基于LQR的工程车辆电液制动压力控制

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(北京信息科技大学 机电工程学院， 北京　100192)

引言

随着电液控制技术及工程车辆制动系统的不断发展，气推油制动系统因其管路复杂、噪声大、容易制动失灵等缺点已经不能满足要求，而全动力液压制动系统因管路布置简单、噪声小等优点得到快速发展。全动力液压制动系统通过与线控技术相结合，形成电液制动系统EHB(Electo-Hydraulic Braking System)。与传统的制动系统不同，电液制动系统由电子单元提供控制信号，液压系统提供动力，有踏板转角与踏板力可按比例调控的电子踏板和控制制动力矩与踏板转角的电子控制单元[1]。电子控制单元可以灵活地控制制动力的大小以及制动力的分配，完全实现使用传统控制元件所能达到的ABS及ASR等功能[2,3]。目前，应用于工程中的电液控制方法主要有PID控制、二次型最优控制、神经网络控制、智能控制等。由于线性二次型控制的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解的规范化，且可形成一个简单的线性状态反馈控制律，易于构成闭环最优反馈控制，便于工程实现，因而在实际工程问题中得到了广泛应用[4]。

1　电液制动系统原理及结构

根据工程车辆电液制动系统的制动原理，单轮电液制动简化原理示意图如图1。系统所用制动阀为电液比例减压阀。电液制动系统控制器根据制动踏板行程、路面附着系数和车速等信息计算车轮所需制动力，控制器通过功率驱动单元控制比例减压阀阀芯开口量，液压油通过阀芯进入制动轮缸，推动制动轮缸运动，对车轮进行制动。电液制动的动力由蓄能器直接提供，蓄能器选型一般应满足6次制动后，制动系统压力不能低于设定的最低压力。蓄能器压力低于最低压力时，由制动泵为其充液。制动过程与充液过程相对独立，不同时工作。因此，分析制动过程时，一般不考虑充液过程。

图1　电液制动原理图

系统控制的目标是轮缸制动压力快速响应和跟随目标压力，因此系统的控制问题可表述为：当理想制动压力Yr(t)作用于系统时，要求系统产生控制向量，使系统实际制动压力Y(t)始终跟随目标制动压力Yr(t)的变化，并使性能指标极小，即以极小的控制能量为代价且使误差保持在零值附近[4]。本研究的控制对象为制动压力，控制向量为电压信号。系统控制框图如图2所示。

图2　电液动力制动控制系统框图

2　电液制动系统的数学模型

电液制动系统工作过程在液压控制系统中为阀控液压缸的过程。在建模过程中不考虑蓄能器中的压力变化，即假定蓄能器的压力始终可以满足系统要求。

1) 比例电磁铁线圈回路的电压方程

比例电磁铁控制线圈端电压为:

(1)

2) 衔铁输出的推力方程

衔铁在磁场中受到电磁力的作用，在工作行程范围内，电磁力为:

Fm=Kii+Kxexv

(2)

式中，Ki为比例电磁铁的电流-力增益；Kxe为比例电磁铁的电磁弹簧刚度(位移-力增益)。因Kxe≈0，Kxexv一项忽略不计。计算时，取Fm=Kii。

3) 阀芯力平衡方程

将衔铁及推杆与控制阀芯看作一体，对阀芯进行受力分析，忽略卡紧力，则作用于控制阀芯上的力平衡方程为:

K1(x01+xv)+Ksxv

(3)

式中，pc为减压阀出口压力；Am为压力检测阀芯端面面积；m1为阀芯、弹簧、液柱等的等效质量；B1为综合阻尼系数；取B1=Bv+Bt；Bv为阀芯粘性阻尼系数；Bt为瞬态液动力阻尼系数；K1为弹簧刚度；Ks为液动力刚度系数；x01为对中弹簧预压缩量；xv为阀芯位移。计算时，忽略对中弹簧预压缩量，即x01≈0。

4) 阀的线性化流量方程

Ql=Kqxv-Kcpc

(4)

式中，Ql为比例阀流量；Kq为比例阀流量增益；xv为阀芯位移；Kc比例阀流量压力增益。

5) 液压缸控制腔的流量方程

(5)

式中，Ap为液压缸控制腔的活塞面积；xp为液压缸活塞位移；Cip为液压缸内部泄漏系数；Vt为液压缸控制腔的容积；βe为液体体积弹性模量。Cip≈0，Cippc一项忽略不计。

6) 活塞和负载的力平衡方程

忽略任意外干扰力，则平衡方程为:

(6)

式中，Fg为液压缸输出力；mt为活塞和负载的总质量；Bp为黏性阻尼系数；Ky为负载弹簧刚度。

整理式(1)～(6)得：

(7)

(8)

(9)

对式(7)～(9)进行拉普拉斯变换可得：

KiK0u0(s)-pc(s)Am=[m1s2+B1s+

(K1+Ks)]xv(s)

(10)

(11)

pc(s)Ap=(mts2+Bps+Ky)xp(s)

(12)

(13)

写成矩阵形式为：

(14)

系统研究的电液制动系统相关参数赋值如表1。

表1　电液制动系统参数

将表1中的参数带入式(13)中得到矩阵A、B、C分别为：

3　二次型最优控制理论

系统状态变量是X(t)，控制变量为U(t)，输出变量为Y(t)，则系统的状态方程可写为：

(15)

Y(t)=C(t)X(t)

(16)

最优控制就是使系统的输出尽可能地接近系统希望输出值，误差很小，同时要求使用最少的能量。设系统的误差为e(t)，开始时间为t1，结束时间为t2，用二次型性能指标函数表示为：

式中，Q(t)为半正定对称矩阵；R(t)为正定对称矩阵。Q(t)为误差的加权矩阵，R(t)为控制能量的加权矩阵。

根据庞特利亚金极小值原理，满足要求的控制信号为U*(t)：

U*(t)=-R-1(t)BT(t)[PX(t)-g(t)]

=-K(t)X(t)+G(t)

(18)

电液制动系统方块图如图3所示，最优控制系统的方块图如图4所示。两图相比较可以看出，为了得到跟踪运动的最佳控制，需要在原系统图上加上前馈控制和反馈控制[5]。

图3　电液制动系统方块图

图4　电液制动最优控制系统方块图

最优控制系统的状态方程为:

BR-1BTg(t)，X(0)=0

(19)

在MATLAB的控制系统工具箱中提供了基于Schur变换的黎卡提方程求解函数are()，该函数的调用格式为[4]:

P=are(A，V，Q)

(20)

式中，A、V、Q矩阵满足下列的代数黎卡提方程

AP+PAT-PVP+Q=0

(21)

4　仿真及结果分析

经过计算得，系统完全能控能观，故输出跟踪器的最优控制U*(t)存在。取Q=1000，R=1，在MATLAB中得到：

K=[-15058-7-530.24-31](22)

(23)

将K带入得经过二次型最优调节之后，闭环系统的传递函数为：

1.03×1011/s5+663.8s4+2.284×105s3+

4.597×107s2+4.226×109s+1.03×1011

闭环系统的特征根为：

e=102×[-1.1820+2.4889i-1.1820-2.4889i

-2.2741-1.6351-0.3649]

特征根均为负值，证明系统稳定。

运用MABLAB/Simulink建立线性二次型调节器(LQR)制动压力控制仿真模型如图5所示。

图5　LQR压力控制仿真模型

在式(17)中，Q和R分别代表误差与能量的加权矩阵。如果Q和R选择不合适，系统甚至是不稳定的，更不可能达到最优，所以Q与R的取值对控制结果有很大影响。图6表示R=1，分别取Q=10000，Q=1000，Q=100时的响应曲线，图7表示Q=1000，分别取R=0.1，R=1，R=10时的响应曲线。

图6　Q不同时的阶跃响应曲线

图7　R不同时的阶跃响应曲线

由图6与图7可以看出，本系统中，Q增大和R减小可以使系统的控制效果变好。

同时，为了比较两种方法的控制效果，对系统的阶跃响应、系统稳定增压过程以及实际应用中的ABS控制过程进行了仿真。

图8为系统阶跃响应曲线。由图可知，对于系统阶跃响应，LQR控制到达稳定的时间为0.05 s，PID控制到达稳定的时间为0.3 s，LQR控制到达稳定的时间短。两种控制方法都存在一定的超调量，但是LQR控制方法的超调量小于PID控制且LQR控制出现一次震荡，PID控制出现多次震荡。由此可知LQR控制方法优于PID控制方法。

图8　LQR与PID控制阶跃响应比较曲线

图9和图10分别模拟车辆制动增压和ABS过程。模拟车辆制动增压，给制动踏板输入一个恒定角度，即希望制动系统输出稳定的制动力2 MPa。模拟车辆ABS功能，即电子控制单元根据车身与车轮速度与加速度及路面附着系数的情况计算车轮所需制动力，此处假设路面是由高附着系数向低附着系数跃变，希望车辆在高附着路面输出大的制动力，低附着路面输出小的制动力，高低附着路面均包含增压、保压和减压过程。

图9　稳定增压结果比较

图10　ABS功能结果比较

由仿真结果可看出，LQR控制和PID控制的实际值都可以跟随期望值，但是LQR控制的跟随效果明显优于PID控制，采用二次型最优控制方法实现的电液制动系统压力控制比PID控制精度高、响应快、滞后小。

5　结论

(1) 介绍了工程车辆电液制动原理、结构以及电液制动压力控制的数学模型；

(2) 阐述了二次型最优控制方法-输出跟踪器的原理，用MATLAB/Simulink软件计算Gr(t)与反馈系数Kr(t)并建立制动压力控制仿真模型；

(3) 改变加权系数Q与R的值，对比不同Q、R值的阶跃响应曲线。结果表明：加权参数对控制效果有很大影响，本系统中增大Q和减小R可以使系统的控制效果变好；

(4) 将二次型最优控制与PID控制进行比较。结果表明，在正确选择加权参数的前提下，二次型最优控制效果优于PID控制，可以应用于制动压力调节。

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