二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系

吕旭川

摘 要：二次函数是初等函数中的重要函数，历来是中考的重点知识，是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。

关键词：二次函数；二次不等式；一元二次方程；关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-117-01

二次函数是初等函数中的重要函数，历来是中考的重点知识，是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。下面，我们谈谈二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系。

一、二次函数与二次不等式有如下的关系：

①、使得二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围，即求 的解集；反之，求 的解集，即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。（此处常用图解法求一元二次不等式的解集）

②用图像法求一元二次不等式

的解集步骤：

、设：设 ，则求 ，即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。

、作：根据五点作图法，作出一次函数 的图像。

、解：根据直角坐标系特点， 轴上方， 恒成立；反之， 轴下方， 恒成立，故求 ，即看图像在 轴下方部分时， 的取值范围即可。

例1：已知y=x2-2x-3，当y<0时，自变量x的取值范围是______________.

分析：因为二次函数与x轴两个交点坐标分别是 ， ，有图像可知，当 时，自变量x的取值范围是

解：根据五点作图法，作出二次函数y=x2-2x-3的图像

根据直角坐标系特点， 轴下方， 恒成立，故求 ，即看图像在 轴下方部分时， 的取值范围即可。所以自变量x的取值范围是

二、二次函数与一元二次方程的关系

因为抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1， x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。所以

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

例2.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=

分析：本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。

解： 抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

当 时，y=0，且 ，即 ，

又 点A（m，n），B（m+6，n）， 点A、B关于直线 对称；

，

将A点坐标代入抛物线解析式，得：

综上：（1）一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识。（2）令二次函数y=ax?+bx+c的y=0，则原式变为一元二次方程ax?+bx+c=0，令一元二次不等式ax?+bx+c>0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax?+bx+c=0。（3）二次函数y=ax?+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x1、x2（x10 解集是：x