车床主轴低频角摆动时的圆度误差分析

李亚博 逄 绛

(①江西理工大学机电工程学院，江西 赣州 341000;②纽约城市学院格鲁夫工程院，美国 纽约 10031)

在机械加工中，机床主轴的运动精度是影响被加工工件精度的一个重要的因素。机床主轴的运动误差包括径向跳动、轴向窜动和角度摆动。根据已有文献，分析角度摆动时的加工误差均是以主轴摆动频率和主轴旋转频率相等为前提计算得出的，而实际生产中主轴摆动频率往往与主轴旋转频率不一致。主轴摆动的频率较高时会涉及多种其他形位误差，摆动频率较低时只涉及圆度误差。故本文将着重讨论较低摆动频率下的加工误差的数学与几何问题，并计算和分析不同加工情况下被加工工件的圆度误差。

1 等频下的数学分析及几何仿真

1.1 主轴角摆动的数学表达式

建立绝对坐标系XYZO，其中OZ轴为主轴的理想轴心线。再建立主轴的动坐标系X'Y'Z'O，其中 OZ'轴为瞬时轴心线。如图1所示。

主轴以角速度ω自身旋转的同时，其轴心线在XOY平面内做等频率的角摆动，摆动的规律为

式中:θ0为角摆动时主轴轴线摆动幅值;α为主轴自身转角，α =ωt。

1.2 车削时工件横截面的参数方程

由于主轴自身旋转和平面内角摆动同时存在，故可依据矩阵变换求得动坐标系与绝对坐标系间的关系式。将主轴自身旋转视为坐标系绕OZ轴转动，将主轴轴线在XOY面内角摆动视为绕OZ轴转动。两次旋转后，可得:

由于车削时工件几何形状是由刀具在动坐标系中的相对轨迹决定的，故

车削加工时，刀具在绝对坐标系的坐标位置Z=L，X=R，Y=0，其中L为刀具在导轨方向上的位置，加工时随走刀而变化;R为工件的加工半径。

所以将刀具位置参数和式(1)代入式(2)中可得刀具在动坐标系中的轨迹参数方程为

由式(3)得工件横截面几何形状的瞬时曲率半径为

1.3 等频下的轨迹分析

由MATLAB在极坐标中绘制上述方程，假定R=1，L=1，θ0=0.1，主轴旋转一周时如图2所示。分析可得，当摆动频率等于转动频率时，工件旋转一周后截面轮廓近似为圆。

2 变频下的数学分析及几何图形

2.1 变频下的轨迹参数方程

由式(1)可知，当角摆动频率=主轴自身旋转频率时，r=R －Lθ0cosα;

经计算可知:

当摆频 =2转频时，r=R －Lθ0cos(2α);

当摆频 =3转频时，r=R －Lθ0cos(3α);

以此类推:

当摆频 =n转频时，r=R －Lθ0cos(nα)。

2.2 不同摆动频率下的轨迹及误差分析

由于本文分析主轴低频角摆动时的情况，故n取小于1的值。由MATLAB绘制上述方程，假定R=1，L=1，θ0=0.1，n=0.6，则主轴旋转一周后如图3所示。

由图3可知，当摆频f＜转频f0时工件旋转一周的轨迹为一条不封闭但曲率半径有规律变化的曲线。

若使工件旋转m周(m为整数)至其封闭，则其内包络线就是被加工工件的外轮廓，如图4所示。

提取出内包络线，即实际加工时工件的外轮廓，如图5所示。

3 圆度误差分析

根据中华人民共和国国家标准GB/T7235－2004《产品几何量技术规范(GPS)评定圆度误差的方法半径变化量测量》中规定圆度误差的评定方法有4种:最小区域法、最小二乘圆法、最小外接圆法和最大内接圆法。一般而言用最小区域法计算圆度误差是最小的，理论上是唯一的。故本文用最小区域法计算图2的圆度误差。

根据最小区域法的算法计算内包络线上的数据，得到圆度误差值。

3.1 不同频率下的圆度误差

令n在(0，1］之间取若干值，分析并计算其圆度误差，得出表1。

表1 不同倍频下的圆度误差汇总

其中，倍频n反映了摆动频率的大小。由表1知当摆动频率低时，可发现其圆度误差很小，可忽略不计。这时工件外轮廓等同于半径为(R－θ0)的圆。

3.2 最大圆度误差分析

由表1中也看出当n=0.5即摆动频率为转动频率的一半时，其圆度误差值最大。故实际生产中应尽量避免此种情况下的摆动频率。为了生产与研究需要，现分析此种摆动频率下圆度误差分别与加工半径、摆动幅值和轴向位移的关系。

3.2.1 圆度误差与半径的关系

如前述假定，摆动幅值θ0=0.1，倍频n=0.5时，不同的工件半径会造成不同的圆度误差，经计算后其变化规律如图6所示。

由图6分析可知，当摆动频率和摆动幅值不变时，工件某一截面上的圆度误差随加工半径的增大而增大。但当半径足够大时，圆度误差的变化率很小。

3.2.2 圆度误差与摆动幅值的关系

假定倍频n为0.5，以半径R=40mm为例，不同的摆动幅值θ0会造成不同的圆度误差。经计算其变化规律如图7所示。

由图7分析可知，当摆动频率和加工半径一定时，工件某一截面上的圆度误差随摆动幅值的增大而增大，且近似线性关系。

3.2.3 圆度误差与轴向位移的关系

假定倍频n为0.5，加工半径R=40mm，摆动幅值为0.05，则不同的轴向走刀位移L会造成不同的圆度误差。经计算其变化规律如图8所示。

由图8分析可知，当摆动频率、加工半径和摆动幅值均固定时，工件各个截面上的圆度误差随摆动走刀距离的增大而增大，且近似线性关系。

4 结语

分析机床主轴平面内角摆动引起的圆度误差对于精密机械的研究和制造具有重要的参考意义。通过对以上分析可知，机床主轴在纯角度摆动时的加工精度是与频率相关的。不同摆动频率下，工件加工出的横截面外形不同，其圆度误差也不同。

当主轴的摆动频率远小于转动频率时，即认为摆动频率较小时，其圆度误差很小，故可近似为圆，但此时工件有几何偏差。当摆频为转动频率的一半时，此时工件的圆度误差最大，且远大于其他频率下的圆度误差值，故实际生产加工过程中应尽量避免。在机床设计和车削工件时，应优先考虑此频率下主轴角摆动引起的误差。

圆度误差不仅与摆动频率有关，也与工件半径、摆动幅值、横向走刀位移有关。具体地，圆度误差值随加工半径或摆动幅值或轴向位移的增大而增大。故实际生产加工过程中应充分考虑上述因素，合理设计制造，以避免较大的加工误差。

［1］王先逵.机械制造工艺学［M］.北京:机械工业出版社，2013.

［2］张德丰 .MATLAB数字图像处理［M］.北京:机械工业出版社，2009.

［3］阎树田，陈惠贤.机械加工中主轴运动影响的数学分析［J］.机械设计与制造，1999(2):40－42.

［4］葛磊，邹鲲.基于MATLAB的圆度误差分析［J］.机床与液压，2011(22):99－101.