阶跃响应辨识面积法简化算法的应用特性

许姗姗，杨平

(上海电力学院 自动化工程学院，上海 200090)



阶跃响应辨识面积法简化算法的应用特性

许姗姗，杨平

(上海电力学院 自动化工程学院，上海 200090)

摘要：为解决用常用阶跃响应辨识方法辨识有噪声阶跃响应数据时误差大的问题，研究了阶跃响应辨识面积法简化算法的应用特性。通过理论分析和仿真试验研究，提出了阶跃响应辨识面积法简化算法应用于稳态增益不为1过程、无自平衡过程、有零点过程和有噪声过程以及未达稳态过程时的处理技术。经过算例验证，所设计的自动确定阶数n的阶跃响应面积法辨识算法程序是可行的。研究表明，阶跃响应辨识面积法简化算法具有对噪声不敏感、辨识精度高和易于用计算机自动执行的优点。

关键词：阶跃响应传递函数过程辨识噪声误差

根据阶跃响应数据或曲线辨识出被控过程的数学模型的方法有很多，常用的有图解建模方法，如切线法和两点法[1-2]。切线法和两点法应用于实际工程时，常存在因噪声或未知扰动叠加在阶跃响应数据上而使被控过程数学模型辨识失败或辨识误差偏大的问题。为此，笔者展开了对一种基于面积计算的简化辨识方法的应用特性研究，选择面积计算辨识方法是因为该方法本质上具有对噪声或未知扰动不敏感的优秀特性；但该方法应用于实际工程的其他相关特性还需要进一步考察。文献[3-5]给出了较通用的阶跃响应面积法辨识算法，适用面宽，但计算较复杂且应用较困难。文献[4]指出应用阶跃响应面积法辨识算法时有模型阶数确定问题并提出了用判断传递函数分子分母多项式系数是否为正的方法。文献[5]给出了一种较简单的阶跃响应面积法辨识算法，它应用容易但理论上不适用于有零点的被控过程。以下的研究表明，这种阶跃响应辨识面积法简化算法具有应用简便、对噪声不敏感和辨识精度高的优越特性。

1阶跃响应辨识面积法简化算法

根据文献[5]，对于无零点且稳态增益为1的系统传递函数：

(1)

有单位阶跃响应系统微分方程：

(2)

当t→∞时有终值条件：

(3)

将式(2)的y(t)项移至等式右边，并在[0， t]上对等式两端积分，可得：

(4)

若定义：

(5)

则由式(3)可知，当t→∞时：

(6)

将式(4)的a1y(t)移到等式右边，并在[0, t]上对等式两端积分，再定义F2(t)：

(7)

则当t→∞时由式(3)可得：

a2=F2(∞)

(8)

由此类推，可得通式

F0(t)=1(i=1, 2, …, n)

(9)

根据式(9)，可设计出计算机可执行的阶跃响应辨识面积法简化算法程序。

式(9)中Fi(∞)的计算是积分计算，也就是面积计算。假设过程响应数据长度为N+1，采样周期为h，则Fi(∞)的计算可采用数值积分方法。若用矩形公式，可得到式(10)；若用梯形公式，可得到式(11)。

(10)

(11)

2阶跃响应辨识面积法简化算法的应用特性

2.1稳态增益不为1的过程辨识

若待辨识过程的稳态增益不为1，即待辨识过程的传递函数如式(12)所示，则可先进行增益标幺化处理，见式(13)，再应用阶跃响应辨识面积法简化算法。实际执行的增益标幺化处理是将原始的阶跃响应数据都除以K，形成稳态增益为1过程的阶跃响应数据。

(12)

(13)

2.2无自平衡过程辨识

对于无自平衡过程，不能直接用阶跃响应辨识面积法简化算法进行辨识。但是对无自平衡过程的阶跃响应函数进行求导运算后，其响应就成为有自平衡过程的阶跃响应了。因此，对于无自平衡过程，可先对求导运算后响应数据用阶跃响应辨识面积法简化算法进行辨识，再对求出的过程模型(有自平衡过程)作积分运算，就可得到无自平衡过程模型。

2.3有零点过程辨识

虽然阶跃响应辨识面积法简化算法是针对无零点的有自平衡过程模型导出的，但是有零点的有自平衡过程在一定条件下是存在无零点有自平衡过程的等效模型的。因为，零点特性和极点特性是相反的特性，所以两者特性可以相互抵消。常见的有零点的有自平衡过程大多是零点少、极点多的过程。一般都是极点特性强于零点特性，所以其极点特性抵消完其零点特性后还有富余，故存在等效的无零点有自平衡过程。因此，用阶跃响应辨识面积法简化算法辨识有零点的有自平衡过程时，就是辨识其等效的无零点有自平衡过程。

2.4阶跃响应数据含噪声时的过程辨识

一般情况下，在现场所测得的实际过程阶跃响应数据中都含有未知的噪声和随机扰动成分。而阶跃响应辨识面积法简化算法主要依据面积计算的原理，所以对未知的噪声和随机扰动信号不会太敏感。而若用切线法或两点法的图解建模方法辨识时，未知的噪声和随机扰动信号将有可能带来较大的计算误差，例如扰动信号恰好叠加在所测取得采样点上时，特征参数就可能算得很不准。

2.5未达稳态的阶跃响应过程辨识

在现场所测得的实际过程阶跃响应数据有可能是未达稳态的阶跃响应数据。特别是对于那些慢响应过程，要测取到完全达到稳态的实际过程阶跃响应数据,可能很困难。因此，难免碰到应用阶跃响应辨识面积法算法辨识未达稳态过程的阶跃响应数据的场合。因为阶跃响应辨识面积法算法是依据终值条件导出的，未达稳态就不满足终值条件，其辨识结果就有可能误差很大。

2.6模型阶数未知的过程辨识

图1　自动确定模型阶数的阶跃响应面积法辨识程序流程

在应用阶跃响应辨识面积法简化算法于某过程的阶跃响应数据时，常常还不知道该过程的模型结构和阶数。若过程模型阶数n未知，则用一组阶跃响应数据就辨识出多个不同阶数的过程模型。于是就存在着确定最优的n的问题。为此，专门设计了如图1所示的自动确定n的阶跃响应辨识面积法简化算法流程。图1中，I是辨识误差积分性能指标。若选用误差平方积分指标，则定义如式(14)所示。由图1可知，先设模型阶数i为1，再依次增加模型阶数i；每增加一次都算出相应的过程模型和辨识误差指标；通过比较增加阶数前后模型的误差指标大小来确定最优的n；误差变小时则说明阶数增加有效；误差变大时则说明阶数增加有误。因此，误差由大变小时，可令i增加，而误差由小变大时，可判定当前的过程模型阶数i值就是所求最佳值n。

(14)

3算例验证

3.1算例一

设所要辨识的过程具有如式(15)所示的模型。可见，其n=2，模型增益K=10。为了便于应用阶跃响应面积法辨识程序处理，可先进行增益标幺化处理，见式(16)。事实上，实际的处理是将所得的阶跃响应数据都除以K。

(15)

(16)

通过Simulink仿真试验可得该模型的阶跃响应数据和叠加白噪声后的阶跃响应数据(参见图2中实线)。对这2套数据分别用自动确定阶数n的阶跃响应面积法辨识程序处理，可得辨识结果见表1所列。参照文献[6]，可用阶跃响应两点法辨识方法人工处理这2套数据，所得结果也列在表1 中。

图2　有噪声时两种方法辨识结果比较

由表1可见，对于无白噪声的阶跃响应数据，面积法辨识结果a1和两点法辨识结果a2几乎相同；但当阶跃响应数据加白噪声后，面积法辨识结果a1几乎不受影响(还可参见图3中虚线)，而两点法辨识结果a2误差却明显增大。从图3可以看出，两点法辨识所得响应曲线(参见图3中粗实线)明显偏离正确响应曲线。

表1有/无白噪声时面积法和两点法的辨识结果比较

项 目无白噪声有白噪声a1a2a1a2已知参数15.0054.0015.0054.00面积法15.0055.5415.0255.95两点法15.0455.1116.7163.43

若用阶跃响应面积法辨识程序处理未达稳态阶跃响应数据(其响应时间只有30s，而达稳态的响应时间至少有60s)，则可得如图3所示的辨识结果。

图3　未达稳态阶跃响应数据的辨识结果曲线

由图3可见，对未达稳态的阶跃响应数据用阶跃响应面积法辨识，辨识误差会很大。

3.2算例二

设所要辨识的过程具有如式(17)所示的模型。可见，模型阶数n=3，模型增益K=1。

(17)

通过Simulink仿真试验可得该模型的阶跃响应数据，(如图4中细实线)以及叠加白噪声后的阶跃响应数据(如图5中细实线)。对这2套数据分别用自动确定阶数n的阶跃响应面积法辨识程序处理，可得辨识结果见表2所列。参照文献[2]，可用阶跃响应两点法辨识方法人工处理这2套数据，所得结果也列在表2中。

从表2可以看出，面积法辨识结果几乎不受噪声影响，而两点法辨识结果却受噪声的影响很大。从图4和图5可以印证这个结论，两点法辨识所得响应曲线明显偏离正确的响应曲线。

图4　无噪声时两种方法辨识结果比较

图5　有噪声时两种方法辨识结果比较

项 目无白噪声有白噪声a1a2a3a1a2a3已知参数16.0069.0054.0016.0069.0054.00面积法16.0070.6639.5416.0271.1033.19两点法15.9885.14151.2017.34100.30193.20

对比表1，从表2还可以看出，无论是面积法辨识还是两点法辨识，随着模型阶数的增加，传递函数分母多项式的系数辨识误差，对应幂次越高的系数其误差越大的趋势更加明显。例如，a1的真值为16，无噪声时面积法和两点法的辨识结果分别是16和15.98；a3的真值为54，无噪声时面积法和两点法的辨识结果分别是39.53和151.2。这说明面积法和两点法的辨识误差随着阶数的增加而增加，面积法辨识误差增长的速度不如两点法辨识那么快。从图4可以看出，面积法辨识曲线还能与正确曲线相重合，而两点法辨识曲线已与正确曲线相重合有明显差异。

3.3算例三

设所要辨识的过程具有如式(18)所示的模型，可见这是一个有零点的过程。

(18)

通过Simulink仿真试验可得该模型的阶跃响应数据(如图6中实线)。对这套数据用自动确定阶数n的阶跃响应面积法辨识程序处理，可得辨识结果如图6和式(19)所示。

图6　有零点过程的辨识结果曲线

(19)

由图6可见，辨识响应与实际响应还是有差异的。毕竟所用辨识方法是基于无零点模型导出的。但是，其差异并不大，所得近似模型虽然简单，但是有控制器参数整定应用价值。

由式(19)可见，有零点的3阶模型被等效为1阶无零点模型，模型结构变化较大，意味着1个零点消去了2个极点。不管怎样，面积法辨识简化算法能够对有零点过程进行辨识，只是辨识结果是零极点相消后的等效无零点过程模型。

4结束语

综上所述，可归纳如下4个研究结论：

1) 阶跃响应辨识面积法简化算法具有应用简便、对噪声不敏感、辨识精度高和易于用计算机自动执行的优越特性。

2) 所设计的自动确定阶数n的阶跃响应面积法辨识算法程序经过算例验证证实是可行的。该程序解决了阶跃响应辨识面积法简化算法应用时模型阶数难确定的问题，比文献[4]所提方法更简单易行。

3) 阶跃响应辨识面积法简化算法可以用于稳态增益不为1的过程、无自平衡过程、有零点过程和有噪声影响的过程，但是不建议用于未达稳态的过程。在用于稳态增益不为1的过程时先要进行增益标幺化处理。在用于无自平衡过程时先要进行求导处理，辨识模型后，再做积分处理。在用于有零点过程时，所辨识的是等效的无零点过程模型。

4) 与常用的两点法辨识相比，阶跃响应辨识面积法简化算法用于有噪声的过程辨识时具有较高的辨识精度。但是随着模型阶数的增加，传递函数分母多项式的系数辨识误差，有着对应幂次越高的系数其误差越大的趋势。面积法和两点法的辨识误差随着模型阶数的增加而增加，但是面积法辨识误差增长的速度要比两点法辨识慢得多。

参考文献：

[1]杨平,翁思义,王志萍.自动控制原理——理论篇[M].2版.北京： 中国电力出版社,2014： 61-74.

[2]王再英,刘淮霞,陈毅静.过程控制系统与仪表[M].北京： 机械工业出版社,2006： 25-40.

[3]方崇智,萧德云.过程辨识[M].北京： 清华大学出版社,1988： 85-91.

[4]赵志魁,孙连明,黄永宜.阶跃输入时传递函数的阶项判断探讨[J].焦作矿业学院学报,1995,14(02)： 42-46.

[5]王士杰.根据阶跃反应曲线求取对象传递函数的面积积分法[J].炼油化工自动化,1983(02)： 69-72.

[6]李鹏博,胡博文,张纪阳,等.系统辨识[M].北京： 中国水利水电出版社,2010： 19-20.

勘误

本刊2015年第5期《石油化工油品储罐计量与测量仪表设计方案》中发现2处错误，更正如下：

1. 第1页第1章储罐计量或非计量分类，“计量级测量方案有时也称为控制级测量方案”应改为 “非计量级测量方案有时也称为控制级测量方案”。

2. 第2页第2.1.1 节液位测量仪表，“容积不小于1×105m3的储罐宜采用液位高高联锁关闭罐进口管道开关阀”应改为 “容积不小于1×104m3的储罐宜采用液位高高联锁关闭罐进口管道开关阀”。

Application Features of Simplified Algorithm of Step Response Identification Area-method

Xu Shanshan, Yang Ping

(College of Automation Engineering, Shanghai University of

Electric Power, Shanghai, 200090, China)

Abstracts： To solve the problem of big error in identifying a noisy step response data with a common step response identification method, the application features of simplified algorithm of step response identification area-method are investigated. By theoretical analysis and simulation experimental research, processing technic is proposed when simplified algorithm of step response identification area-method is applied in these processes of non 1 steady state gain, no self-balance, zero point, noisy process and unsteady state. The designed identification algorithm program of step response area-method with automatic determining order n is proved to be feasible by example calculation. The study shows simplified algorithm of step response identification area-method has some good application properties of no insensitive to noise, high precision and easy to be automatically performed by computer.

Key words：step response; transfer function; process identification; noise; error

中图分类号：TP273

文献标志码：B

文章编号：1007-7324(2015)06-0032-05

作者简介：许姗姗(1989—)，女，上海电力学院在读研究生，研究方向为先进过程辨识与控制。

基金项目：上海市电站自动化技术重点实验室(13DZ2273800),上海市科技创新行动计划(13111104300)。

稿件收到日期： 2015-09-24。