Engel定理的一个推广

陈秀梅(潍坊学院 数学与信息科学学院,山东 潍坊 261061)

Engel定理的一个推广

陈秀梅
(潍坊学院 数学与信息科学学院,山东 潍坊 261061)

摘 要：本文在更一般的条件下给出了判定李代数幂零的充分条件，从而推广了李代数中的Engel定理。

关键词：有限维李代数; 幂零; ad幂零

1 预备知识

Engel定理是李代数中一个重要的结论，本文对它进行了推广，需要用到下面的结论。

引理1[1]设L是一般线性李代数gl（V）的子代数，V是有限维的，若L由幂零自同态组成，且V≠0，则存在非零的v∈V，使L·v=0。

Engel定理[1]若有限维李代数L的所有元素都是ad幂零的，则L是幂零的。

2 正文

下面我们给出Engel定理的推广

定义1[1]设L是一个李代数，x∈L，K是L的理想，如果adx|K是K上的幂零自同态，则称x在理想K上ad幂零。

为了叙述的方便，我们给出几个符号: 若K是L的理想，令K0=K，K1=[K0,L]，Ki+1=[Ki,L]，i=1,2,…。

定理1设L是有限维李代数，dinL=n，K是L的理想，若Ki≠0(i=0,1…,n-1)，且L的所有元素都在K上ad幂零，则L也是幂零的。

证明: 对dinL=n进行归纳。

当n=1时，由于K≠0，从而L=K，因而由Engel定理知L是幂零的。

假设当dimL＜n时结论成立，则对dimL=n时，由条件，，且都为K上的幂零自同态，K≠0，故由引理知，存在非零的x∈K，使[L,x]=0，因而为L的中心)，且是L的理想。因此,且设

参考文献：

[1]J. E. 汉弗莱斯著，陈志杰译，曹锡华校.李代数及其表示理论导引 [M].上海 : 上海科学技术出版社，1981:15-17.

[2]孟道骥编著.复半单李代数引论[M].北京:北京大学出版社,1999:49-50.

[3]张润萱,张永正.低维李超代数的确定[J].东北师大学报(自然科学版) 2008(01):1-5.

[4]Wang Shuqin. Construction of the vertex operator algebra of associated to finite nondegernerate solvable Lie algebra. Acta Math Sin, 2005,48(05):867-878.

[5]Lepowsky J, Li Haisheng. Introduction to Vertex Operator Algebra and their Representation. Boston: Birkhauser, 2003。

[6]Wang Shuqin. A kind of nilpotent Lie algebra with nondegenerate invariant bilinear form. Acta Math Sin, 2000, 43(03):561-568.

作者简介：陈秀梅(1980-),女，山东诸城人，讲师，研究方向:代数半群，矩阵论。