线性代数知识在数学建模中的应用分析

冯铁勇

摘 要：在大学中，数学建模一种用于培养大学生利用现有的知识解决数学实际问题的能力，是一个重要的解决实际问题的策略，这也是我们当前以及今后进行数学教学的重难点。从数学建模的教学情况来看，我们最关键的是要进行模型的构建，也就是说如何把具体的实际问题建立出相应的数学模型。基于此，本文先是对数学模型做了一个大致的介绍，接下来，以线性代数的主要思想和知识，来讨论这一问题，最后通过一个人口迁移实例，来进一步分析如何利用线性代数的相关知识来解决实际的问题。

关键词：线性代数；知识；数学建模；应用

1 引言

我们要发展更加先进的科技，数学知识的支持是极其重要的。就当前的许多学科的问题来看，都或多或少地利用数学知识来解决问题。无论是从天文，还是从地理上来看，数学都在其中发挥了重要的作用。可以说，采用数学知识解决问题不仅仅是未来的发展趋势，也是一名合格的大学生必要的素质所在，这是对大学生掌握知识，以及分析实际问题的考察。

为了让更多的当代大学生可以利用自己所获得的数学知识来解决实际问题，我国每一年都会举行一次数学建模比赛，其宗旨也是想让更多的人真正地投入到这一活动中去，让更多的人学习数学，利用数学，解决问题。从总的情况来看，在许多高校，数学竞赛已经得到了不同程度不同的重视，许多大学都开设了数学建模这门课程。在本文中，笔者主要是想就线性代数知识在数学建模中的应用谈一下自己的看法。

2 建模

建立复杂的数学模型，来解决问题，对于现在的大学生而言确实是一件不容易的事情。考虑到我们在现实中遇到的问题会相对比较复杂，而大学生有时会问题的理解存在片面性，所以老师在具体的教学过程中，一定要不断地培养学生如何把实际问题向数学模型转化。教师在教学过程中要学会如何使用数学语言和方法对客观存在的现象和规律进行阐述，从而得到数学模型。从建模来解决问题，主要有以下几个流程：模型假设、模型建立、模型计算以及模型推广等。就现实的数学模型，我们应该如何进行建模，从总的来看，要把握问题的基本原理，即不仅要对问题有一个总体的把握，同时还要结合求解的要求对相关的问题进行细分。数学模型的建立是用于解决问题的重要环节。教师在具体的教授过程中往往是关注了如何采用已经建立好的数学模型求解问题，而对具体地模型是如何建立的，却没有应有的重视，所以这样一来，时间一久，学生就不具备分析问题和解决问题的能力，并最终使建模课的教学一直在徘徊不前。数学模型建立得是否合适，关系到问题的求解难度及问题求解的结果与实际是否相符。通过数学建模的学习，我们可以更好地解决数学问题，以及提高自己的能力。

3 主要知识点回顾

大学数学的数学课程里，主要有高等数学和线性代数，代数学主要是用于研究线性关系问题。线性代数主要是用于对方程组进行求解。在对线性方程组和向量之间关系进行了深入研究以后，行列式以及矩阵慢慢地引入于其中，从而使线性代数得到了较快的发展，并在其中处于中心地位。线性代数在理工科，甚至是经济学科中都是一个十分重要的课程，学科中的不少问题都可以转化为线性代数中的问题。线性代数中的主要内容就有行列式的求解、矩阵、向量组的相关性、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型等。其实，就本质来看，都是用于求解线性方程组。而对于线性方程组的求解无非就是二个结论，有解和无解。如果线性方程组有解就有两种情况：有唯一解和无穷多个解。对于无解的线性方程组，如何才能对其进行处理呢？这些都是我们在学习中要注意的事项。我们只有灵活掌握线性代数的主要理论，才可以实现实际问题向线性代数类问题的转化。

4 实例分析

自我国实施改革开放政策以来，经济建设成就有目共睹，人民生活也有了较大的改善。但是却存在明显的城市环境恶化，以及城乡收入差距不断增大的趋势，这使得有不少的农村的人进城务工，而城市的居民又想去农村生活。根据这一现状，我国对某省的城乡人口流动做了系统的调查。其结果显示，在该省，每年有3.2个百分点的农村居民移到城镇，在城镇中有1.3%的市民进入城镇。从总的情况来看，居住于城镇的人口高达40%。我们假定全省的总人数未发生变化，人口流动也是保持现在的情况，则一年以后，以及若干年以后城镇会有多少人呢？

问题分析：我们假设本省的乡村人口数是x0，城镇人口是y0，经过“该省每年有3.2%的农村居民移居城镇，在城镇有1.3%的居民迁出城镇”的变化，一年后乡村人口就变为x1，城镇人口为y1。

问题求解：根据“当前该省总人口中有40%的居住于城镇”，我们就可以假设x0=0.6，y0=0.4，按照上面的公式3，我们得到x1=0.5860，y1=0.4140。再按照公式（4），我们得到x5=0.5360，y1=0.4640。

5 结论

数学建模是是一种用于培养学生应用实际模型，解决数学问题的能力。借助于数学建模，不但可以把大學生学到的知识应用于实践，同时还可以让更多的人积极，主动地进行学习，从而更加有利于大学数学教学工作的开展。数学建模竞赛正在得到大学生，以及大学教师等人的重视。本文主要是对线性代数知识在数学建模中的应用进行了分析，并且给出了一个具体的解决问题的实例。本文的研究可以更好地理解数学建模并把其应用于实际工作中去。

参考文献

[1]张燕，司海峰，宿敬肖.关于线性代数学习方法的研究[J].中国校外教育（理论）.2008（S1）

[2]贾璐.普通高校“线性代数”教学方法探讨[J].牡丹江教育学院学报.2009（01）

[3]张秋娜.关于独立学院线性代数课程改革的建议[J].数学学习与研究.2011（11）