复合泊松需求分布下生产企业的生产

董作文+王建伟

摘 要：针对需求到达次数为复合泊松过程的生产企业的生产——库存系统模型，进一步研究缺货发生的概率，然后利用运筹学中的存储理论计算该模型下生产企业的库存与缺货等费用，希望在总费用最小的决策原则之下，求解该模型的各参数取值。

关键词：复合泊松过程；缺货概率；库存费

中图分类号：F224 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2015）12-0018-02

一、引言

风险理论是对风险进行定量分析和预测的一般理论，主要处理保险事务中的随机风险模型。研究这些风险模型的破产概率即为破产理论，它是保险精算数学的研究内容。它对保险公司的长期经营稳定性分析有重要意义，也是保险公司最为关心的一个热门课题。在[1]中，董作文与刘恒利用风险理论中的复合泊松过程构建了复合泊松需求分布下生产企业的生产——库存系统模型。

（一）模型的构造[1]

1.假设生产企业初始存货量为Q，单位时间的货物生产量为c。

2.假设生产企业面对的货物需求次数符合复合泊松过程，假设（0，t]内的需求到达次数为N（t），则N（t）符合泊松过程。

3.假设生产企业面对的每次货物需求量为Ri，i=1，2，…，Ri，i=1，2，…独立同分布，分布函数为F（x），假设E（Ri）=R，i=1，2，…。

在以上假设下，生产企业在t时刻的货物存储量U（t）=Q+ct-Ri。下面，我们就要讨论该模型的缺货发生的概率了。记缺货发生的时刻T=inf{t：U（t）<0}，则Ψ（Q）=P{T<∞}为在初始存货为Q的情况下，企业的最终缺货概率。

（二）缺货发生概率

定义1：我们称关于a的方程1+（1+θ）Ra=eaxdF（x）的正数解A1为Ri的次调节系数，其中θ=-1。

定义2：取A=max{r∶r=A1}，称A为R1的调节系数。

定理1：设企业初始存储量为Q，货物需求量Ri的分布函数为F（x），则：

Ψ（Q）≤e-AQ。

定理2：设企业初始存储量为Q，则缺货发生的概率满足：

Ψ（Q）=。

定理3：如果企业初始存储量等于0，那么对所有的y>0，我们有：

P[U（T）∈（-y-dy，-y），T<∞]=[1-P（y）]dy。

（三）缺货概率的进一步讨论

在破产理论中，我们定义最大累积货物需求量，即到时刻t 为止的货物需求总额和货物产量的差的最大值：

L=max{S（t）-ct，t≥0}

S（t）为到t时的货物需求总额，c为货物生产速度。因为S（0）=0，所以L≥0。

事件L>Q发生当且仅当存在一个有限时间t，使得U（t）<0；换一句话说，不等式L>Q和T<∞是等价的，从而：

Ψ（Q）=1-FL（Q）

接下来，我们考虑了货物存储创新下记录的时刻，下记录只能发生在提货时刻。我们用随机变量Lj，j=1，2，…来表示第j个下记录比第j-1个下记录小的额度。设M是新纪录的随机个数，我们有：

L=L1+L2+…+LM

由于泊松过程是无记忆的，所以每一个指定的下记录是最后一个下记录的概率是相同的，为1-Ψ（0），也就是说，随机变量M复合几何分布，参数为p=1-Ψ（0）。

定理4：Ψ（0）=[1-F（y）]dy =R=

定理5：假设在生产过程中至少存在一个下记录L1，那么L1的概率密度函数fL1（y）可以表示为：

fL1（y）=，y>0

二、复合泊松需求分布下生产企业的生产——库存系统模型的进一步研究

（一）关于缺货发生的概率[2]

在上一节第一部分中，我们得出了在初始存货为Q的条件下，最终缺货概率的上限以及一般表达式，没有给出一个明确的表达式，这是我们需要进一步解决的问题。第二部分中，也只是给出了初始存货为0的条件之下，最终缺货概率的明确的表达式，于解决问题只是有一定的指导意义而已。下面我们就要推导在需求量符合指数分布下，在初始存货为Q的条件下，最终缺货概率的明确的表达式。

三、总结

本文针对需求到达次数为复合泊松过程的生产企业的生产——库存系统模型，进一步研究缺货发生的概率，然后利用运筹学中的存储理论计算该模型下生产企业的库存与缺货等费用，希望在总费用最小的决策原则之下，求解该模型的各参数取值。

参考文献：

[1] 董作文，刘恒.复合泊松需求分布下生产企业的生产——库存系统模型[J].经济研究导刊，2015，（4）.

[2] [荷]R.卡尔斯，M.胡法兹，J.达呐，M.狄尼特.现代精算风险理论[M].唐启鹤，胡太忠，成世学，译.北京：科学出版社，2001：70-71.

[3] 方秋莲.几类需求带跳随机库存模型及其应用研究[D].长沙：中南大学，2010.

[责任编辑 刘娇娇]