一类非自治Birkhoff系统的分数维梯度表示

祖启航，朱建青，张毅

(1.苏州科技学院 数理学院，江苏 苏州 215009；2.苏州科技学院 土木工程学院，江苏 苏州 215011)

一类非自治Birkhoff系统的分数维梯度表示

祖启航1，朱建青1，张毅2*

(1.苏州科技学院 数理学院，江苏 苏州 215009；2.苏州科技学院 土木工程学院，江苏 苏州 215011)

研究非自治Birkhoff系统阶α=2的分数维梯度表示.首先,给出非自治Birkhoff系统和非自治广义Birkhoff系统成为梯度系统的条件.其次，给出非自治Birkhoff系统和非自治广义Birkhoff系统成为阶α=2的分数维梯度系统的条件，并给出梯度系统势函数V的表达式.最后，举例说明结果的应用.

非自治Birkhoff系统；非自治广义Birkhoff系统；梯度系统；分数维

1 非自治Birkhoff系统的梯度表示

非自治Birkhoff方程表示为[12]

(1)

其中B=B(a,t)为Birkhoff函数，Rμ=Rμ(a,t) 为Birkhoff函数组.如果Birkhoff函数B和Birkhoff函数组Rμ都显含时间t，则称为非自治的.

假设系统非奇异，则方程(1)可表为

(2)

一般来说，非自治Birkhoff系统不是一个梯度系统.

如果满足条件

(3)

以及

(4)

则方程(2)是一个梯度系统.此时，可找到势函数V=V(a)，使得

(5)

2 非自治Birkhoff系统的分数维梯度表示

非自治Birkhoff系统(2)一般不是一个分数维梯度系统.如果满足条件

(6)

以及

(7)

则它是一个阶α=2的分数维梯度系统.

对满足条件(6)和(7)的分数维梯度系统，可以找到势函数V，使得

(8)

例1 某二阶Birkhoff系统的Birkhoff函数和Birkhoff函数组为

陈桥驿先生正式发表的地名学论文成果卓越，名文迭出，除了上述所举论文之外，还有：《地名学与地理教学》(《地理教学参考》1980年5月)、《论浙江省的方言地名》(《浙江学刊》1983年2期)、《浙江省县(市)名简考》(《中国历史地理论丛》1985年1期)、《论地名重合》《论地名重合(续)》(《中国地名》1991年1期、3期)、《中国的非汉语地名——以〈水经注〉记载为例》(《中国方域》1993年3期)、《论中国的非汉语地名》《论中国的非汉语地名(续)》(《中国地名》1998年3期、4期)、《中国古代的地名研究》《中国古代的地名研究(续)》(《中国地名》2000年5期、6期)。

B=a1a2et,R1=a2et,R2=a2et

(9)

这是一个非自治Birkhoff系统.

由式(9)得

(10)

方程(2)给出

(11)

现考察系统(9)是否为梯度系统.当μ=1,ρ=2时，代入式(3)和式(4)

式(3)左端和右端分别为

(12)

(3)式不成立，则系统(9)不是梯度系统.

与此同时，容易验证式(6)和式(7)成立，则系统(9)是一个阶α=2的分数维梯度系统.由此得到势函数

(13)

3 非自治广义Birkhoff系统的梯度表示

广义Birkhoff系统的运动微分方程为[13]

(14)

如果Birkhoff函数B，Birkhoff函数组Rμ以及附加项Λμ都显含时间t，则称为非自治的.

(15)

一般而言，非自治广义Birkhoff系统也不是一个梯度系统.

如果满足条件

(16)

以及

(17)

则方程(15)是一个梯度系统.此时，可以找到势函数V=V(a)，使得

(18)

4 非自治广义Birkhoff系统的分数维梯度表示

非自治广义Birkhoff系统(15)一般不是一个分数维梯度系统.如果满足条件

(19)

以及

(20)

则它是一个阶α=2的分数维梯度系统.

对满足条件(19)和(20)的分数维梯度系统，可以找到势函数V，使得

(21)

例2 某二阶Birkhoff系统的Birkhoff函数和Birkhoff函数组为

B=a1a2+t2,R1=a1t2+a2,R2=2a1+a2t2

(22)

附加项为

Λ1=2a1t+a1,Λ2=2a2t

(23)

这是一个非自治广义Birkhoff系统.

由式(22)得

(24)

由方程(15)给出

(25)

当μ=1,ρ=2时，代入式(16)和式(17).式(16)左端和右端分别为

(26)

(16)式不成立，则系统(22)(23)不是梯度系统.

与此同时,容易验证式(19)和式(20)成立，则系统(22)(23)是一个阶α=2的分数维梯度系统.由此得到势函数

(27)

5 结 论

本文通过非自治Birkhoff系统和非自治广义Birkhoff系统成为通常梯度系统的条件，给出其成为二阶梯度系统的条件.可将文中的势函数做为Lyapunov函数来研究系统的稳定性.文献[10]将分数维梯度系统称为广义梯度系统，本文也是对广义梯度系统的进一步拓展.

[1]TarasovVE.Fractionaldynamics[M].Beijing:HigherEducationPress,2010.

[2]ZhouS,FuJL,LiuYS.Lagrangeequationsofnonholonomicsystemswithfractionalderivatives[J].ChinesePhysicsB,2010,19(12):120301.

[3]梅凤翔.关于梯度系统[J].力学与实践,2012, 34(1)：89-90.

[4]梅凤翔, 吴惠彬.一阶Lagrange系统的梯度表示[J].物理学报, 2013, 62(21)：214501.

[5]梅凤翔, 吴惠彬.广义Hamilton系统与梯度系统[J].中国科学:物理学 力学 天文学, 2013, 43(4)：538-540.

[6]梅凤翔, 李彦敏.弱非完整系统的梯度表示和分数维梯度表示[J].商丘师范学院学报, 2011, 27(9)：1-3

[7]梅凤翔, 吴惠彬.广义Birkhoff系统的梯度表示[J].动力学与控制学报, 2012,10(4):289-292.

[8]MeiFX,WuHB.BifurcationforthegeneralizedBirkhoffiansystem[J].ChinesePhysicsB, 2015, 24(5)：054501.

[9]梅凤翔, 吴惠彬.广义Birkhoff系统与一类组合梯度系统[J].物理学报, 2015,64(18):184501.

[10]梅凤翔, 崔金超, 吴惠彬.Birkhoff系统的梯度表示和分数维梯度表示[J].北京理工大学学报,2012,32(12):1298-1300.

[11]楼智美, 梅凤翔.力学系统的二阶梯度表示[J].物理学报, 2012,61(2):024502.

[12]梅凤翔, 史荣昌, 张永发, 吴惠彬.Birkhoff系统动力学[M].北京:北京理工大学出版社,1996.

[13]梅凤翔.广义Birkhoff系统动力学[M].北京:北京理工大学出版社,2013.

[责任编辑：徐明忠]

A fractional dimensional gradient representation for a type of non-autonomous Birkhoffian systems

ZU Qihang1, ZHU Jianqing1, ZHANG Yi2*

(1.College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China； 2.College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)

A fractional dimensional gradient representation for a type of non-autonomous Birkhof- fian systems is sutdied.Firstly, the conditions of the non-autonomous Birkhoffian system and the non-autonomous generalized Birkhoffian system as a gradient system are given.Then, the conditions under which the non-autonomous Birkhoffian system and the non-autonomous Birkhoffian system can be considered as a fractional dimensional gradient system are obtained.Beside, the expression of the gradient system potential functionVis given.Finally,two examples are presented to illustrate the application of the results.

non-autonomous Birkhoffian system; non-autonomous generalized Birkhoffian system ;gradient system; fractional dimension

2015-09-18;

2015-10-13

国家自然科学基金资助项目(10972151；11272227)；苏州科技学院研究生科研创新计划(SKCX15_061)资助项目

祖启航(1991-)，男，江苏泗洪人，苏州科技学院硕士研究生，主要从事力学中的数学方法的研究.

张毅(1964-)，男，江苏吴江人，苏州科技学院教授，博士，博士生导师，主要从事约束系统力学研究.

O316

A

1672-3600(2015)12-0030-04