2015 年高考江苏数学卷19 题解法探究

朱允洲

（江苏省徐州高等师范学校）

朱允洲

（江苏省徐州高等师范学校）

题目：已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），

（1）试讨论f（x）的单调性；

（2）若b=c-a（实数c 是与a 无关的常数），当函数（fx）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1）∪（，+∞），求c 的值。

本题考查了函数的零点、导数的运算、函数的极值等知识，涉及函数与方程、数形结合和分类讨论以及化归与转化的数学思想，同时考查了学生对多参数问题的分析处理的能力。下面给出几种与标准答案不同的解法。

解（1）略

（2）法1：显然，a=0 不合题意。对（fx）求导，f（′x）=3x2+2ax，令f（′x）=0，得x=0，或x=-，易知0，-是函数的两个极值点，函数（fx）有三个不同的零点⇔（f0）·（f-）＜0，即（a-c）（a3-a+＞0，因为此不等式的解集恰好为（-∞，-3）∪（1，∪，+∞），此处求解可有两种思路：

思路一 （方程法）

方程（a-c）（a3-a+c）=0 的根应为：a=-3，1，（二重根），将它们带入方程得：c=-3，1，经检验只有c=1 时，上述方程的解为：-3，1。

思路二 （待定系数法）

当c=1 时，（fx）=x3+ax2+1-a=（x+1）（a-1）x+1-a因（fx）有三个不同的零点，故x2+（a-1）x+1-a=0 有两个异于-1 的根，于是由Δ＞0 及1+（a-1）（-1）+1-a≠0，得a 的取值范围（-∞，-3）∪（1，）∪，+∞）。综上，c=1。

法2：由x3+ax2+1-a=0，得x3+ax2=a-c，令p（x）=x3+ax2，q（x）=ac，函数（fx）有三个不同的零点，等价转化为两函数p（x）与q（x）的图象有三个不同的交点。p（′x）=3x2+2ax，令p（′x）=0，得x=0，或x=-，且易知其为p（x）的两个极值点，①当a＞0 时，p（x）极大值=p（-=-，p（x）极小值=p（0）=0，应有0＜a-c＜，即a-＜c＜a 恒成立，∀a∈（1）∪（，+∞），于是（a-）max＜c＜amin，即1≤c≤1，所以c=1。②当a＜0 时，p（x）极大值=p（0）=0，p（x）极小值=p=，应有＜a-c＜0，即a＜c＜a-恒成立，∀a∈（-∞，-3），于是amax＜c＜（a-min，即-3≤c≤1。综上，由①②得c=1，经检验c=1满足题意。

法3：设函数（fx）=x3+ax2-a+c，由f（′x）=0，得x=0，或x=-，当a＞0 时，（fx）极大值=-a+c，f（x）极小值=c-a；当a＜0 时，f（x）极小值=-a+c，（fx）极大值=c-a。令h（a）=-a，易知其图象关于原点对称（如图），且h（=-1，h=0。将h（a）的图象上下平移个单位，有：

函数（fx）有三个零点等价于［h（a）+c］·（c-a）＜0。考虑a＜0 情况，由h（a）＜0 得：a∈（-∞，-，而h（a）+c=-a+c＜0 的解集为（-∞，-3）（**），由（*）式知由h（a）向上平移c 个单位，同时ca＞0。由（**）式知-3 为方程-a+c=0 的根，得c=1，将c=1 带入原函数（fx）检验符合题意。

注：

1.由h（a）图象平移的对称性知：当函数（fx）有三个不同的零点时，若a∈（-∞，-∪（-，-1）∪（3，+∞），则c=-1；特别地，若a∈（-∞，-，+∞），则c=0；

2.若函数（fx）有三个不同的零点，将h（a）的图象向上平移（c＞0）个单位与向下平移个单位，则a 的取值范围关于原点对称。