几乎基次亚紧空间的无限乘积

几乎基次亚紧空间的无限乘积

引言

Poter JE引入了基仿紧空间的概念，并研究了基仿紧空间的性质［1］。Graner E首先引入了几乎亚紧空间［2］，后又有学者引入了基次亚紧空间的概念，并对它的相关性质进行了研究。本文在此基础上，引入几乎基次亚紧空间的概念，并对其有关性质做初步的探讨。

本文所讨论的拓扑空间以下简称为空间，用（U）A和N（A）分别表示集族｛U∈U：U∩A≠φ｝和集合A的开邻域系表示集合A的闭包，IntA表示集合A的内部，表示集合Λ的基数；ω表示非负整数集或

最小无限基数；［A］＜ω＝｛F⊂A，F是非空有限集｝，。本文的基本概念、符号和表示方法都参考文献［3］。

1 预备知识

定义1［4］设（Λ，≤）是一个定向集，称集族U＝｛Uα∈Λ｝是定向上升的，如果对∀α，β∈Λ，当α≤β时有Uα⊂Uβ。

定义2［5］设k是一个基数，并且k≥2，空间X称为是k－仿紧的，如果X的每个基数≤k的开覆盖有一个局部有限的开加细。

定义3［6］空间X称为是基－次亚紧的，如果存在X的一个基B，＝ω（X），对于X的每个覆盖U，都存在一个开加细序列，且Bn⊂B，使得∀x∈X存在n∈ω，有1≤ord（x，Bn）＜ω。

定义4空间X称为是几乎基－次亚紧的，如果存在X的一个基B，＝ω（X），对于X的每个覆盖U，都存在X的一个稠密子集D及U的一个开加细序列，且Bn⊂B，使得∀x∈D存在n∈ω，有1≤ ord（x，Bn）＜ω。

引理1［7］设λ是一个基数，若空间X是λ仿紧的，Λ是一个定向集，＝λ，若｛Hα：α∈Λ｝是X定向上升的开覆盖，则存在X定向上升的开覆盖｛Kα：α∈Λ｝，使得对α∈Λ有。

引理2［8］几乎次亚紧空间的闭子空间是几乎亚紧空间。

引理3［9］如果X＝Πα∈ΛXα是－仿紧空间，则X是几乎弱加细的空间当且仅当∀F∈［Λ］＜ω，是几乎弱加细的。

2 主要结果

定理1如果空间X是几乎基次亚紧的，则X的闭子空间Y是几乎基次亚紧的。

证明Y是X的闭子空间，Y是Y的开覆盖，∀U∈Y，∃G（U）开于X，使得U＝G（U）∩Y从而｛G（U）：U∈Y｝∪｛X－Y｝是X的开覆盖，由X是几乎基次亚紧空间，B是X的一个基，故存在X的一个稠密子集D和｛G（U）：U∈Y｝∪｛X－Y｝的开加细覆盖V＝∪n∈ωVn，Vn∈B，使得∀x∈D存在n∈ω，1≤ord（x，Vn）＜ω。令A＝B∩Y，则A为Y的基。令Hn＝V∩Y＝｛Y∩Vnα：α∈Λ，Vnα∈V，Vnα∩Y≠φ｝，则Hn是Y的开加细且Hn∈A。由D是稠密子集，，所以D∩Y稠密于Y。∀x∈D∩Y，x∈D且x∈Y，而1≤ord（x，V）＜ω，H＝V∩Y，有，从而，1≤ord（x，Hn）＜ω。即Y是几乎基次亚紧空间。

（1）UFξ开于YF并且UFξ×ZF⊂Uξ，令OF＝（∪ξ∈∑UFξ）×ZF。

（2）｛OF：F∈［Λ］＜ω｝是X的开覆盖，且∀E，F∈［Λ］ω，如果F⊂E，则有OF⊂OE［10］。

事实上，∀x∈X，存在ξ∈∑，x∈Uξ，使得∀α∈ F，存在Wα开于Xα使得，令W＝，则，对x∈UFξ×ZF⊂OF，即｛OF：F∈［Λ］＜ω｝是X的开覆盖，其次，∀E，F∈［Λ］＜ω，如果F⊂E，∀x∈OF，存在ξ∈∑，使得x＝（xα）α∈F×（xα）α∈Λ－F∈UFξ×ZF＝（UFξ×，又开于YE，故x∈UFξ×ZE，从而（2）真。

（3）TF∈∪ξ∈∑UFξ

事实上，∀x∈X，存在x∈GF，存在E∈［Λ］＜ω，使得E∈［Λ］＜ω，使得∀α∈E，有Wα开于Xα并且x∈，取A＝E∪F，故，则），存在，使得，因为E⊂A，πE（z）＝，故与z∈X－矛盾，从而，故，即（4）真。

因为X是几乎基次亚紧，由题设和定理1，∀F∈［Λ］＜ω，YF的闭子空间TF是几乎基亚紧空间的，则TF有一个基B，，对TF的每个开覆盖｛UFξ： ξ∈∑｝，都存在TF的一个稠密子集D和｛UFξ：ξ∈∑｝的一个开加细序列ω｝，使得x∈D，存在n∈ω，有1≤ord（x，BFn）＜ω，并且对∀ξ∈∑，∀n∈ω，有BFnξ⊂UFξ，对∀n∈ω，令Hn＝｛πF－1（BFnξ）∩KF：F∈［Λ］＜ω，ξ∈∑，BFnξ⊂BFn｝，则［Hn］n∈ω是U＝｛Uξ：ξ∈∑｝的开加细序列。

事实上，∀x∈X，因｛KF：F∈［Λ］＜ω｝是X的开覆盖，故存在F∈［Λ］＜ω，使得x∈KF，并且对∀n∈ω，BFn＝｛BFnξ：ξ∈∑｝是TF的开覆盖，则对∀n∈ω，存在ξ∈∑，使得πF（x）＝xF∈BFnξ，故x∈πF－1（BFξ）∩KF，其次∀n∈ω，ξ∈∑，因BFnξ⊂UFξ，则πF－1（BFnξ）∩KF⊂πF－1（BFnξ）⊂πF－1（UFξ）⊂UFξ×ZF⊂Uξ，故［Hn］n∈ω是U＝｛Uξ：ξ∈∑｝的开加细。

∀x∈πF－1（D），存在n∈ω，使1≤ord（x，Hn）＜ω，事实上，∀x∈πF－1（DF），则x∈KF⊂CF＝（IntTF）×ZF，故∀n∈ω，xF＝πF（x）∈DF⊂TF⊂∪BFn，故存在n∈ω，使得ord（xF，BFn）＜ω，并且，即存在n∈ω，有，从而X是几乎基次亚紧空间。

（1）X是几乎基次亚紧的。

证明（1）⇔（2）是定理3（2）的直接证明，（2）⇒（3）是显然的。

［1］Porter J E.Base-paracompact spaces［J］.Topology and its Applications，2003，128：145-156.

［2］Grabner E，Grabne G.Nearly metacompact spaces［J］. Topology Appl，1999，98：191-201.

［3］高国士.拓扑空间论［M］.北京：科学出版社，2000.

［4］曹金文.几乎仿紧空间［J］.纯粹数学与应用数学，2003（3）：57-60.

［5］蒋继光.一般拓扑学选讲［M］.成都：四川教育出版社，1991.

［6］蔡奇嵘.基-次亚紧空间［J］.兰州理工大学学报，2012（12）：149-150.

［7］Chiba K.Normality of inverse limits［J］.Math.Japonica，1990，35（5）：959-970.

［8］曹金文.几乎次亚紧空间［J］.黑龙江大学学报，2003（9）：50-51.

［9］邓小琳.几乎弱¯θ加细空间［J］.南昌大学学报，2007（2）：128-132.

［10］曹金文.正规弱次亚紧空Tychonoff乘积的刻画［J］.成都理工大学学报，2007（8）：469-470.

Infinite Product of Near Base Sub-meta Compact Space

SHIPengfei，HE Zhaorong，ZHANG Yanjie
（School of Management Science，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China）

In order to better study the covering properties of sub-meta compact space and other topology spaces，the near base sub-meta compact space is defined on the basis of near basemate compact space，and its heredity is studied.Several main results are obtained as follows：（1）Every closed subspace of nearly base sub-meta compact space is nearly base sub-meta compact-paracompact space，then X is near base sub-meta compact space if and onlyis nearly base sub－meta compact for each F∈［Λ］＜ω．

closed subspace；sub-meta compact spaces；-paracompact spaceords