Gainse-Rescher 系统基于子代数的广义重言式

2015-04-16 08:51李顺琴惠小静

计算机工程与应用 2015年19期

关键词：子代数广义修正

李顺琴，惠小静

LI Shunqin,HUI Xiaojing

延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000

College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an,Shaanxi 716000,China

1 引言

广义重言式理论是模糊逻辑的重要研究方向。自1998 年王国俊教授建立了修正的Kleene 系统和修正的Kleene 系统中的广义重言式理论[1-2]后，其他多值逻辑系统中的广义重言式理论也在蓬勃发展[3-12]。文献[3-5]分别讨论了修正的Go¨del 逻辑系统和Gainse-Rescher 逻辑系统中的广义重言式理论，文献[10]讨论了修正的Go¨del逻辑系统中子代数的广义重言式理论，文献[11]讨论了修正的Kleene 逻辑系统中子代数的广义重言式理论。本文将Gainse-Rescher 逻辑系统中的广义重言式理论进行推广和补充，讨论其序稠密子代数中的广义重言式理论。

2 基本知识

定义1[1]设S={p1,p2,…}是可数集，¬是一元运算，∨与→是二元运算，由S生成的(¬,∨,→)型自由代数记作F(S)。F(S)中的元素叫公式或命题，S中的元素叫原子公式或原子命题。

定义3设是[0,1]上的Gainse-Rescher 逻辑系统，E是的非空子集合，如果E关于中定义的¬,∨,→运算封闭，则称E是的子代数。

命题1E是的子代数当且仅当E在[0,1]中关于对称且{0,1}⊂E。

证明（必要性）因为E是的子代数，所以由定义2 和定义3 知，对∀x∈E,¬x=1-x∈E，因此E在[0，1]中关于对称。又由定义2 和定义3 知，对∀x,y∈E，x→y的值是1或0，而E关于→运算封闭，故{0 ,1} ⊂E。

（充分性）由定义3 知，只需证明E关于中定义的¬,∨,→运算封闭。由定义2 知E显然关于∨运算封闭，又由于E在[0，1]中关于对称，所以E关于¬运算封闭。下证E关于→运算封闭。由定义2 知，对∀x,y∈E，x→y的值是1 或0，而{0,1}⊂E，故E关于→运算封闭。

本文中提到的子代数都是指序稠密子代数，在不致引起混淆时将其简称为子代数。

定义4设E是的子代数，v:F(S)→E是映射，若v是(¬,∨,→)型同态，即

v(¬A)=¬v(A),v(A∨B)=v(A)∨v(B)

v(A→B)=v(A)→v(B)

则称v为F(S)在E中的赋值，其全体赋值之集记为Σ(E)。

定义5设A∈F(S)，E为的子代数，α∈E：

（1）若∀v∈Σ(E)，v(A)≥α(v(A)＞α)，则称A为E-α-重言式（E-α+-重言式），其全体之集记为α-T(E)(α+-T(E))。

（2）若A∈α-T(E)，且∃v∈Σ(E)，v(A)=α，则称A为可达E-α-重言式，其全体之集记为[α]-T(E)。

（3）若A∈α+-T(E)，且∀ε＞0，∃vε∈Σ(E)，使得α＜vε(A)＜α+ε，则称A为可达E-α+- 重言式，其全体之集记作[α+]-T(E)。

特别地，E-1-重言式简称重言式，其全体之集记为T(E)。

以上定义的各种重言式统称为广义重言式，在不致引起混淆时前缀“E-”将略去。

引理1设E是的子代数，，映射定义为：

下面证明φ1保持¬运算。

因此，由（1）～（3）可知φ1保持¬运算。

定理1设E是的子代数，，则。

定理2设E是的子代数，，则α-T(E)=T(E)。

则显然φ2是保序的双射，易证φ2是同构的映射。事实上，φ2显然保持∨运算和→运算，下面证明φ2也保持¬运算。

当x=1 时，φ2(¬1)=φ2(0)=0=¬φ2(1)；

当x=0 时，φ2(¬0)=φ2(1)=1=¬φ2(0)；

当x∈(0,1)∩E时，φ2(¬x)=(2α-1)(1-x)+(1-α)=-(2α-1)x+α¬φ2(x) = 1-φ2(x) = 1-[( 2α-1)x+(1-α)] =-(2α-1)x+α所以φ2(¬x)=¬φ2(x)。因此φ2也保持¬运算，这样就证明了φ2是E与Uα之间的同构的映射。

设A∈α-T(E)，则∀v∈Σ(E)，v(A)≥α。由于φ2是E与Uα之间的同构的映射，所以φ2v∈Σ(E)，进而有φ2v(A)≥α且φ2v(A)∈Uα，从而只能φ2v(A)=1，由φ2的构造知v(A)=1，因此A∈T(E)，即α-T(E)⊆T(E)。

定理3设E是的子代数，，则[α]-T(E)=∅。

定理4设E是的子代数，，则α+-T(E)=T(E)。

证明若A∈T(E)，显然有A∈α+-T(E)。又若A∈α+-T(E)，则∀v∈Σ(E)，v(A)＞α。由定理2的证明过程知φ2v:F(S)→{0,1}∪((1-α,α)∩E)是同态的复合，因此φ2v∈Σ(E)，进而φ2v(A)＞α且φ2v(A)∈{0,1}∪((1-α,α)∩E)，故φ2v(A)=1，由φ2的构造知v(A)=1，因此A∈T(E)。

用类似的方法结合定义5 和引理1 可证定理5。

定理5设E是的子代数，，则。

定理6设E是的子代数，，则[α+]-T(E)=∅。

定理7设E是的子代数，α,β∈E且α≠β，则：

[α]-T(E)∩[β]-T(E)=∅

[α+]-T(E)∩[β]-T(E)=∅

[α]-T(E)∩[β+]-T(E)=∅

[α+]-T(E)∩[β+]-T(E)=∅

证明若[α]-T(E)∩[β]-T(E)≠∅，不妨设α＞β，取A∈[α]-T(E)∩[β]-T(E)，则∀v∈Σ(E)，v(A)≥α且v(A)≥β，注意到α＞β，所以∀v∈Σ(E)，v(A)≥α。而由A∈[β]-T(E)知存在v0∈Σ(E)，使得v0(A)=β＜α，矛盾。所以[α]-T(E)∩[β]-T(E)=∅。

其余各式用类似方法可证。

定理8设E是的子代数，则关于E而言F(S)有如下的分划：

证明（1）由定义5 知集族中任意两成员之交为空集，且由定理3 和定理6 可知它们的并集是F(S)，因此只需验证它们均为非空集合即可。