一类相对转动系统的复杂运动及时滞速度反馈控制

尚慧琳，李伟阳，韩元波，文永蓬

（1．上海应用技术学院机械工程学院，上海 200235；2．上海工程技术大学城市轨道交通学院，上海 201620）

一类相对转动系统的复杂运动及时滞速度反馈控制

尚慧琳1，李伟阳1，韩元波1，文永蓬2

（1．上海应用技术学院机械工程学院，上海 200235；2．上海工程技术大学城市轨道交通学院，上海 201620）

研究一类典型的相对转动系统的系统参数引起的复杂运动（如混沌运动和安全域侵蚀），并对系统施加时滞速度反馈来控制系统的这些复杂动力学行为，从而保障系统的振动可靠性。利用Melnikov函数法获得时滞速度反馈控制相对转动系统产生混沌和安全域分岔的临界激励；并数值模拟了系统在不同控制参数条件下的动力学行为，从而验证了理论分析的正确性。研究结果表明，在正的反馈增益系数下，时滞速度反馈能够有效地用于控制相对转动系统的混沌运动和安全域侵蚀。

相对转动系统；Melnikov函数；时滞速度反馈；混沌；安全域

转动是最常见的能量传输方式之一，转动机械广泛应用于机械加工制造，动力传递等领域。相对转动是转动机械系统中普遍存在的动力学现象，相对转动系统的复杂振动会影响设备的平稳运行，甚至导致系统构件破坏的严重后果，因此，相对转动系统中的振动问题受到学术界的广泛关注。赵武等［1］研究了一类非线性相对转动周期系统的平衡稳定性问题，将非线性的相对转动系统扭振问题的运动稳定性分析转化为一类周期性变系数常微分方程解的稳定性。刘爽等［2］研究一类时滞非线性相对转动系统，发现时滞的改变能够引起系统的Hopf分岔，从而对系统动力学行为带来定性影响。刘浩然等［3］建立了具有时变刚度、非线性阻尼和谐波激励的类相对转动时滞非线性动力系统的动力学方程。张文明等［4］研究了一类非线性相对转动系统的混沌运动及多时滞反馈控制，发现通过减小或者增大多时滞反馈参数，能有效地将系统的混沌运动控制到单周期运动。乔杰敏等［5］建立了具有广义阻尼力和非线性恢复力的二端面相对转动系统的模型与一类两质量相对转动系统的统一的非线性动力学模型，给出系统发生混沌运动的必要条件，并利用数值仿真进一步研究了系统的混沌运动。目前相对转动系统的研究主要集中在关于模型、稳定性、周期解等系统特性的分析，而对于相对转动系统的全局分岔和混沌等方面的研究的相关报道相对较少［6］。因此研究相对转动系统中系统参数引起的混沌运动机制并提出控制方法成为本文的研究目的之一。

相对转动系统的混沌振动虽然会引起不规则的输出响应，并加剧了传动轴本身的疲劳失效，仍是系统结构的刚度范围内的动力学行为。然而系统的振动幅度过大却往往会直接引起系统结构的强度问题，如造成传动轴的破坏。研究相对转动系统的振动的有界性问题，特别是安全域侵蚀问题，具有非常重要的工程实际意义。安全域这个概念最早是在Thompson等［8］在研究船舶在波浪作用下的倾覆问题时提出的，它被定义为所有有界解吸引域的集合。安全域侵蚀就意味着安全域边界分形，常常用来解释工程结构的振动对初始条件的敏感性［9－10］。关于相对转动系统的振动有界性和安全域侵蚀问题的控制研究目前报道极少。因此本文的另一个研究目的就是揭示一类相对转动系统的安全域侵蚀机理并实施控制。为此，本文提出利用线性时滞速度反馈来控制相对转动系统的安全域侵蚀现象。因为时滞反馈不但是控制混沌的重要手段［11－12］，而且已有许多研究表明它是控制安全域侵蚀的良好策略。如Alsaleem等利用时滞位置反馈控制了静电驱动微加速度计振动系统的安全域侵蚀现象，从而有效地抑制了系统微结构的吸合不稳定。笔者通过对Duffing系统、Holmes-Duffing系统和一类单自由度参数激励系统［13－16］施加时滞反馈控制均发现，时滞反馈控制能够有效控制系统的安全域侵蚀。这些为利用时滞速度反馈控制相对转动系统的安全域侵蚀提供了可能性。

本文考虑一类典型的相对转动系统，研究系统的复杂运动如混沌运动和安全域侵蚀的机制，并利用时滞速度反馈对系统的复杂动力学行为实施控制。

1 模型及无扰动分析

本文以一类两质量相对转动系统为研究对象，对系统引入时滞相对速度反馈控制，其简化模型见图1，图1中θ1和θ2为集中质量的扭转角，J1和J2为相对转动系统集中质量的转动惯量，和为系统集中质量的角速度为时滞速度反馈控制项，式中t－τ时刻两质量传动系统的相对角速度，q为反馈增益系数，τ为时滞量。将时滞相对速度反馈控制项当成广义力，可对系统建立有耗散项的广义拉格朗日方程

式中：K1为线性刚度，K2为非线性刚度，c12为线性阻尼系数，T1和T2为外部施加扭矩，f12为非线性粘滑摩擦力

式中：c0，c1和c2分别为静摩擦常数，线性和三次非线性阻尼系数。由于工程中动力传动系统的扭矩通常是简谐激励，因此可设

令ψ1＝θ1－θ2，线性变换式（1）即可得到时滞速度反馈相对转动系统

当τ＝0时，时滞速度反馈项α（ψ·1τ－ψ·1）＝0，式（4）退化为无控制的相对转动系统

式中：a是Coulomb干摩擦力项的系数，满足a＞0；系数b与软弹簧非线性刚度K2成正比，有b＜0；线性刚度相关系数d＞0，且三次非线性阻尼相关系数g＞0［17］。式（4）相当于对相对转动式（6）施加了单通道的线性时滞速度反馈α（ψ·1τ－ψ·1）的控制系统，其中控制参数有两个，α为反馈增益系数，根据式（5），与施加在式（1）中的反馈增益系数成正比；τ为时滞量，与式（1）中时滞量一致。

为了考察式（3）的Hamilton系统及其同宿轨道，考虑式（3）的非保守项为弱扰动，将阻尼、外激励及反馈增益在小参数ε作用下重新标度。设

图1 一类时滞速度反馈控制相对转动系统的简化模型Fig．1 The simplified model of a relative rotation system with the delayed velocity feedback

式中：a～＝O（1），g～＝O（1），f～＝O（1），α～＝O（1）．则式（4）可表示为：

其Hamilton函数为：

显然，当ε＝0时，式（8）退化为无扰系统

2 全局分岔条件

首先将Melnikov函数法应用到无控制的相对转动式（6），从而得到系统发生全局分岔的必要条件。由式（8）和式（11），式（6）的Melnikov函数可表示为

则存在某t0使得M±（t0）＝0，且M±（t0）′≠0。由此可知式（12）存在简单零点。这就意味着稳定流形和不稳定流形在Poincaré截面上横截相交，同宿轨线破裂，从而导致Smale马蹄意义下的混沌运动和系统的安全域侵蚀。因此，当

会引起系统的混沌运动和安全域分形侵蚀，其中f0则为式（6）同宿分岔的激励振幅阈值。

则根据Melnikov定理，当P（τ）＜0时式（17）存在简单零点，式（4）会发生同宿分岔。相反地，当P（τ）＞0时，有

此时系统不发生同宿分岔，因此混沌运动和安全域侵蚀得以抑制。由此可以得到式（4）安全域侵蚀和混沌运动的激励振幅门槛值

当τ＞0时，有l4（τ）＞0，这说明增益系数大于零时，fτ＞f0，反馈控制下引起安全域侵蚀和混沌运动的激励振幅门槛值得以提高。

将式（4）的参数取值定为

图2 α＝0．1时不同激励振幅下P（τ）随时滞的变化Fig．2 Variation of P（τ）with time delay under different values of excitation amplitude whenα＝0．1

则不同激励下P（τ）随时滞的变化（见图2）。根据图2，f＝0．355时，在正的反馈增益下，无论有无时滞速度反馈控制，式（6）均不发生同宿分岔；而当f＝0．412，τ＝0时P（τ）＜0，说明式（6）发生同宿分岔；但P（τ）会随着时滞量的增大，特别是当τ≥1．88时，有P（τ）＞0，这说明式（4）的同宿分岔得到抑制。由此可见，在正的反馈增益下，时滞速度反馈可以抑制相对转动系统的混沌运动和安全域侵蚀。

3 数值仿真

3.1 混沌的产生及其控制

以2／ω频率截取Poincaré截面，获得相应参数下系统变化的数值仿真分岔图，从而研究系统动力学行为随参数的演变无控制情况下相对转动式（6）随外激励f的分岔情况见图3。由图3可知，随着外激励f的增大，式（6）的动力学行为从周期运动经倍周期分岔最终走向混沌运动，与上一节的理论预测相吻合；当外激励振幅f＝0．412时，式（6）会出现混沌运动，这一点由该参数条件下系统时间历程图和频谱图证实（见图4）。

图3 无控制系统（6）的激励振幅分岔图Fig．3 Bifurcation diagram of theexcitation of the uncontrolled system（6）

对于时滞速度反馈系统式（4），给定外激励f＝0．412并给定时滞量，系统动力学行为随增益系数的演变（见图5）。此时，由图4可知，当时滞量τ＝0时，式（4）会发生混沌运动。根据图5，随着反馈增益系数的增大，式（4）的混沌运动会经历倍周期分岔最后被控制成为简单的周期运动。类似地，并给定一个正的增益系数，系统动力学行为随时滞量的演变（见图6）。根据图6，式（4）的混沌运动会随时滞量的增加而最终演变为周期振动。这说明在正的反馈增益系数下，时滞速度反馈能有效地控制相对转动系统的混沌运动。由于相对转动角度ψ1＝θ1－θ2，根据式（5）中式（4）和式（1）的反馈增益系数的正比例关系可知，在正的反馈增益系数下，时滞速度反馈也能够在一定程度上控制两质量转动系统式（1）的复杂运动。

图4 f＝0．412时系统（6）Fig．4（a）Diagram of time-history and（b）frequency spectrum of system（6）when f＝0．412

图5 f＝0．412和τ＝0．2时受控系统（4）随增益α分岔图Fig．5 Bifurcation diagram of the gainαof the controlled system（4）when f＝0．412 andτ＝0．2

3.2 安全域侵蚀控制的数值仿真

图6 f＝0．412和α＝0．1时系统（4）随时滞τ分岔图Fig．6 Bifurcation diagram of the delayτof the controlled system（4）when f＝0．412 andα＝0．1

当外激励f＝0．355＜f0＝0．377 7时，根据上节的理论分析，在正得的反馈增益系数下，无论时滞量取何值，系统（4）均不发生同宿分岔，因此安全域边界不会分形，这一点由图7（a），7（b）和7（c）证实。不仅如此，如图7（a），7（b）和7（c）所示，随着时滞量的增加，系统的安全域面积有所增大。而当外激励 f＞f0＝0．377 7，根据理论预测，无时滞反馈控制的情况下，系统会发生同宿分岔从而引起安全域侵蚀，这与图7（d）中安全域的分形边界相吻合。随着时滞量的增大，系统的安全域边界分形程度明显减弱：如τ＝1时，尽管系统的安全域边界仍有分形，但安全域的面积有所增大（见图7（e））。数值仿真得到的f＝0．412时安全域侵蚀的时滞临界值与根据式（21）计算得到的的临界值基本吻合（见图2）。当时滞量τ增大到1．95时，系统的安全域边界变得光滑，安全域侵蚀现象被完全抑制，见图7（f）。综上所述，在正的反馈增益系数下，时滞速度反馈可以有效地抑制相对转动系统式（4）的安全域侵蚀现象，从而在一定程度上抑制两质量转动系统式（1）的过度振动，保证系统的振动安全性。

图7 当α＝0．1时不同激励振幅下受控系统（4）安全域随时滞量的演变Fig．7 Evolution of safe basin of the controlled system（4）with the delay under different values of the excitation amplitude whenα＝0．1

4 结 论

以一类相对转动系统为研究对象，对系统施加时滞速度反馈从而对系统的混沌运动和安全域侵蚀现象这两类与初值敏感性相关的复杂动力学行为实施控制，利用Melnikov函数法分析了时滞速度反馈控制同宿分岔的机理，并运用数值算例来验证理论分析的有效性。研究发现：在正的增益系数下，时滞速度反馈能够有效地抑制系统的混沌运动和安全域侵蚀。

对非线性系统安全域的控制，时滞位移反馈中的时滞量常常存在双向调节作用，即在较小的时滞量下，时滞位移反馈能够有效地抑制系统的安全域侵蚀现象；但当时滞量大到一定程度，时滞位移反馈反而会引起安全域侵蚀。而在本文所考虑的时滞速度反馈相对转动系统中，平衡点并不会随着时滞量的变化而稳定性切换，这说明在正反馈增益系数下，系统的复杂动力学行为会随着时滞量的增大变简单；与时滞位移反馈不同，时滞速度反馈对系统的混沌运动和安全域侵蚀能够起到单向的抑制作用。因此，时滞速度反馈用于抑制相对转动系统的复杂动力学行为是一种稳定的控制策略。

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Com p lex dynam ic behaviors of relative rotation system and its control by delayed velocity feedback

SHANGHui-lin1，LIWei-yang1，HAN Yuan-bo1，WEN Yong-pen2
（1．School of Mechanical Engineering，Shanghai Institute of Technology，Shanghai200235，China；2．College of Urban Railway Transportation，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai201620，China）

The complex dynamic behaviors a typical relative rotation system，such as chaos and erosion of safe basin，induced by the variation of system parameterswere investigated．In order to keep the reliability of the oscillation of the system，delayed velocity feedback was applied in the system to suppress these complex dynamic behaviors．The critical excitation for chaos and erosion of safe basin of the delayed velocity feedback controlled system was obtained by the Melnikov method．Then complex dynamic behaviors of the systems with different system parameters were stimulated numerically，which verifies the validity of the theoretical prediction．It is found that the delayed velocity feedback could be used as an effectivemethod on suppressing chaos and erosion of safe basin of relative rotation systems．

relative rotation system；Melnikovmethod；delayed velocity feedback；chaos；safe basin

TP242；O322

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．022

国家自然科学基金项目（11472176）；上海市自然科学基金项目（15ZR1419200）；上海市教委晨光计划项目（11CG61）

2014－01－02 修改稿收到日期：2014－04－24

尚慧琳 女，博士，副教授，1983年生