Vassiliev不变量与纽结的相似性

霍承刚

(宿州学院 数学与统计学院,安徽 宿州 234000)

v(KD)=v(K+)-v(K-)

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Vassiliev不变量与纽结的相似性

霍承刚

(宿州学院 数学与统计学院,安徽 宿州 234000)

介绍一类重要的纽结不变量，即Vassiliev不变量,且利用纽结的相似性研究了其一些重要性质.

纽结； 琼斯多项式；Vassiliev不变量； 相似性

纽结理论与分子生物学、理论物理、化学等自然科学领域密切相关，例如近20年来在生物体和实验室合成出许多拓扑新颖的分子纽结和分子环链.Birman和Lin给出了Vassiliev不变量的公理描述.本文采用Birman-Lin所引进的Vassiliev不变量的定义[1]. 纽结的Vassiliev不变量是一个特色鲜明的不变量，有类似多项式的性质等.研究者刻画Vassiliev不变量的特性的角度方法逐渐增多[1-8]，比如，Ohyama[2]运用纽结的相似性进行刻画；Stanford[3]运用辫交换子研究其性质，Ohyama和Yamada[4]结合Cn-move来研究等.

1 预备知识

对于值域是Abel群的纽结不变量，运用下述线束关系

v(KD)=v(K+)-v(K-)

来定义奇异纽结的不变量,KD，K+，K-代表局部如图1所示，但其他部分相同的纽结图表.

定义1 设v为值域在Abel群的纽结不变量，若对任意多于n个奇异点的纽结K有v(K)=0，则称不变量为n阶Vassiliev不变量，记为vn.

例 令L=L1∪L2∪…∪Ln表示有序定向的n-分支环链，λij(L)为1阶的Vassiliev不变量，其中λij(L)表示Li与Lj(i

定理1 令λijλkl(L)=λij(L)λkl(L),则λijλkl是2阶的Vassiliev不变量.

事实上，设vd和ve分别为d阶和e阶的Vassiliev不变量，则vdve为d+e阶的Vassiliev不变量.

因为纽结的Conway多项式中二次项的系数是2阶的，所以有6种2阶的Vassiliev不变量：常数，φi(1≤

i≤n)，λij(i

定理2 令a,bi,cij,dij,eijk,fijkl为常数，则

为n分支环链L的2阶的Vassiliev不变量.

2 Vassiliev 不变量与纽结的相似性

引理1 对纽结K及自然数n，存在无限多个纽结与K具有相同m(1≤m≤n)阶不变量.

定义2 设K为纽结，D(K)是K的图表，令C为D(K)中交叉点的集合，n为正整数，设A={A1,A2,…,An}为n个C的不交非空子集的集合.用Aj1j2…jm记子集{Aj1,Aj2，…，Ajm}.若对A的每个非空子集Aj1j2…jm中元素交换交叉点，都可得到固定纽结L，那么称K与L是n-相似的.特殊地，若L为平凡纽结，K称为

n-平凡的.

引理2 对任意自然数n>1，存在无穷多个纽结为n-平凡的却不是n+1平凡的.

引理3[5]对任意纽结L和自然数n，有无穷多个复合纽结相似于L.

设K为n-相似于L的纽结，D(K)是K的图表，并且{A1,A2,…，An}给出K与L的相似性.

定理3 设K为纽结，则K与任意有限个(n+1)-平凡纽结的连通和同K拥有相同阶≤n的Vassiliev值.特别的，K′记(n+1)-平凡的纽结，#iK′记i个K′做连通和，那么K与K#(#iK′)拥有相同阶≤n的Vassiliev值.

证明 先证明如果K与L是n-相似的纽结，那么有下式成立

(1)

当n=1时，利用v(KD)=v(K+)-v(K-) 归纳，有

假设n=k-1时，定理成立.若K与L是k-相似的(关于{A1，A2，…，Ak})，则K与L是(k-1)-相似的(关于{A1，A2，…，Ak-1})，则

再反复运用关系式(1)并运用引理2即证得定理.

定理4 若K是n-平凡纽结，则当 1≤m

1≤m

证明 由式(1)有

从而vm(K)=vm(O).

3 结束语

对纽结不变量的研究对纽结分类意义非凡，而Vassiliev不变量特色明显，其作用不容忽视.寻找和合成拓扑新颖的蛋白质是生物学目前面临的挑战和机遇，希望借助Vassiliev不变量获得突破.

[1] Barnatan D. On the Vassilliev knot invariants[J]. Topology, 1995, 34(2):423-472.

[2] Ohyama Y. Vassiliev invariants and similarity of knots[J]. Proc.Amer. Math.Soc,1995,123: 287-291.

[3] Stanford T. Braid commutators and Vassiliev invariants[J]. Pacific J.Math,1996,174: 269-276.

[4] Yasutaka N, Ohyama Y. Knots with given finite type invariants and Conway polynomial[J]. Knot Theory Ramifications,2006, 15 (2):205-215.

[5] Zhu J. On Jones knot invariants and Vassiliev invariants[J]. J.Math, 1998, 27(2) : 293-299.

[6] Kofman I. Approximating Jones coefficients and other link invariants by Vassiliev invariants[J]. Journal of knot theory and its ramifications, 2000,9(7):955-966.

[7] 霍承刚．纽结的Vassiliev不变量[D]．大连：辽宁师范大学，2007.

[8] 霍承刚．辫交换子与Vassiliev不变量[J].海南大学学报(自然科学版)，2013,31(4)：311-312.

Vassiliev Invariant and Similarity of Knots

Huo Chenggang

(School of Mathematics and Statistics, Suzhou University, Suzhou 234000, China)

In the report, a kind of important knot invariant, Vassiliev invariant, was introduced, and the similarity of knots was used to analyze its some important characteristics.

knot; Jones polynomial; Vassiliev invariant; similarity of knots

2015-01-12

安徽省高校省级自然科学研究项目(KJ2013A248)；宿州学院教研项目“应用型院校近世代数课程教学改革的探索与实践”(szxyjyxm201319)；宿州学院大学生科研项目(KYLXWKB14-16)

霍承刚(1980-)，男，山东禹城人，讲师，硕士，研究方向：低维拓扑，E-mail:huochenggang_2006@163.com

1004-1729(2015)03-0212-03

O

ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0039