三阶非线性差分方程的振动性

王冬梅

(海南大学 信息科学技术学院，海南 海口 570228)

Δ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0

，

.

，

f(xσ(n))≥Lxσ(n)>0．

Δ[bnΔ(anΔxn)]=-qnf(xσ(n))≤-Lqnxσ(n)≤0，n>n1 ，

Δ(anΔxn) ≥0 ．

.

.

xσ(n)>M ．

Δ[bnΔ(anΔxn)]≤-LMqn ．

，

，

.

，

，

Δ3xn+xn-2=0，n≥3 ，

}=10>1 ，



三阶非线性差分方程的振动性

王冬梅

(海南大学 信息科学技术学院，海南 海口 570228)

利用分析方法研究了三阶非线性差分方程Δ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0的振动性，并举例说明．

三阶差分方程； 非线性； 振动

近年来，差分方程振动性引起学者们广泛关注，研究成果也很多[2-6]．但大部份研究结果集中在二阶差分方程上，三阶的却不多见.文献[1]研究了一类具时滞的三阶非线性泛函微分方程

的振动性，并得到很好的结果．笔者在文献[1]的启发下，考虑三阶非线性时滞差分方程

Δ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0

(1)

的振动性，其中an>0，bn>0，qn≥0，Δ为向前差分算子，即Δxn=xn+1-xn，Δ3xn=Δ[Δ(Δxn)]，函数f(x)满足

(2)

函数σ(n)满足

(3)

定理1 若

(4)

且

(5)

则方程(1)是振动的．

证明 设{xn}是方程(1)的一个非振动解．不失一般性，假设{xn}是方程(1)的一个最终正解，即存在正整数n1>n0，当n>n1时，有xn，xσ(n)>0．

根据条件(2)，当n>n1时，有

f(xσ(n))≥Lxσ(n)>0．

(6)

根据式(6)，方程(1)转化为

Δ[bnΔ(anΔxn)]=-qnf(xσ(n))≤-Lqnxσ(n)≤0，n>n1，

(7)

即{bnΔ(anΔxn)}是非增的．可以断定：当n>n1时，必有

Δ(anΔxn) ≥0 ．

(8)

否则，必存在正整数n2>n1，使得bn2Δ(an2Δxn2)<0．当n>n2由式(7)得bnΔ(anΔxn)≤bn2Δ(an2Δxn2)<0，即

(9)

将式(9)两边从n2到n-1相加得

(10)

(11)

将式(11)两边从n3到n-1求和得

(12)

1)Δxn>0， {anΔxn}是正的非减数列．

存在正整数n4>n1，当n>n4时，有anΔxn≥an4Δxn4>0．即

(13)

将式(13)两边从n4到n-1求和得

(14)

xσ(n)>M ．

(15)

由式(7)和(15)得

Δ[bnΔ(anΔxn)]≤-LMqn．

(16)

将式(16)两边从n5到n-1求和得

2)Δxn<0，{anΔxn}是负的非减数列．

当m>n时，将式(7)两边从n到m-1相加得

令m→+∞得

(18)

当r>n时，将式(18)两边从n到r-1相加得

令r→+∞并交换求和顺序得

(19)

当s>n时，将式(19)两边从n到s-1相加得

令s→+∞并交换求和顺序得

将上式中的n用σ(n)替换，再根据σ(n)

即

与式(5)矛盾.

例 考虑三阶时滞差分方程

Δ3xn+xn-2=0，n≥3 ，

(20)

根据定理1得方程(20)是振动的．

[1]CandanT,DahiyaRS．Oscillationofthirdorderfunctionaldifferentialequationswithdelay[J]．ElectronicJournalofDifferentialEquations，2003，10：79-88．

[2]LiWT．Oscillationtheoremsforsecond-ordernonlineardifferenceequations[J]．MathematicalandCompeterModelling，2000，31(6/7)：71-79．

[3]PadhiS，QianCX．Oscillationofneutraldelaydifferenceequationsofsecondorderwithpositiveandnegativecoefficients[J]．MathematicaSlovaca，2009，59 (4)： 455-470．

[4]KoplatadzeR,PinelasS．Onoscillationofsolutionsofsecond-ordernonlineardifferenceequations[J]．JournalofMathematicalSciences，2013，189(5) ：784-794．

[5]AgarwalRP,WongJY．Oscillationforsecondorderneutraldelaydifferenceequations[J]．AdvancedTopicsinDifferenceEquations，1997，404：227-233．

[6]ChengJF．Kamenev-typeoscillationcriteriafordelaydifferenceequations[J]．ActaMathematicaScientia， 2007， 27B(3)：

574-580．

Oscillation Criteria of Third-order Nonlinear Difference Equations

WangDongmei

(CollegeofInformationScienceandTechnology,HainanUniversity,Haikou570228,China)

Inthereport,theanalyticalmethodswereusedtoanalyzetheoscillationcriteriaofthird-orderdifferenceequationsΔ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0.Andanexamplewasusedtoillustratetheresult.

third-orderdifferenceequations;nonlinear;oscillation

2015-05-11

海南省教育厅基金(Hjkj2013-09)

王冬梅(1980-)，女，山东潍坊人，讲师，硕士，研究方向：微分方程，E-mail:wdm_math@163.com

1004-1729(2015)03-0208-04

O

ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0038