基于粒度模型的型号协作任务结构优化

□ 郝京辉 □ 孙进栋 □ 龚杰峰

北京航天动力研究所 北京 100076

航天液体火箭发动机的外包产品具有种类杂、数量多、批量小等特点，研制过程的协作单位涉及航空、兵器、电子、科研院所、高校、专业公司等多个领域，各单位的科研模式、研制资源和能力等各具特色。型号协作过程是任务单位根据一定的任务在市场中寻求分散的协作资源的市场活动，完全是一种市场化、开放性的经营行为，其过程本身是复杂多变的，要从不同的角度去观察、分析它，才可发现协作过程的规律与特征。

型号协作任务的结构优化在市场协作过程中具有举足轻重的影响。在并行工程的研究中，Kusiak等［1］在分析邻接矩阵的基础上，研究耦合任务集的求解问题。金烨等［2］提出在开发并行任务设计中，任务分解粒度的确定是对任务进行分解与重组的关键，强调任务粒度越大，任务可以并行开展的余地就越小；任务粒度越小，任务之间的制约关系就越具体。董红召等［3］提出目标分解的粒度应该满足总目标对开始的时刻、最终完成时刻的要求，粒度应该保证尽可能减少多个子目标之间的耦合度。

1 基于粒度理论的型号协作任务结构模型

在型号任务协作过程中，任务结构是在特定的协作资源环境中该任务表现出的组织形式，以及任务之间的关联特性。针对协作任务结构，如果忽略任务结构细节上的描述，而从宏观视野上把握它的特性，可以将任务结构映射为一个近似性、功能性的对象集合，即协作任务粒度模型，以便定量地研究任务结构优化问题。

定义1：型号协作任务粒度。在型号任务协作过程中，协作任务粒度描绘协作任务功能性的结构，是任务聚合程度的平均度量的量化值。

显然，协作任务粒度与任务数量有着密切的关系：协作任务粒度偏大时，代表着任务数量越小；协作任务粒度偏小时，代表着任务数量越大。任务粒度与任务数量的关系可以描述为：

式中：n为协作任务的粒度；nt为协作任务的数量；k为协作任务粒度系数。

型号协作任务粒度直接影响协作组织的规模、结构和功能，任务的功能因素和经济因素都能够影响任务粒度的设计，影响协作任务粒度优化设计的几个关键因素如下。

（1）分散化的协作资源完成任务的成本，以及市场协商的消耗成本，是协作单位双方合作的基础。

（2）伴随着各种成本的消耗，型号协作周期自然成为协作单位希望控制的目标，市场响应时间是现代市场竞争环节中的关键性指标。

（3）针对协作任务完成的技术方案，是协作双方根据具体协作环境所做出的积极响应，技术方案是影响协作任务结构设计的关键因素。

2 基于协作成本约束的任务粒度优化

2.1 协作成本约束的分析

定义2：单元协作任务。在协作任务结构优化过程中，相对于特定的任务粒度而言，将任务分解为可以独立操作、运行的子任务单元称为单元协作任务。

定义3：任务执行成本。在型号任务协作过程中，直接消耗在生产环节上的费用称为任务执行成本，它包括协调管理成本和生产成本两部分。

型号任务单位根据市场资源的实际环境，将一个协作项目的任务粒度设计为n，若任务粒度过大，单元协作任务不易分配给不同的协作单位来共同完成，因为任务执行的风险太大，无法形成市场制约，很难在它们之间形成良性竞争，这样就提高了协作任务的生产成本，但是协调管理费用却得以降低；任务粒度过小时，使任务的可操纵性、可管理性降低，协调管理成本增加；但同时将单元任务分配给不同的协作单位来共同完成，促进它们之间的有益竞争，可使生产成本降低。因此，任务执行成本与协作任务粒度的数学关系式为：

式中：Ch（n）为协调管理成本函数；Cm（n）为生产成本函数；Ce（n）为任务执行成本函数； 常数 ξ＞0，ω＞0；n∈｛n|n＞nh0∧n＞nm0｝， 而且 nh0、nm0分别是协作任务粒度相对于协调管理成本、生产成本的初始参考值，是根据历史上相似模式的协作环境所形成的经验值和积累值。

定义4：商务成本。商务成本是指型号任务单位在市场调研中，与协作单位交流、谈判等业务上消耗的费用，它包括市场调研成本和合同谈判成本。

显然，当协作任务粒度较大时，可以降低市场调研成本和合同谈判成本，即商务成本；但是协作任务粒度较小时，商务成本将明显增大。商务成本与任务粒度的关系在数学上可以描述为：

式中：Cc（n）为商务成本函数；常数 θ＞0，n＞ncc0，ncc0为协作任务粒度相对于商务成本的初始参考值，描述了在进行协作任务结构设计时市场协作单位之间的协商、交流成本的相应历史属性。

定义5：损失成本。损失成本是指在市场协作中因为各种原因致使违反协作任务契约的合同损失，即：

式中：Cl为损失成本；Ccon为按合同规定若毁约应该得到的赔偿；Pe为因合同未执行所导致的损失概率。

假设Ct（n）为型号协作任务的协作成本函数（TOCC），由式（4）～式（6）可知:

通过分析可知，任务协作成本Ct（n）在最小情况下的协作任务粒度最佳值n*为：

式中：μ1、 μ2、 μ3分别为常数， μ1＝ξ/（ξ－ω+θ）， μ2＝－ω/（ξ－ω+θ），μ3＝θ/（ξ－ω+θ）。

2.2 协作成本约束的讨论

（1）根据式（7）获得影响协作任务粒度n的成本因素函数N1为：

（2） 从式（8）中可以得知，nh0、nm0、ncc0描述了协作资源对任务实现过程的成本约束特征，即协调管理成本、生产成本、商务成本的相应历史结构和性质，所以深入总结和探讨影响各种成本的结构、关联、属性等，将有益于协作任务粒度的优化设计。

3 基于任务过程周期约束的协作任务粒度优化

3.1 任务过程周期与奖励函数

定义6：任务完成周期。在型号任务协作过程中，市场协作单位完成任务的时间称为任务完成周期。

协作任务粒度的设计应该尽量减少各项子任务之间的耦合度，提高完成子任务的协作单元之间执行任务的并行度。如果协作任务粒度过大，协作任务在协作单位之间并行开展的余度就越小，任务完成周期就越长；如果协作任务粒度过小，任务之间的制约关系就越具体，协作单位之间任务并行开展的机会就越多，任务完成得越快。任务完成周期与协作任务粒度的关系为：

式中：Ta（n）为任务完成周期函数；常数 α＞0；n＞na0，na0为协作任务粒度相对于任务完成周期的初始参考值，是市场根据历史上相近模式的协作环境所生成的经验值和积累值。

定义7：任务商务周期。任务商务周期与商务成本同时发生，是指任务单位消耗在市场调研、与协作单位交流和谈判等业务上的时间，它包括市场调研时间和合同谈判时间。

当协作任务粒度较大时，可以降低市场调研和合同谈判所花费的时间，即任务商务周期；当协作任务粒度较小时，自然会增加协作任务商务周期。任务商务周期与协作任务粒度的关系为：

式中：Tc（n）为任务商务周期函数；常数 β＞0；n＞nct0，nct0为协作任务粒度相对于任务商务周期的初始参考值，描述了在设计协作任务结构时市场协作单位之间的协商和交流时间的历史特征。

根据式（9）、式（10）可得：

任务过程周期函数（TPP）是协作任务完成周期与任务商务周期之和，即：

定义8：奖励函数（BFAS）。在市场协作环境中，奖励函数有两层涵义：一是整体任务如果提前完成，将有任务提前期奖金；二是整体任务如果提前完成，虽然没有建立任务奖金制度，但是从节约生产时间、提前获得任务合约款项的角度看，可以认为相对地提高了任务奖励收益。

将协作任务奖励与任务过程周期的关系描述为：

式中：Bs［Tt（n）］＝Bs（n）代表奖励函数；Tt是任务过程周期；常数 γ＞0；Tt≤T0，T0代表根据历史经验针对整体任务时间的预期，它包括对组建协作组织的时间估计，以及完成协作任务的预计周期，即合同周期。

如果Tt＞T0，即在实际的整体体任务周期大于预期周期的情况下，那么不存在奖励问题。由式（14）可知：

将式（13）代入式（15），可得：

分析奖励函数Bs（n）的最大值，可以得到n的3个驻点为：

通过分析可知n3＜n1＜n2。下面分三种具体情况讨论协作任务粒度最佳值n*的可能取值区间，即：

最终，当奖励函数Bs（n）取最大值时，协作任务粒度最佳值n*取：

通过分析可知，当 n∈［n3,n2］时，奖励函数 Bs（n）的最大值点是n1，即：

式中：τ1、τ2为常数；τ1＝α/（α－β），τ2＝－β/（α－β）。

3.2 协作周期约束的讨论

（1）由式（16）可以获得影响协作任务粒度n的周期因素函数N2为：

（2） 由式（18）～式（20）可以发现，对任务整体时间的预期值T0发生变化时，任务粒度的优化设计范围将有所不同。当预期周期较小时，任务粒度的设计范围也较小，因此市场希望任务单位尽快选择协作单位；当预期周期较大时，任务粒度的设计范围也明显増大，市场会提供更多的抉择机遇。

（3） 分析式（21）， na0、 nct0是任务粒度相对于任务完成周期和任务商务周期的初始参考值，描述了市场资源环境对任务结构设计过程的时间约束。

4 基于任务技术方案约束的协作任务粒度优化

4.1 任务收益函数的分析

定义9：型号产品功能组件（PFD）。型号产品功能组件是指按照型号产品相应的功能、技术特征，将产品划分、组合成具有特定功能的组件。

如果以型号产品功能组件作为任务数量设计的基础，将有利于组件按型号要求进行测试、试验等，这是由产品的功能、技术特征所决定的，两者的结合越紧密，型号控制、生产管理越便利，协作任务的收益越高，所以在理想情况下，产品功能单元数量应该与任务的数量相匹配，但是，在现实协作资源环境中，任务数量的设计还须考虑完成任务的技术方案。协作任务结构如果按照加工技术方法进行聚类设计，这样会便于协作过程的管理，提高协作任务的收益。由此可见，任务收益与任务数量的关系是拟二次函数关系：

式中：nt为协作任务数量；常数 a1、b1、a2、b2＞0；E 为协作任务收益；p为型号功能组件数量；m为型号加工技术种类的数量；Ept、Emt表示当考量型号产品功能组件数量p和型号产品加工技术种类数量m时的协作任务收益函数（MTE）。

因为它们属性相同，所以考虑将协作任务总收益函数 Et（nt）表示为：

式中：0＜λ1、λ2＜1， 是分别考虑 p 和 m 时的任务收益的权重数，且 λ1+λ2＝1。

由此可知，协作任务收益Et（nt）在最大情况下，协作任务数量最佳值nt*为：

因此，由式（1）可得协作任务粒度最佳值n*为：

式中： η1、η2分别为常数，

4.2 协作任务技术方案约束的讨论

（1） 由式（1）、式（24）可以获得影响协作任务粒度n的技术因素函数N3为：

（2） 在式（25）中，p 为型号功能组件数量，m 为型号加工技术种类数量，λ1、λ2是分别考虑p和m时任务收益的权重数，a1、a2是任务盈利与任务数量关系函数的主要参数，它们都反映了协作任务的收益结构、趋势等特征。由此可以看出，任务粒度设计时必须考虑任务收益的结构和属性、产品功能组件数量、产品加工技术种类数量的影响。

5 协作任务结构优化的讨论

（1）将以上三个方面影响任务粒度设计的关键因素归纳起来，可以看出协作任务粒度的设计主要受到以下几个关键因素的影响：与协作任务成本相关的协作成本 Ct（n）、与协作任务周期相关的任务奖励 Bs（n）、与协作任务技术方案相关的任务收益Et（n），同时它们也是型号任务单位考察市场协作资源时所需要考虑的主要目标。

（2） 将协作任务粒度最佳值n*的表达式 （8）、式（21）、式（25）结合在一起，可以看出影响协作任务结构优化设计的主要因素是各种性质的成本、周期，以及完

表1 协作任务粒度最佳值的影响参数

6 结论

成任务技术措施等，影响参数及意义见表1。

（3）影响协作任务粒度最佳值的三个方面关键因素，是相应影响因素的任务粒度初始参考值的线性叠加（或倒数）。任务粒度初始参考值是协作市场参考历史上相近协作模式所积累的经验值，说明型号任务单位在设计任务结构时最重要的、也是最有价值的参考依据，是单位在市场协作历史过程中所积累的宝贵经验，这种历史经验对于单位的市场决策具有非常重要的积累效应。

（4）在考虑协作成本对任务结构设计的影响时，协作成本的结构划分、属性的界定、成本与协作任务的关系等，都将影响任务结构的优化设计与实施。

（5）针对协作组织从选择、组建到运作整个周期的设定，将对协作任务结构的设计产生重大影响；协作任务计划周期的时间分配，任务时序的分解等工作，是任务结构具体设计时的关键环节。同时，针对协作组织整个周期的不同市场环境，任务单位应该对任务粒度的设计做出适时的调整，虽然有时任务结构并不是最优的，但可能是基本符合协作市场的条件。

（6）将型号产品特点与技术方案两个影响因素合理搭配来决策任务结构的设计是非常困难的，其中任务单位需要深入分析两个因素对协作任务盈利情况的影响，这个问题在分析产品技术方案时尤为复杂。

本文基于型号协作任务粒度模型，针对市场协作环境下协作成本、任务过程周期、以及产品技术方案三个方面的关键影响因素，从宏观角度定量分析协作任务粒度的优化设计问题，建立它们与任务粒度之间的数学模型，获得在相应条件下的协作任务粒度最佳值。归纳三个方面关键影响因素的数量化结果，总结型号任务协作过程中任务结构的优化设计方法，特别强调在市场协作环境中协作历史表现与所积累的宝贵经验对任务结构优化设计具有重要的影响。

［1］ Kusiak A,Wang J.Efficient Organizing of Design Activities［J］.International Journal of Production Research,1993,31（4）:53-69.

［2］ 金烨，李玉家.并行任务的组织规划综述［J］.制造业自动化，2000，22（12）：22-28.

［3］ 董红召，陈鹰，赵燕伟.企业网络协同制造中目标分解的时序约束［J］.机械工程学报，2004（6）：28-33.