(a)水平叠加速度分析；(b)基于Duffing振子混沌系统的速度分析方法.Fig.9 Comparison on two velocity analysis methods(a) Standard velocity analysis spectrum; (b) Duffing chaotic system velocity analysis spectrum.

图10 实际数据测试(a)某海上实际CMP数据体；(b)基于Duffing振子混沌系统速度分析方法的自动速度拾取结果.Fig.10 Field data test(a) A marine dataset with strong swell noise; (b) Automatic picked velocities using Duffing chaotic system.

图11 实际数据速度分析对比图(a)传统水平叠加速度分析；(b)基于Duffing振子混沌系统速度分析方法.Fig.11 Comparison on the velocity analysis results from field data(a) Standard velocity analysis result; (b) Velocity analysis result using Duffing chaotic system.

图12 水平叠加结果对比图(a)传统水平叠加速度分析；(b)基于Duffing振子混沌系统速度分析方法.Fig.12 Comparison on stacking results(a) Standard velocity analysis; (b) Velocity analysis using Duffing chaotic system.

4 实际数据测试

在实际资料处理中，选取海上某地区CMP数据体，数据中包含较强的涌浪噪声，如图10a所示.该记录共200个CMP道集.图中三个截面分别为：左上截面为1.6 s位置的时间切片，左下截面为炮检距为0.8 km时的共炮检距剖面，右下为1.2933 km处的共中心点道集.涌浪噪声导致地震资料的信噪比很低.分别采用传统水平叠加方法和基于Duffing振子混沌系统的方法进行速度分析，图10b为采用Duffing振子混沌系统所获得的RMS速度拾取结果.这里，Duffing振子混沌系统方法的参数为：截断窗口大小ws取100 ms，γ=0.823，周期策动力角频率ω=20×2π，周期策动力相位φ=0，外加信号振幅可调参数ξ=0.02，相图网格分割方法(GPM)的网格大小gx=0.2.为进行比较，选取1.2933 km处的CMP道集，采用两种方法分别进行速度分析，传统水平叠加速度分析所获得的速度谱如图11a所示.由于涌浪噪声的干扰，传统速度分析方法所获得的速度谱质量较差，导致自动速度拾取结果不正确.图11b为采用基于Duffing振子混沌系统进行速度分析所获得的速度谱，与传统方法相比，基于Duffing振子混沌系统的速度分析方法受涌浪噪声的影响更小，自动速度拾取结果更加准确.需要说明的是，由于在实际数据中地震子波随偏移距的变化，由截断窗口扫描所构成的待测信号的周期性将受到诸如远偏移距子波能量衰减、AVO效应等因素的影响.待测信号的非周期性增加会造成基于Duffing振子混沌系统速度分析方法的分辨率降低.对采用传统水平叠加方法和基于Duffing振子混沌系统的方法所获得的速度结果进行水平叠加，结果如图12所示.其中，图12b为采用基于Duffing振子混沌系统速度分析所得到的叠加剖面，与水平叠加速度分析结果所得到的叠加剖面(图12a)相比，本文提出的方法能够获取更高信噪比的叠加结果.

5 结论

本文提出一种基于Duffing振子混沌系统速度分析方法.由于Duffing振子混沌系统对于强随机噪声具有“免疫”特性，使得该方法能够在强噪声背景下取得比常规速度分析方法更为准确的速度分析结果.主要内容包括：对CMP道集进行移动窗口截取，将截断所得的地震子波构建成Duffing振子混沌系统所能够检测的周期性信号，然后对加入信号后的系统状态进行判断.本文提出相图网格分割法对混沌系统的状态进行判断，能够获得高效、稳定且定量的系统状态判断结果，进而可将系统状态判断结果用于自动获取速度信息.通过对理论模型和实际地震记录进行处理，验证了该速度分析方法能够在强随机噪声背景下取得比常规速度分析方法更准确的速度信息，进而得到高信噪比的水平叠加结果.

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(本文编辑 何燕)

Seismic velocity analysis based on the Duffing oscillator chaotic system

LIU Cai1, WANG Bo1,2, LIU Yang1*

1CollegeofGeo-explorationScienceandTechnology，JilinUniversity，Changchun130026，China2ShijiazhuangUniversityofEconomics，Shijiazhuang050031，China

The strong random noise is the main reason for low signal-to-noise ratio of seismic data. It is a much concerned issue how to extract useful information from data under a strong random noise background. The Duffing oscillator chaotic system is a nonlinear dynamic one that is immune to noise, but very sensitive to particular periodic signals. This paper presents a seismic velocity analysis method based on the Duffing oscillator chaotic system.In a chaotic system, one needs to make the system reach a critical state before it is used to analyze signal. We propose a new method called the grid partition method (GPM) to estimate the chaotic system state. The principle of GPM is dividing the phase plane diagram into many small square grids. If the phase trajectories pass any small grid, this grid will be assigned to 1; otherwise, the value of the small grid is 0. Summing all the values of small grids will obtain the grid judgment parameter, which provides a stable criterion for seismic velocity analysis. A moving window intercept method following the time-distance curve is used to reconstruct the signal from the CMP gathers. Then we add the reconstructed signal to the Duffing oscillator chaotic system and use the grid partition method to judge the state of system. Therefore, the high resolution velocity spectrum can be obtained by the proposed method from the data with a strong random noise background.We apply the proposed method to the synthetic model which is a CMP gather contains two events. Adding strong random noise to the synthetic model and two events are buried in noise, which cannot be identified. The signal-to-noise ratio (SNR) is -16.14 dB. For comparison, we use standard velocity scan and chaotic system with GPM to calculate velocity spectra of noisy data, respectively. Velocity analysis with stacking criterion fails in providing correct velocity trends. The results of the chaotic system with the GPM velocity analysis method shows higher resolution and random noise has less influence on the low velocity zone, which may cause the incorrect velocity picking. We use a marine field dataset with swell noise to further evaluate the proposed method. For standard velocity scan, the swell noise causes low quality of velocity panels, which leads to inaccurate velocity picking. The Duffing chaotic system is less affected by the strong swell noise and shows more accurate velocity picking results. The velocity analysis method using the Duffing chaotic system produces a stacking result with high SNR.Because the Duffing chaotic system is less sensitive to strong noise, so suitable for detecting weak seismic events. A new approach called grid partition method (GPM) can judge state of the Duffing oscillator system, which provides a stable criterion to detect accurate RMS velocities. To reconstruct the periodic seismic signal, we use an intercept window to select seismic wavelets from the CMP gathers. Where after, the Duffing chaotic system provides a better way for acquiring velocity information in the case strong random noise exists. Results of applying the proposed method to a synthetic example and field data show that this new method, compared with traditional velocity analysis, can obtain more accurate velocities in a strong random noise environment.

Chaotic system; Duffing oscillator; Strong random noise; Swell noise; Velocity analysis

10.6038/cjg20150620.

国家自然科学基金重点基金(41430322)，国家重点基础研究发展计划(973计划)课题(2013CB429805)，国家自然科学基金项目(41274119，41174080，41004041)，以及国家高技术研究发展计划(863计划)重大项目(2012AA09A20103)资助.

刘财，男，教授，博士生导师.主要从事地震波场正反演理论、综合地球物理等研究.E-mail:liucai@jlu.edu.cn

*通讯作者 刘洋，男，教授，博士生导师.主要从事地震数据处理、海洋电磁数据处理和地质-地球物理综合研究等工作. E-mail:yangliu1979@jlu.edu.cn

10.6038/cjg20150620

P631

2014-09-01，2015-01-18收修定稿

刘财，王博，刘洋.2015.基于Duffing振子混沌系统的地震速度分析方法.地球物理学报，58(6):2057-2068,

Liu C, Wang B, Liu Y. 2015. Seismic velocity analysis based on the Duffing oscillator chaotic system.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),58(6):2057-2068,doi:10.6038/cjg20150620.