严格单调增加HG凸函数的定积分下界

时统业， 沈湘洮， 宋祥斌

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

严格单调增加HG凸函数的定积分下界

时统业， 沈湘洮， 宋祥斌

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

考虑严格单调增加的HG凸函数，也即其反函数的倒数是GA凸函数的严格单调增加的函数.利用GA凸函数的性质，用普通的数学分析方法，给出这类函数定积分的下界.

单调函数；反函数；HG凸函数；积分不等式；单侧导数；下界

0 引言

ALZER H在文献[1]给出如下结论：

定理1 设b>a>0，f：[a，b]→R为严格单调增加的函数，1/f-1为凸(凹)函数，则

(1)

文献[2]给出比式(1)略强的结果：

定理2 设b>a>0，f：[a，b]→R为严格单调增加的函数，1/f-1为凸(凹)函数，则

一个很自然的问题就是，如果1/f-1为其他类型的凸函数，会有怎样的结果.本文考虑严格单调增加的函数f：[a，b](0,∞)→(0,∞)，且1/f-1为GA凸函数.从GA凸函数的定义出发，容易证明这类函数即严格单调增加的HG凸函数[3].本文仿照文献[2]和[4]的方法来给出这类函数定积分的下界.

定义1[5]设f(x)是定义在区间I⊂(0，∞)上的连续函数，如果对于任意x1，x2∈I和t∈(0,1)，有

(2)

则称f(x)在区间I是GA下凸的.若式(2)的不等式是严格的，则称f(x)在区间I是严格GA下凸的.

定义2[3]设区间I(0，∞)，f：I→(0，∞)，若对任意x1，x2∈I和t∈(0，1),有

(3)

则称f(x)是区间I上的HG凸函数.如果式(3)中的不等号反向，则称f(x)是区间I上的HG凹函数.

引理1[4]设f：I(0，∞)→R是GA下凸函数，则f在每一处都存在单侧导数，且成立.

引理2[6]设f(x)是[a，b](0，∞)上的GA下凸函数，则:1)和(x)在(a,b)单调不减；2) 对任意x，y∈(a，b)，有

引理3 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，则f的单侧导数存在，且对任意x，y∈(a，b)，x

(4)

证明 因为1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，由GA凸函数的定义可证f是HG凸函数，又由文献[3]知f(x-1)是[b-1,a-1]上的对数凸函数，且由文献[4]知对数凸函数的单侧导数存在，f(x)是由f(u-1)和u=x-1复合而成，从而f在(a，b)内的单侧导数存在.

不妨设u=f(x)，v=f(y)，则u

注2 利用HG凸函数与对数凸函数的关系(文献[3]定理1)也可证明引理3.

引理4 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，u，w∈[a，b]，u

(5)

(6)

(7)

证明 由引理2容易证明(5)、(6)，这里略去.由式(5)得

(8)

又由引理3有

(9)

由式(8)、式(9)得式(7).

1 主要结果

定理3 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，c∈[a，b]则有

(10)

(11)

其中,

证明 由引理4有

(12)

(13)

式(12)除以t2，然后在[a，c]上对t积分得

(14)

同理可得

(15)

式(14)和式(15)相加即得式(10).类似地从式(12)和式(13)出发，可证得式(11).当1/f-1是严格的GA凸函数时，式(12)和式(13)至少有一个是严格的，所以式(10)和式(11)是严格的.

推论1 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，c∈(a，b)，f在点c处可导，f′(c)≠0，则有

推论2 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，则当时，分别有

定理4 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上严格的GA凸函数，对任意x，u，w∈[a，b]，u

则有

(16)

证明 由引理4得

(17)

(18)

当1/f-1是严格的GA凸函数时，式(17)和式(18)至少有一个是严格的，所以式(17)和式(18)相加得

还需证明φ(u,w,x)在x=x0(u,w)处取得最大值.

可以断言u

故u

(19)

由推广的Cauchy中值定理[7]，存在ξ∈(u,w)及p≥0，q≥0，p+q=1，使得

由引理3有

于是有式(19)成立.

推论3 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上严格的GA凸函数存在，则有

(20)

证明 在定理4中取u=a，w=b，则式(20)的第一个不等式得证，分别取x=a，x=b，则式(20)的第二个不等式得证.

定理5 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上严格的GA凸函数，c∈(a，b)，记

则有

(21)

证明 由引理4得

(22)

(23)

当1/f-1是严格的GA凸函数时，式(22)和式(23)至少有一个是严格的，所以式(22)和式(23)相加得

定理6 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，则有

(24)

等号成立当且仅当存在正的常数p1，p2，q1，q2使得

证明 设c∈(a，b)，由引理4，对任意t∈[a，b]，t≠c，有

(25)

(26)

式(25)、式(26)分别在[a，c]和[c，b]上对t积分并相加得

在上式中取c=A，则上式化为式(24).从证明过程可知，式(24)等号成立，当且仅当式(25)和式(26)分别在[a，A]和[A，b]上等号成立，定理得证.

推论4 若f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，则有

(27)

等号成立，当且仅当存在正的常数p，q使得f(t)=pq1/t.

注3 若f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，则利用引理3和引理4可证tlnf(t)是[a，b]上的凸函数，由Hermite-Hadamard不等式也可得到式(27).

定理7 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，则有

(28)

等号成立，当且仅当存在正的常数p1，p2，q1，q2使得

证明 由引理4，对任意t∈[a，b]，t≠c，有

(29)

(30)

式(29)、式(30)分别在[a，L]和[L，b]上对t积分并相加得式(28).类似于定理6可得等号成立的条件.

推论5 设f：[a，b](0，∞)→(0，∞)是严格单调增加的函数，1/f-1是[f(a)，f(b)]上的(严格)GA凸函数，则有

(31)

等号成立，当且仅当存在正的常数p，q使得f(t)=pq1/t.

[1] ALZER H.On an integral inequality[J].Math Rev Anal Numer Th Approxim，1989，18：101-103.

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[3] 陈少元，宋振云.HG凸函数及其Jensen型不等式[J].数学的实践与认识，2013，43(2)：257-264.

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[7] 冯媛，冯国.推广的微分中值定理[J].高等数学研究，2010，13(5)：61-62.

Lower Bounds of Definite Integral for Strictly Monotonically Increasing HG-Convex Functions

SHI Tongye, SHEN Xiangtao, SONG Xiangbin

(DepartmentofInformation,PLANavalCommandCollege,Nanjing211800,China)

The strictly monotonically increasing HG-convex functions are considered. Lower bounds of definite integral are obtained by using the properties of GA-convex functions and ordinary mathematical analysis method.

monotonic function; inverse function; HG-convex function; integral inequality; unilateral derivative; lower bound

2015-06-08

时统业(1963—)，男，河北张家口人，海军指挥学院信息系副教授，主要研究方向：基础数学教学.

10.3969/j.issn.1007-0834.2015.04.001

O178

A

1007-0834(2015)04-0001-06