2014年新课标高考数学试题理科21题解法研究

聂文喜

题目 设函数f（x）=ex-e-x-2x.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0，g（x）>0时，求b的最大值.

解 （1）略.

（2）法1 g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x，

g′（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+4b-2]

=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2），

因为x>0，所以ex+e-x-2>0，ex+e-x-2b+2>4-2b（由于4-2b值的正负影响g（x）的单调性，故需讨论）.

（1）当b≤2时，g′（x）>0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）>g（0）=0.

下面证明：若x>0，g（x）>0，则b≤2，根据逆否命题与原命的等价性，只须证明其逆否命题：若b>2，则x>0，g（x）<0.

（2）当b>2时，令g′（x）<0，得ex+e-x-2b+2<0，

解得0<x<ln（b-1+b2-2b），g（x）在（0，ln（b-1+b2-2b））上单调递减.

又因为g（0）=0，所以当x∈（0，ln（b-1+b2-2b））时，g（x）<g（0）=0，不符题意.

综上，b的最大值为2.

点评 当b≤2时，g（x）>0（x>0）恒成立，说明b≤2是x>0，g（x）>0成立的充分条件;若x>0，g（x）>0，则b≤2，说明b≤2是x>0，g（x）>0成立的必要条件;命题“若x>0，g（x）>0，则b≤2”与命题“若b>2，则x>0，g（x）<0”是逆否命题.

法2 由（1）f（x）在R上单调递增，所以当x>0时，f（x）>0.

由g（x）=f（2x）-4bf（x）>0，得f（2x）>4bf（x），

分离参数得b<f（2x）4f（x）=e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），所以b≤limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），

由洛必达法则得

limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x）=limx→0e2x+e-2x-22（ex+e-x-2）

=limx→0e2x-e-2xex-e-x=limx→0（ex+e-x）=2.

所以b≤2.

下面证明当b≤2时，不等式b<e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x）成立，

只须证明2<e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），

只须证明e2x-e-2x-4x>8（ex-e-x-2x），

令h（x）=e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x），

则h′（x）=2[e2x+e-2x-4（ex+e-x）+6]=2（ex+e-x-2）2>0，

所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（x）>h（0）=0.

综上，b的最大值为2.

点评 （1）b≤limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x）是b<e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），对x>0恒成立的必要条件，解法2先利用必要条件求出参数b的取值范围，再证明所求范围满足充分性;

（2）解法2将不等式恒成立问题转化为不等式证明问题，降低了思维含量，

也减少了运算量;

（3）本题难在求limx→0e2x-e-2x-4x4（ex-e-x-2x），用洛必达法则求出了极限，突破了解题障碍.

法3 当x>0，g（x）>0，所以f（2x）>4bf（x），

即e2x-e-2x-4x>4b（ex-e-x-2x）

令h（x）=e2x-e-2x-4x，u（x）=4b（ex-e-x-2x），则h（x）>u（x），

则问题等价于在区间（0，+∞）上，y=h（x）的图象恒在y=u（x）的图象上方.

h′（x）=2（e2x+e-2x-2）>0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，h（x）>h（0）=0.

h″（x）=4（e2x-e-2x）>0，h（x）在（0，+∞）上是凹函数.

u（x）=4b（ex-e-x-2x），需分三种情况讨论，

当b=0时，u（x）=0，所以h（x）>u（x）成立，

当b<0时，u′（x）=4b（ex+e-x-2）<0，

u（x）在（0，+∞）上单调递减，u（x）<u（0）=0，

所以h（x）>u（x）成立，

当b>0时，u′（x）=4b（ex+e-x-2）>0，u（x）在（0，+∞）上单调递增，

u″（x）=4b（ex-e-x）>0，u（x）在（0，+∞）上是凹函数，

图1

如图1，要使h（x）>u（x）在（0，+∞）上成立，则必须且只须h′（x）>u′（x）在（0，+∞）上成立，所以2（e2x+e-2x-2）>4b（ex+e-x-2），

分离参数得b<e2x+e-2x-22（ex+e-x-2），

因为e2x+e-2x-22（ex+e-x-2）=ex+e-x+22>2，所以0<b≤2.

综上，b的最大值为2.

法4 （充分条件法）.当x>0，g（x）>0，易发现g（0）=0，我们自然想到，若函数g（x）为单调递增函数，那么g（x）>0一定成立，

导函数g′（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+4b-2]

=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）>0即可，

因为ex+e-x-2>0所以ex+e-x-2b+2>0，

分离参数得b<ex+e-x+22对x∈（0，+∞）恒成立，因为ex+e-x+22>2，所以b≤2.

下面只需说明b>2时，g（x）>0不恒成立.

当b>2时，令g′（x）<0，得0<x<ln（b-1+b2-2b），g（x）在（0，ln（b-1+b2-2b））上单调递减，

当x∈（0，ln（b-1+b2-2b））时，g（x）<g（0）=0，不符题意.

综上，b的最大值为2.

点评 因为g（0）=0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增是g（x）>0恒成立的充分条件，解法4先利用充分条件求出参数a的取值范围，再证明所求范围满足必要性.