基于环境激励的桥梁振动模态识别算法研究*

郑德智,李子恒,王 豪

(北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院,北京 100191)



基于环境激励的桥梁振动模态识别算法研究*

郑德智*,李子恒,王 豪

(北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院,北京 100191)

在桥梁建造和维护过程中,需要对桥梁的振动模态进行在线、实时的分析,急需一种不需要人工激励进行快速模态分析的算法。通过研究自然激励技术NExT(Natural Excitation Technique)与自回归滑动平均模型ARMA(Auto-Regressive and Moving Average Model),在常规的自然环境模态分析算法的基础上构造出一种快速求解NExT-ARMA模型的算法进行桥梁模态识别。相比于传统的环境激励模态参数计算方法,该算法不但降低了传统算法的复杂度,而且采用了反馈的方式提高了计算精度。采用ANSYS建立有限元模型并搭建简易实验系统分别对该算法进行仿真验证和实验验证,验证结果表明,该算法能够有效地在自然激励下提取出桥梁结构的各阶模态,其中对前三阶固有频率的识别相对误差降到1%左右。

桥梁结构;模态分析;自然环境激励法;自回归滑动平均模型

现代桥梁的振动模态分析及参数识别技术是分析和解决各种复杂的桥梁结构动力学问题的重要手段之一,是理论分析、计算与实验研究密切结合的新技术。它在桥梁结构系统数学模型的建立和修改,桥梁实际振动响应的分析和预测,桥梁结构的优化设计、振动噪声控制、状态监测、故障诊断等方面均有着广泛的应用[1]。

环境激励下的模态识别方法属于工作状态模态分析,相比于传统模态分析方法,此方法仅仅通过系统在工况下的振动响应来辨识模态参数。使用这种方法对桥梁进行模态分析,可以不暂停结构的正常使用,同时也避免了对桥梁结构施加人为激励而造成的潜在影响,节省了成本。结合近年来传感器、通信及计算机技术的发展,环境激励模态分析技术可以在线、实时对桥梁的模态参数进行分析和监测,极大方便了桥梁各个层面的检测分析[2],正受到越来越多的关注。

本文通过研究自然激励技术NExT(Natural Excitation Technique,)和自回归滑动平均模型ARMA(Auto-Regressive and Moving Average Model)并通过直接对ARMA方程进行Z变换求解的方式,构造出一种自然环境下的桥梁模态快速识别算法。本算法不仅降低了运算复杂度,在计算方法上更加简单快捷,而且由于采用了计算结果反馈进行系统定阶,精度也有所提升,实现了实时、在线的模态分析要求。

1 自然环境下模态分析的理论模型

1.1 自然环境下模态分析的基本原理

模态是结构的固有振动特性,它以线性叠加原理为基础,一个复杂的振动系统可以分解成许多模态的叠加,每一阶模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型[3]。

环境激励下的模态识别基本流程如图1所示。

图1 环境激励下模态分析过程

如图1所示,直接测量桥梁在自然环境下的振动信号,选择一个参考点,使用NExT算法计算系统各响应点与参考点振动信号的互相关函数,此函数可以用来替代结构的脉冲响应函数。通过对结构一系列等效脉冲响应函数建立ARMA模型进行参数解算,便可以识别出系统的模态参数。NExT-ARMA模型是一种局部识别方法,可以只通过两个测点之间的相关函数识别各阶固有频率、阻尼比及当前点的振型系数,进一步使用系统多个响应点与参考点之间的相关信号进行多次建模,便可以综合计算出系统的各阶模态振型。

1.2 NExT-ARMA模型的基本原理

NExT算法是由美国SADIA国家实验室的JAMES和CARNE在1995年提出来的。其基本思想是在自然白噪声激励下,振动结构的两个响应点之间的互相关函数和系统的脉冲响应函数有着类似的数学形式,借助这一思想,可以在求得系统两个响应点之间的互相关函数之后,对其使用时域中的模态参数识别方法进行模态分析。

假设系统动态特性由N阶微分方程描述:

(1)

系统内i,j两点的互相关函数为

Rijk(T)=E[xik(t+T)xjk(t)]

(2)

假设系统输入为白噪声,便可以得到i,j两点的互相关函数为[4]:

(3)

当系统在j点受到单位脉冲激励时,即f(t)为单位脉冲函数,得到系统在i点的响应为[5]:

(4)

观察式(3)和式(4),可以看出系统i点以j点为参考点的互相关函数Rij(T)与j点脉冲激励在i点的响应xij(t)有着类似的数学形式,二者均可以看作是一系列衰减的三角函数叠加,且两个函数都包含了系统模态参数的全部信息。因此,对系统响应信号的互相关函数使用时域模态分析模型进行参数辨识,理论上可以达到与使用脉冲响应函数进行模态识别相同的效果。

ARMA时序分析法是一种根据系统参数模型对有序随机振动数据进行处理,从而识别系统模态参数的方法[6]。对于确定的线性系统,其激励与响应有如下的关系[7]:

(5)

其中:fk=f(tk)=f(kΔt)为系统输入的离散值(k=0,1,2,…;Δt为采样时间间隔);xk=x(tk)=x(kΔt)为系统输出的离散值(k=0,1,2,…;Δt为采样时间间隔);al(l=1,2,…p)表示自回归系数;bl(l=1,2,…q)表示滑动平均系数;p,q为ARMA模型的阶次,且p≥q。

上式即为系统的自回归滑动平均ARMA(p,q)模型。对于确定系统,其自回归系数和滑动平均系数均为确定实数,反映了系统的固有特性,因而使用ARMA模型对系统进行辨识的关键就是识别al,bl的值。

观察式(5)中的模型,对其等号两边同时进行Z变换,并将其转换为传递函数的形式,有:

(6)

可以看出,式(6)与系统的传递函数有相同的形式[8],系统的传递函数与ARMA模型完全等价,可以通过ARMA模型参数al,bl来表示系统的特征方程,从而进一步去求得系统的传递函数。

NExT算法将系统的自然激励响应转化为数学上等效的脉冲响应;ARMA模型通过等效脉冲响应建立了一个时域上的等效传递函数模型。通过等效脉冲响应直接对ARMA模型进行Z变换求解,仅仅使用简单的矩阵运算便可以通过等效脉冲响应曲线来建立ARMA模型[9],同时通过与响应曲线进行比较来反馈调节ARMA模型的阶数,可以进一步缩小模型拟合的误差。

2 自然激励下的模态分析算法

2.1 NExT-ARMA模型进行模态分析的步骤

使用NExT-ARMA模型进行自然环境下的模态分析,首先选择一个振动参考点,对每个响应点与参考点信号做互相关;然后针对每个互相关函数建立ARMA模型,估计模态参数;最后通过汇总每个响应点的模态信息提取出系统的模态参数。在实际应用中,本算法可以分为以下几个关键步骤:

2.1.1NExT算法计算系统各响应点等效脉冲响应

NExT-ARMA模态分析算法的第1步就是要计算各个响应点的等效脉冲响应函数。根据NExT算法,在时域中计算系统各个响应点与参考点的互相关函数,可以等效替代系统的脉冲响应。但是,在实际情况中,此方法计算的速度较慢。而快速傅里叶变换算法的出现极大的化简了这一计算过程,根据维纳-辛钦定理,可以先计算系统的互功率谱密度函数,然后对其进行傅里叶逆变换可以得到两点之间的互相关函数[10]。使用这种间接计算的方法,算法的计算速率得到了显著性的改善。

2.1.2 系统定阶,建立ARMA模型并求解参数

①ARMA模型阶次的确定

对于大型桥梁结构,工程上往往使用ARMA(2n,2n-1)模型进行模态分析[11]。在建模之前,模型阶次的确定即n值的确定是系统建模的首要问题。从理论上说,高阶模型较低阶模型更能精确地反映系统特性,但实际上由于参数是估计值,过于复杂的模型反倒会有更多计算困难,因此,有必要建立一个模型阶数的检验准则[12]。

本算法采用反馈的方式对模型阶次进行调整。对于前nd阶模态,令n=nd,将等效脉冲响应序列代入ARMA(2nd,2nd-1)模型进行拟合,完成后对模型参数进行适用性检验,若模型误差较大,则令n=nd+1进行更高阶的拟合,直到找到合适的阶数为止。

②ARMA模型建立与求解

ARMA模型求解包括求解自回归系数和滑动平均系数两部分。从本质上来说,ARMA模型的求解就是一个根据系统的脉冲响应来拟合传递函数的过程。根据ARMA模型与传递函数的等效关系,先直接对ARMA模型进行Z变换,之后代入脉冲响应数据通过求解矩阵方程来简化ARMA模型求解,可使ARMA模型系数只通过简单的矩阵运算即可解算出来。具体过程如下:

对ARMA(2n,2n-1)模型进行z变换,可以得到如下形式:

(7)

系统的等效冲激响应h(n)与H(z)有如下关系:

(8)

式(7)可以重新写为

B(z)=H(z)A(z)

(9)

根据脉冲响应h(n)的前K+1(K≫2n)项,式(9)可以转换为矩阵形式:

(10)

式(10)中的矩阵可以分解为:

(11)

可以得到方程组:

(12)

其中,b为2n阶向量,分别为ARMA模型的滑动平均系数,a*为ARMA模型的自回归系数(a0=1)。H1为2n×2n+1阶矩阵,H2为K-2n+1×1阶矩阵,H3为K-2n+1×2n阶矩阵,它们均为脉冲响应h(n)序列组成的矩阵的子矩阵[13]。

由于通常测量中K≫2n,在此采用伪逆法来获得方程的最小二乘解[14],即:

(13)

求解可以得到ARMA模型的自回归系数a:

(14)

进而可以直接求出滑动平均系数b:

b=H1a

(15)

2.1.3 通过ARMA系数确定模态参数

得到ARMA模型的自回归系数和滑动平均系数之后,可以通过ARMA模型的等效传递函数式(7)来计算桥梁的模态参数。

(1)求解固有频率与阻尼比

根据上一节的分析可知,ARMA模型的自回归系数可以等效于系统传递函数分母的系数,因此可以通过ARMA模型的自回归系数来计算系统的极点。

(16)

其中Δt为采样频率。

(17)

(2)求解模态振型向量

(18)

此留数的值即为系统第r阶模态在响应点i的振型系数,系统多个响应点振型系数的组合即可以看作是系统的振型。

若桥梁有N个响应点,j为系统参考点,则其第r阶归一化模态向量可以表示为:

(19)

根据以上3个步骤,即可根据桥梁环境激励下的振动响应信号计算桥梁的模态参数。

2.2 NExT-ARMA算法流程图

如上一小节所述,使用NExT-ARMA模型进行自然环境下的模态分析,要经过NExT算法计算等效脉冲响应,ARMA模型建立求解,ARMA模型系数确定模态参数3个过程。其中,系统阶数要根据计算结果的反馈进行多次定阶以达到可以接受的误差,总结算法流程图如图2所示。

图2 NExT-ARMA算法流程

图3 简支梁结构示意图

3 ANSYS简支梁仿真验证

3.1 简支梁模型及其动力学仿真

简支梁桥是工程上最常见的一种桥梁结构,梁两端有两个支座,一端为固定绞支座,一端为滑动绞支座,两端支座都只约束了线位移,而释放了所有转动约束[15]。如图3所示,简支梁桥结构简单,架设方便,可以在很大程度上缩短工期,降低造价。下面我们将以简支梁模型为例对以上的NExT-ARMA模态分析算法予以验证。

算法验证的流程如图4所示。首先对简支梁建立有限元模型,使用Lanczos方法进行有限元下的模态分析,然后对有限元模型施加白噪声激励进行瞬态动力学分析,得到简支梁在白噪声激励下各点的振动响应,通过NExT-ARMA分析响应信号便可以提取出系统的模态。将算法得到的模态参数与有限元仿真得到的模态结果进行分析比对,便可以验证算法的有效性。

图4 模态分析计算验证流程

对简支梁结构进行有限元建模,梁一端固支,一端简支,跨度2.5m,长宽高比为100∶10∶1。单元类型采用SOLID95单元;材料采用C20混凝土,弹性模量2.8×1010N/m2,泊松比0.3,密度2 500kg/m3;假设粘性阻尼比为0.03～0.06,由于系统前几阶模态的频率范围大致为0～100Hz,可以换算粘性阻尼比为瑞利阻尼α=3.14,β=0.000 3。针对以上数据进行建模并施加激励可以得到图5所示的简支梁的有限元模型。

图5 简支梁有限元模型

简支梁的白噪声激励点相当于工况下环境激励点,本实验将其理想化,对梁的上半平面施加不同的均布白噪声激励。响应测点相当于实际中振动传感器的布置点,布点的位置应该遵循两个原则:①数量最优,通过尽可能少的传感器来获取最全面的振动信息。②测点定位合理,传感器应布设在能够最大程度上反映需要测量的模态振型的关键位置[16]。

通过有限元方法预先对简支梁进行分析,由于简支梁前几阶模态振型既有垂直向的弯曲振型又有扭转振型,要进行全面的模态分析就需要在梁的上游和下游两端分别布置传感器。为验证的简便起见,本次实验只考虑梁的垂直y向模态。响应点沿着梁中心线平均布置。

综上所述,简支梁的激励和响应点布置的俯视图应如图6所示。

图6 简支梁激励响应点布置(俯视图)

如图6所示,不同的白噪声激励施加在梁的平面上,响应点沿着梁的中心线依次分布。这样,通过多个响应点的时域振动信号,即可验证简支梁的试验模态参数。

3.2 NExT-ARMA结果与仿真结果比对分析

根据上述条件进行实验,得出ANSYS仿真数据与NExT-ARMA模型求解结果对比如下:

简支梁垂直Y向前三阶模态固有频率对比结果如表1所示。可以看出,本算法对简支梁的前三阶Y向模态固有频率均能够进行有效地识别,误差在1%左右。

表1 固有频率NExT-ARMA识别值与ANSYS仿真值比较

简支梁垂直Y向前三阶模态阻尼比比对结果如表2所示。

表2 阻尼比NExT-ARMA识别值与ANSYS仿真值比较

简支梁垂直前三阶理论模态振型及其与算法结果的对比图如图7～图12所示。

图7 简支梁有限元仿真一阶模态振型

图8 一阶归一化模态振型比对图

图9 简支梁有限元仿真二阶模态振型

图10 二阶归一化模态振型比对图

图11 简支梁有限元仿真三阶模态振型

图12 三阶归一化模态振型比对图

从图8、图10、图12中的振型对比曲线中可以看出,各响应点识别出的振型能够较为精确地拟合有限元分析得到的振型。

4 简支梁实验验证

4.1 简支梁实验平台

本实验采用轻木材料搭建一个简支梁结构来验证算法的有效性。简支梁结构如图13所示。使用轻木板搭在两个底座上,一端固支,一端使用砝码和圆木棒进行简支,模仿桥梁的简支梁单元进行模态识别。

图13 实验平台简支梁结构示意图

试验方案如图14,数据采集系统使用4路ICP传感器采集木板的振动,上位机程序采用Labview来汇总并储存数据。先使用在工程应用上比较成熟的锤击法检测简支木梁的模态参数,然后使用鼓风机激励简支梁,模拟自然环境激励。使用本文所提出的NExT-ARMA模型从响应数据中提取模态参数,将两者的计算将结果进行对比,则可以验证本算法在自然激励下的有效性。

图14 简支梁实验验证平台

4.2 实验验证结果

在这里简支梁的模态分析仍然取垂直Y向前三阶的模态。经实验验证,固有频率结果对比如表3所示。

表3 固有频率NExT-ARMA识别值与锤击法比较

垂直Y向前三阶模态阻尼比比对结果如表4所示。

表4 阻尼比NExT-ARMA识别值与ANSYS仿真值比较

由于实验平台有4个传感器点,不能十分准确地测定结构的振型,因此实验在测定特定振型时略微调整了传感器的位置,最终两种方法得到的大致振型如图15、图16所示,可以看出,NExT-ARMA模型也可以对振型进行有效识别。

图15 实验验证一阶模态振型对比

图16 实验验证二阶模态振型对比

从以上结果可以看出,本文提出的自然环境激励下的NExT-ARMA模型求解方法与传统的锤击法计算结果十分接近,本算法可以快速、有效地提取出结构的模态参数。

5 结论

本文通过研究NExT自然激励技术与ARMA自回归滑动平均模型的原理,构造出一种快速求解NExT-ARMA模型从而计算自然激励下桥梁模态参数的方法,该方法不仅能够在桥梁正常工况下对桥梁的振动模态进行较为精确的识别,而且根据ARMA模型与传递函数之间的关系简化了模态分析步骤,使得ARMA模型可以一次性求解,相比于传统的环境激励的检测方法计算更加快捷。

文章针对该计算方法建立简支梁模型并进行ANSYS有限元的仿真验证,结果表明,该算法能够较为准确的计算简支梁结构的模态参数,达到了工程上的要求。

同时,本文在实际中建立了简支梁实验平台来验证NExT-ARMA求解算法的有效性,将其计算结果与现有成熟的模态分析方案做比较,结果表明此算法同样能够准确地计算结构的模态参数。

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A Bridge Modal Identification Algorithm Based on Ambient Excitation*

ZHENGDezhi*,LIZiheng,WANGHao

(School of Instrumentation Science and Opto-electronics Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

An online,real-time analysis of the bridge vibration mode is often required during a bridge construction and maintenance.So a modal analysis algorithm with no human excitation is in urgent need.By researching the mathematical sense of NExT(Natural Excitation Technique)algorithm and ARMA model(Auto-Regressive and Moving Average Model),a quick solution for NExT-ARMA model is proposed on the basis of conventional algorithms.Compared to the traditional ambient modal analysis,this algorithm not only reduces the complexity of traditional method,but also build a feedback loop to improve the accuracy.Build a simply supported beam model both in ANSYS and real experimental platform to verify the algorithm.It shows that each mode of the bridge structure can be identified under nature white noise excitation.The relative error of the first three natural frequencies is 1% or less.

bridge structures;modal analysis;natural excitation technique(NExT);auto-regressive and moving average model(ARMA)

郑德智(1978-),男,副教授,北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院博士生导师,研究领域为传感器敏感机理,mickeyzheng@163.com;

李子恒(1990-),男,硕士研究生,北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院硕士在读,研究领域为先进传感与智能仪器,zihenglee@126.com。

项目来源:国家“863”计划(2014BAF08B01);教育部新世纪人才资助项目;北京市支持中央高校共建项目(青年英才计划)

2014-08-19 修改日期:2014-12-03

C:7210G;7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.02.004

TU311.3

A

1004-1699(2015)02-0170-08