强震复发间隔变异系数的一种计算方法

郭 星 潘 华

1） 中国北京100082环境保护部核与辐射安全中心2） 中国北京100081中国地震局地球物理研究所



强震复发间隔变异系数的一种计算方法

1） 中国北京100082环境保护部核与辐射安全中心2） 中国北京100081中国地震局地球物理研究所

确定强震复发间隔变异系数在强震发生概率的计算中具有重要意义． 考虑到由小样本量地震序列计算得到变异系数的估计值与实际值可能存在一定的偏差， 本文提出了一种计算强震复发间隔变异系数的新方法． 该方法首先利用最大似然估计法计算出大量小样本地震序列的变异系数估计值； 然后先对这些变异系数的估计值进行标准化处理， 再对这些标准化的变异系数估计值进行统计分析； 最后在广泛搜集的39个地震序列的基础上， 利用该方法计算得到一个通用的变异系数值（α=0.34）， 并讨论了该值的物理意义及其应用．

强震 复发间隔 变异系数 标准化

引言

布朗过程时间（Brownian passage time, 简写为BPT）模型是Ellsworth等（1999）和Matthews等（2002）在Reid（1910）弹性回跳理论基础上提出的具有内在物理基础的强震复发模型． 该模型认为由于构造应力（或地震矩）加载过程中会受到一些随机事件的干扰， 表现为一种稳定加载附加布朗扰动的随机加载过程. 地震事件之间的时间间隔服从BPT分布， 其概率密度函数为

（1）

式中，μ为断裂段平均复发间隔，α为平均复发间隔变异系数． 一个绝对规则的地震序列的复发间隔变异系数α=0． Working Group on California Earthquake Probabilities（2003， 2007）就曾运用BPT模型来预测加州旧金山湾地区的强震危险性．

对于某特定断层源， 根据已知强震发生的概率密度分布函数f（T）和前一次地震的离逝时间Te， 可以计算分段断层源上未来一段时间ΔT内强震发生的条件概率（Wesnousky， 1986）：

（2）

对于复发间隔变异系数的估计， 如果某给定断层源上的历史地震（或古地震）数据很多， 则可以利用统计方法得到该变异系数. 但实际上， 由于强震复发周期较长， 而历史地震记载时间较短， 单个断层源上的历史强震数据一般都比较稀少， 故无法得到较精确的变异系数值． 因此， 只能假定所有断层源上的强震复发间隔具有一个相同的变异系数， 然后对大量断层源上的历史地震序列进行统计， 进而得到一个通用的变异系数．

Ellsworth等（1999）首先利用37个重复发生的地震序列来估计每个序列的复发间隔变异系数α′（为了方便与实际复发间隔变异系数α区分， 本文定义由有限几个地震事件序列所得到的复发间隔变异系数的估计值为α′）． 这些地震序列的震级范围为M0.7—9.2， 每个序列中地震事件的数目为3—13个（平均每个序列有6个地震事件）， 这些地震序列所处的地震构造条件也大不相同．

Ellsworth等（1999）注意到α′的分布偏向于较低值的一边， 认为这可能是由于地震序列中地震事件的数目较少造成的． 为了解决这个问题， 他们使用每个地震序列中实际地震事件的数目来模拟生成对应于不同α′值的地震序列集（37个实测地震序列）， 然后用与实际观测地震序列中估计α′值同样的计算过程来估计合成地震序列的α′值． 结果表明, 由一个固定α值所合成的地震序列集的α′值分布形状接近于（或类似于）实际观测地震序列的α′值分布形状； 同时还发现， 当α值取0.5时所合成的地震序列的α′值分布图像与实际情况的一致性很好． Working Group on California Earthquake Probabilities（2003）的研究结果也表明， 尽管在实际计算时采用了对3个不同α计算结果进行加权平均的办法， 即α（权值）为0.3（0.2）， 0.5（0.5）， 0.7（0.3）， 但实际上α取一个通用值（0.5）也能较合理地反映出复发间隔的随机变化．

然而在Ellsworth等（1999）的研究中， 合成地震序列过程中只是按照37个实测地震序列中的事件数目n随机生成37个地震序列， 在生成随机地震序列的过程中并未考虑不同实测地震序列的α′值与其地震事件数目之间的对应关系． 而在α值的确定过程中， 又只是利用合成地震序列的分布图像与实际情况的对比来选取α值， 因此这种方法缺乏可靠的数学依据．

本文在广泛收集的39个原地复发的特征地震或准周期地震的地震序列基础上， 利用最大似然估计方法确定每个序列的α′值． 考虑到采用不同样本量的地震序列统计得到的α′值与真实的α值存在一定的偏差， 本文利用蒙特卡罗方法对这种偏差进行定量化研究． 最后根据这种偏差对所收集的39个地震序列的α′值进行标准化处理， 标准化后的α′数据的平均值即为本文所要求的复发间隔变异系数．

1 强震复发间隔变异系数的确定方法

在利用最大似然估计方法估计给定地震序列的复发间隔变异系数的过程中， 由于地震事件的数目有限， 每个地震序列的统计平均复发间隔与实际平均复发间隔存在一定的偏差， 因此每个地震序列α′值均为实际α值的最大似然估计值， 该估计值与实际α值也可能存在偏差． 在强震复发间隔变异系数分布的统计过程中， 我们需要考虑这种不确定性， 使得到的分布图像更合理．

1.1 有限数量地震事件的α′值与实际α值的关系

由于地震序列中地震事件数目有限， 每个利用最大似然估计方法得到的α′值也只是一个可能的α值； 此外， 由于抽取次数的不同， 所得α′值的分布也可能不同． 为此， 本文取相同的α值（α=0.5）， 利用蒙特卡罗方法给出了分别对应于抽取5次和7次地震事件的α′值分布（图1）， 随机抽取的次数为10万次. 结果表明， 不同地震事件数目对应的α′值分布是不同的， 也就是说由不同地震事件数目的序列得到的α′值不是独立同分布的， 而非同分布的数据则不可以放在一起进行统计分析． 因此， 在对实际数据的统计分析过程中， 需要对数据进行标准化处理．

图1 抽取5次（a）和7次（b）地震事件的变异系数α′值分布

1.2 不同地震事件数目序列得到的α′值的标准化过程

对不同地震事件数目的序列得到的α′值进行标准化处理， 首先需要了解不同地震事件数目所对应的分布情况． 本文采用正态概率纸对抽取5次地震事件的α′值分布（随机模拟10万次）分别进行正态分布检验和对数正态分布检验（图2）. 检验结果表明， 抽取5次地震事件的α′值分布既不符合正态分布， 也不符合对数正态分布． 对于抽取其它次数地震事件的情况， 经反复试验也得到了类似的分布情况．

图2 抽取5次地震事件α′值的正态概率检验（a）和对数正态概率检验（b）

本文取初始α值为0.4， 0.5和0.6， 利用蒙特卡罗方法分别计算了对应于抽取5—11次地震事件的α′值分布的均值及其与初始α值的偏差比ρ（表1）， 此处随机抽样的次数也是10万次．

表1 不同地震事件数目和α值所对应的值Table 1 values corresponding to different event number of synthetic earthquake series and α values

（3）

1.3 采用迭代法提高计算精度

图3 迭代过程示意图

1） 选择一个恰当的α值作为迭代初始值α0；

2） 根据初始值α0， 利用蒙特卡罗方法（随机模拟10万次）估计不同地震样本量序列所对应的偏差比ρ；

2 复发间隔变异系数的计算过程

2.1 数据选择

在地震序列数据的选择过程中， 我们需要面对的一个重要问题就是地震序列中地震事件的数目都比较少． 对于一个包含2个地震事件的序列， 我们可以估计其均值μ， 但不能利用最大似然估计法计算其变异系数α′； 对于包含3个及3个以上地震事件的序列， 我们可以同时估计其均值和变异系数． 那么最少包含多少个地震事件序列可以用来统计和推断实际的复发间隔变异系数呢？ Ellsworth等（1999）认为， 由包含3—10个地震事件的序列估计得到的α值的不确定性很大， 而对这种不确定进行bootstrap分析则显示， 包含2—3个地震复发间隔数据的序列对计算得到的α值影响很小． 因此， 本文最终采用与该研究相同的最小地震事件样本量（5次）． 考虑到中小地震受周围地震活动的影响较大， 本文去掉了Ellsworth等（1999）地震序列数据中的小地震序列， 增加了25个我国板内强震序列， 共计39个地震序列（表2）．

表2 39个地震序列及其α′的估计值Table 2 Estimated α′ values for 39 earthquake sequences

图4 本文所统计的39个地震序列变异系数α′估计值的分布柱状图

2.2 计算结果

根据上述计算方法， 本文得到一个通用的变异系数值α=0.34, 该值要小于Working Group on California Earthquake Probabilities （2003）所采用的0.5． 也就是说， 如果不考虑对平均复发间隔认知的不确定性， 强震复发间隔的自然系数其实要小于0.5．

这里的变异系数α反映的是强震复发间隔的自然变异性， 即统计的过程中考虑了平均复发间隔的认知不确定性对结果的影响， 对统计数据进行了标准化处理． 因此， 利用本文方法统计得到的变异系数值（0.34）并未包含平均复发间隔的不确定性. 在实际利用BPT模型计算强震发生概率时， 还需要考虑平均复发间隔μ的不确定性， 这种不确定性的大小与断层源上强震复发间隔数据的多少有关．

表3 迭代过程Table 3 The iterative process

3 讨论与结论

最后在广泛搜集的39个地震序列的基础上， 利用该方法计算得到了一个通用的变异系数值（α=0.34）． 由本文方法计算得到的复发间隔变异系数α反映的只是强震复发间隔T的自然随机不确定性， 并没有反映对于平均复发间隔μ的认知不确定性， 所以在实际的强震发生规律或强震发生概率的计算过程中， 还需要同时考虑对于μ的认知不确定性． 对于平均复发间隔μ的认知不确定性的计算， 以及如何在强震发生概率计算的过程中考虑这种不确定性， 作者将在其它文章中进行详细论述．

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A method for computing the aperiodicity parameter of the strong earthquake recurrence interval

1）NuclearandRadiationSafetyCenter，MinistryofEnvironmentProtection，Beijing100082，China2）InstituteofGeophysics,ChinaEarthquakeAdministration,Beijing100081,China

Determining the aperiodicity parameterα（equivalent to the familiar coefficient of variation） is important for calculating the possibility of large earthquake occurrence． Considering the deviation between the estimate values ofαfrom small sample of earthquake sequences and the actual values ofα， this paper presents a new method for computingα． Firstly, a large number of estimated values ofαfor small samples from earthquake sequences are calculated by maximum likelihood estimate method， and then the estimated values are standardized and statistically analyzed． Finally, based on the 39 recurrent earthquake sequences, a general value ofαis given （α=0.34）, and the physical meaning and application of the value are also discussed.

strong earthquake； recurrence interval； aperiodicity parameter； normalization

10.11939/jass.2015.03.004.

国家科技支撑项目（2012BAK15B01-08）资助.

2014-10-09收到初稿， 2015-04-02决定采用修改稿.

e-mail: panhua.mail@163.com

10.11939/jass.2015.03.004

P315.5

A

郭星, 潘华. 2015. 强震复发间隔变异系数的一种计算方法. 地震学报, 37（3）: 411--419.

Guo X, Pan H. 2015. A method for computing the aperiodicity parameter of the strong earthquake recurrence interval.ActaSeismologicaSinica, 37（3）: 411--419. doi:10.11939/jass.2015.03.004.