具有违约风险的可转换债券定价模型

薛 红，金宇寰

(西安工程大学 理学院，西安710048)

具有违约风险的可转换债券定价模型

薛 红，金宇寰

(西安工程大学 理学院，西安710048)

假定股票价格和企业资产价值均服从双分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立双分数布朗运动环境下金融市场数学模型，利用保险精算方法，得到双分数布朗运动环境下具有违约风险的可转换债券定价公式.

双分数布朗运动；可转换债券；违约风险；保险精算

可转换债券是指发行人依照法定程序发行、在一定时间内依据约定的条件可以转换成股份的公司债券.可转换债券是普通公司债券和认股权证的组合，兼具债权和股权的双重属性.文献[1]在股票价格、公司资产价值均服从分数布朗运动条件下，利用风险对冲方法建立带违约风险的可转换债券定价模型，通过解偏微分方程得到其定价公式；文献[2]采用分数布朗运动驱动的扩散过程刻画股票价格和公司资产价值，利用拟-鞅方法建立具有公司违约风险的可转债定价模型，得出可转换债券价格.文献[3]提出双分数布朗运动是比分数布朗运动更为广泛的自相似高斯过程，关于双分数布朗运动的概念、性质、随机分析基本理论和应用见文献[3-5]. 本文在股票价格和企业资产价值均遵循双分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立了双分数布朗运动环境下金融市场数学模型，利用保险精算方法，得到了双分数布朗运动环境下具有违约风险的可转换债券保险精算价格.

1 双分数布朗运动环境下金融市场模型

|t-s|2HK),s,t≥0

其中H∈(0,1),K∈(0,2).

当K=1时，双分数布朗运动就退化为分数布朗运动，当K=1,H=1/2时，双分数布朗运动就退化为标准布朗运动.

假定公司资产价值A(t)和股票价格S(t)分别满足如下随机微分方程

假定公司存在违约风险，当公司资产价值A(t)低于某一固定水平D时，公司将发生违约行为，其中D是常数.

(1)

(2)

引理1 随机微分方程(1)(2)的解分别为

定义2[6]股票价格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回报率β(u),u∈[0,t]定义为

引理2 股票价格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回报率βS(u),u∈[0,t]为

βs(u)=μs,u∈[0,t]

同理，公司资产价值{A(t),t≥0}在[0,t]上的期望回报率βA(u),u∈[0,t]为

βA(u)=μA,u∈[0,t]

证明 由引理1可知

又因为

所以

同理有

2 双分数布朗运动环境下带违约风险的可转换债券定价

定义3[1]假设可转换债券只在债券到期时刻发生转股及违约情形，可转换债券到期时的现金流量VT为

其中:VT表示可转换债券到期时刻T的价值，Pb表示纯债券价值，C表示事前约定的转换价格，M表示债券面值，S(T)表示T时刻股票价格[7].

定义4 具有违约风险的可转换债券在0时刻的保险精算价格定义为

V0=E{Pbexp{-rT}·

其中无风险资产按无风险利率r折现，风险资产按其期望收益率β折现.

定理1 双分数布朗运动环境下具有违约风险的可转换债券保险精算价格

其中

证明 由引理1及2可得

令

则

ξ～N(0,1),η～N(0,1,ρξ,η)=δ.

由于

则

V0=E{Pbexp{-rT}I{ζ<-d1,η>-d2}+

V1+V2+V3,

其中

V1=E{Pbexp{-rT}I{ζ<-d1,η≥-d2}}=

Pbexp{-rT}P{ζ<-d1,-η≤d2}=

Pbexp{-rT}Φ(-d1,d2,-δ),

令

x1=x+σTHK,y1=y+δσTHK,

则

A(0)Φ(-d2-σATHK).

注： 当K=1时，可得分数布朗运动环境下具有违约风险的可转换债券保险精算价格(见文献[1-2])

其中

其中

[1] 潘 坚, 周香英. 分数布朗运动下带违约风险的可转换债券定价模型[J]. 数学理论与应用, 2013, 33(1): 63-68.

[2] 刘善存, 宋殿宇，金 华. 分数布朗运动下带违约风险的可转换债券定价[J], 中国管理科学, 2011, 19(6): 25-30.

[3]ES-SEBAIYK,TUDORCA.MultidimensionalbifractionalBrownianmotion:ItoandTanakaformulas[J].StochasticsandDynamics, 2007, 7(3): 365-388.

[4]RUSSOF,TUDORC.OnthebifractionalBrownianmotion[J].StochasticProcessesandApplications, 2006, 116(5): 830-856.

[5] 肖玮麟, 张卫国, 徐维东. 双分式布朗运动下股本权证的定价[J]. 系统工程学报, 2013, 28(3): 348-354.

[6] 何永红, 薛 红, 王晓东. 分数布朗运动环境下再装期权的保险精算定价[J]. 纺织高校基础科学学报, 2012, 25(3): 384-387.

[7] 杨淑彩，薛 红，王晓东.具有随机利率的分数型复合期权定价模型[J].哈尔滨商业大学学报：自然科学版，2014，30(1)：97-102.

Convertible bond pricing model with default risk

XUE Hong, JIN Yu-huan

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

It was assumed that the asset price and enterprise value satisfy stochastic differential equation driven by the bifractional Brownian motion. The mathematical model of financial markets in the bifractional Brownian motion environment was established. Using actuarial method, the pricing formula of the convertible bond with default risk in bifractional Brownian motion environment was obtained.

bifractional Brownian motion; convertible bond; default risk; actuarial method

2014-12-08.

陕西省教育厅自然科学专项基金(12JK0862)

薛 红(1964-)，男，博士，教授，研究方向：随机分析与金融.

O211

A

1672-0946(2015)06-0748-03