与反比例函数有关的一个结论及应用

2015-05-06 16:26秦会龙
中学数学杂志(初中版) 2015年2期
关键词:反比例中点四边形

秦会龙

在反比例函数有关的习题中,常出现与面积、反比例系数k有关的问题.笔者探究发现,有一类问题可得到一般性结论,本文就探究这个结论及应用.

引例

如图1,反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E,F两点,若E是AB的中点,S△BEF=2,则k的值为.(2014年遵义)

解析设E的坐标为(a,ka),则B点的坐标为(2a,ka),F点的坐标为(2a,k2a),所以BF=ka-k2a=k2a,因此S△BEF=12·a·k2a=k4,故k4=2,k=8.

发现结论通过上述的探究发现:

(1)从反比例函数上两点分别向两坐标轴上做垂线,构成矩形OABC,若其中一点是矩形边的中点,则另一点是矩形另一边的中点.

(2)若反比例函数y=kx(k>0),如图1,则矩形OABC的面积为2k,四个三角形的面积分别为S△OAE=S△OCF=k2,S△BEF=k4,S△OEF=3k4

应用举例.

1直接应用

例1(2013年乌鲁木齐)如图2,反比例函数y=3x(x>0)的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点E、F且AE=BE,则△OEF的面积的值为.

解析根据上述结论可得三角形OEF的面积为3k4=94.

2转化应用

例2(2013年日照)如图3,直线AB交双曲线y=kx(x>0)于A、B,交x轴于点C,B为线段AC的中点,过点B作BM⊥x轴于M,连结OA.若OM=2MC,S△OAC=12,则k的值为.

解析过点A作DE∥x轴,延长MB交DE于点E,因为BM⊥x轴,DE∥x轴,所以∠E=∠BMC,因为∠ABE=∠CBM,又B是AC的中点,所以AB=CB,所以△ABE≌△CBM.所以S△ABE=S△MBC,所以由上述结论得S△OAC=S四边形OAEM=S矩形ODEM-S△ODA=2k-k2=3k2=12,所以k=8.

例3(2014年孝感)如图4,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,双曲线y=kx(x>0)经过斜边OA的中点C,与另一直角边交于点D.若S△OCD=9,则S△OBD的值为.

解析过C作EF∥x轴,因为∠CFO=∠CEA=90°,∠ACE=∠OCF,又C是OA的中点,所以CA=CO,所以△ACE≌△OCF.所以C是EF的中点,由上述结论可得三角形OCD的面积等于3k4=9,从而k=12,所以三角形OBD的面积等于k2=122=6.

例4(2014年临沂)如图5,反比例函数y=4x的图象经过直角三角形OAB的顶点A,D为斜边OA的中点,则过点D的反比例函数的解析式为.

解析过A作AC∥x轴,过D作EF∥x轴,则四边形ABOC的面积为4,因为D是OA的中点,容易推出F是OC的中点,D是EF的中点,所以四边形OBEF的面积为2,设过点D的反比例函数的解析式为y=kx,根据上述结论有四边形OBEF的面积为2k=2,从而k=1,所以y=1x.

例5(2013年内江)如图6,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为.

解析过M作GF∥y轴,由已知容易得到△AFM≌△CGM,所以M是FG的中点,根据上述结论可得矩形OFGC的面积为2k,因为M是OB的中点,所以可得矩形OABC的面积为4k,所以四边形ODBE的面积为4k-k2-k2=3k=9,所以k=3.

例6(2013年泸州)如图7,已知函数y=43x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A.将y=43x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=kx交于点B,与x轴交于点C.

(1)求点C的坐标;

(2)若OACB=2,求反比例函数的解析式.

解析过A作DG∥x轴,过B作GF∥y轴,作AE⊥x轴,则△AOE∽△BCF,由于OACB=2,所以点B为FG的中点,根据上述结论A为DG的中点,设A的横坐标为a,则OE=a,CF=12a,OF=2a,OC=92,由92+12a=2a,得a=3,故A(3,4).从而可得k=12.

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