高阶非线性复微分方程组的亚纯允许解

金 瑾，武玲玲，樊 艺

（毕节学院数学与计算机科学学院，贵州毕节551700）

高阶非线性复微分方程组的亚纯允许解

金 瑾，武玲玲，樊 艺

（毕节学院数学与计算机科学学院，贵州毕节551700）

利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论和微分方程的研究技巧，研究了一类高阶代数微分方程组的亚纯解，并且微分方程组的亚纯解或同为允许的，或同为非允许的.推广和改进了一些结论.

代数微分方程组；亚纯函数；允许解；Nevanlinna理论；值分布理论

1 主要结果

关于非线性微分方程组的允许解问题，有许多数学研究者做了很多的工作，获得了很多优秀的结果［1－16］.我们利用Nevanlinna值分布理论，对如下一类代数微分方程组的亚纯解的存在性问题进行研究：

而

都是系数为亚纯函数的微分多项式.（i），（u），（v），（r）是有限指标集，对于Φ1的分子分母的任一单项式

对于Φ2的分子分母的任一单项式

函数｛a（i）（z）｝，｛b（j）（z）｝，｛ai（z）｝，｛bj（z）｝，｛ci（z）｝，｛dj（z）｝都为亚纯函数，且都是w1，w2的小函数，即

定义1 如果（w1，w2）是非线性高阶微分方程组（1.1）的亚纯解，S（r）为非线性高阶微分方程组（1.1）的所有系数的特征函数之和，即

若（w1，w2）满足S1（r）＝o（T（r，w1）），S2（r）＝o（T（r，w2））（r∉I），称（w1，w2）为问题（1.1）的亚纯允许解，若（w1，w2）满足S1（r）≠o（T（r，w1）），S2（r）≠o（T（r，w2））（r∉I），称（w1，w2）为问题（1.1）的非亚纯允许解.

定义2 设（w1，w2）是高阶微分方程组（1.1）的亚纯解，则（w1，w2）的级为

其中：

定义3 设（w1，w2）是非线性高阶微分方程组（1.1）的亚纯解，如果（w1，w2）中的分量w1，w2满足

则分量w1，w2为微分方程组（1.1）允许分量.其中I是对数测度为有穷的例外值集.

在以上定义以及众多数学工作者研究的基础上，我们得到以下的结论：

定理1 设（w1，w2）是非线性高阶微分方程组（1.1）的亚纯解，若满足下列条件之一：

则（w1，w2）中的两个分量w1和w2或同为允许的，或同为非允许的.

2 引理及证明

引理1［2］设

其中

则

这里

引理2［5］设R（z，w）是关于w（z）的不可约的有理函数，系数｛ai（z）｝，｛bj（z）｝是亚

纯函数.如果w（z）是亚纯函数，则有

3 定理的证明

由引理1—2得：

其中：

又

则

由非线性微分方程组（1.1）和上述结论可得：

若（w1，w2）中的分量w1为允许的，分量w2为非允许的，由（3.1）和（3.2）式得：

其中I1为对数测度有限的例外值集.又

由（3.5）和（3.6）式可知，至多除去一个对数测度有穷的例外值集后有

这与定理的条件矛盾.

若（w1，w2）中的分量w1为允许的，分量w2为非允许的，由（3.1）和（3.2）式得：

其中I2为对数测度有限的例外值集.又

由（3.7）和（3.8）式可知，至多除去一个对数测度有穷的例外值集后有

这与定理条件矛盾.

因此，（w1，w2）中的两个分量w1和w2或同为允许的，或同为非允许的.

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Meromorphic admissible solution of systems of higher order non－linear complex differential eguations

JIN Jin，WU Ling－ling，FAN Yi

（Department of Mathematics and Compute Science，Bijie University，Bijie 551700，China）

In this paper，applying Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions and investigation skills of differential equations，we study the meromorphic solutions of higher order algebraic differential equation system，obtain that the solution of the system are all admissible or nonadmissible，improvements and extensions such results are presented in this paper.

algebraic differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

O 174.52 ［学科代码］ 110·41 ［

］ A

（责任编辑：陶理）

1000－1832（2015）01－0022－04

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.005

2013－08－01

贵州省科学技术基金资助项目（2010GZ43286，2012GZ10526）；毕节市科研基金资助项目（201102）.

金瑾（1962—），男，教授，主要从事复分析研究.