拟线性抛物方程解的爆破时间下界

卢 静

(1. 天津大学 理学院 数学系，天津 300072；2. 天津大学 应用数学中心，天津 300072)

拟线性抛物方程解的爆破时间下界

卢 静1，2

(1. 天津大学 理学院 数学系，天津 300072；2. 天津大学 应用数学中心，天津 300072)

研究了下面的方程

ut=Δum+up-uqin Ω×(0,t*),

u(x,t)=0 on ∂ Ω×(0,t*),

u(x,0)=u0(x) in Ω,这里Ω⊂RN是一个光滑有界的开区域且N≥3. 可以得到方程解的爆破时间下界.

拟线性抛物方程；有限时间爆破；爆破时间下界

ut=Δum+up-uqin Ω×(0,t*),

u(x,t)=0 on ∂Ω×(0,t*),

u(x,0)=u0(x) in Ω,

Where Ω⊂RNwas a smooth bounded open domain andN≥3. Obtained the lower bound for the blow-up time of the solution.

本文主要研究的是如下方程解的爆破时间下界，

ut=Δum+up-uqin Ω×(0,t*),

u(x,t)=0 on ∂Ω×(0,t*),

u(x,0)=u0(x) in Ω,

(1)

这里Ω⊂RN(N≥3)是一个光滑有界开区域 ，p,q≥0其中u代表热传导模型中物质的温度.

本文受到了文献[1]的启发而加以延伸.但是我们所研究的是非线性项被吸收的情况. 关于抛物方程解的爆破时间下界有很多相关的结果，可以查阅文献[2-7].

定义

(2)

其中

利用格林公式，得到

(3)

利用Hölder不等式和Yong不等式，我们有

(4)

且0<α<1.利用施瓦兹不等式，得到

(5)

利用Sobolev不等式(见文献[8])，有

再次利用Yong不等式，得到

(6)

最后得到

其中，

(7)

(8)

(9)

(10)

将式(10)从0到t*进行积分，有

(11)

其中

[1] BAO A G, SONG X F. Bounds for the blowup time of the solutions to quasi-linear parabolic problems [J]. Z. Angew. Math. Phys., 2014, 65: 115-123.

[2] LV X ,SONG X . Bounds of the blowup time in parabolic equations with weighted source under nonhomogeneous Neumann boundary condition [J]. Math. Meth. Appl. Sci., 2014, 37: 1019-1028.

[3] PAYNE L E, PHILIPPIN G A, SCHAEFER P W. Blow-up phenomena for some nonlinear parabolic problems [J]. Nonlinear Anal., 2008, 69: 3495-3502.

[4] PAYNE L E, PHILIPPIN G A, SCHAEFER P W.Bounds for blow-up time in nonlinear parabolic problems [J]. J. Math. Anal. Appl., 2008, 338: 438-447.

[5] PAYNE L E, SCHAEFER P W. Lower bounds for blow-up time in parabolic problems under Dirichlet conditions [J]. J. Math. Anal. Appl., 2007, 328: 1196-1205.

[6] L E PAYNE, J C SONG. Lower bounds for the blow-up time in a nonliner parabolic problem [J]. J. Math. Anal. Appl., 2009, 354, 394-396.

[7] SONG X F, LV X S. Bounds for the blowup time and blowup rate estimates for a type of parabolic equations with weighted source [J]. Appl. Math.Comput., 2014, 236: 78-92.

[8] TALENTI G. Best Constant in Sobolev Inequality [J]. Ann. Mat. Pura Appl., 1976, 110: 353-372.

Lower bound for blowup time of solution to quasilinearparabolic equation

LU Jing1, 2

(1. Department of Mathematics, School of Science, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Center for Applied Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

In this paper,the following problem were diseussed

quasilinear parabolic equation; blow up in finite time; lower bound for blow-up time

2014-09-17.

卢 静(1988-)，女，硕士，研究方向：应用数学.

O175

A

1672-0946(2015)06-0751-02