铰接中心支撑钢框架阶形柱计算长度系数

于海丰，张文元

（1.河北科技大学建筑工程学院，河北石家庄050018；2.哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨150090）

铰接中心支撑钢框架阶形柱计算长度系数

于海丰1，张文元2

（1.河北科技大学建筑工程学院，河北石家庄050018；2.哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江哈尔滨150090）

以某火力发电厂主厂房铰接中心支撑钢框架体系为研究背景，对该体系中阶形柱计算长度系数进行了研究。基于小变形弹性稳定理论，推导了一端铰接、一端弹性支承的双阶柱计算长度系数，采用特征值屈曲分析对推导的计算长度系数μ0进行了验证，吻合程度较好。以厂房结构中横向3轴框架为例，采用特征值屈曲分析、弹塑性屈曲分析对推导的μ0及柱的稳定承载力进行了验证。结果表明，按数值计算得到的柱稳定承载力与理论计算值吻合程度较好。建议铰接中心支撑钢框架结构中柱的计算长度系数可按本文推导的公式计算。该方法的优点在于不必对结构的侧移类型进行判断，对于柱发生有侧移失稳的情况，还可考虑上下层柱对所研究楼层柱的约束作用。

中心支撑钢框架；阶形柱；弹性支承；计算长度系数；稳定承载力；侧移属性

某大型火力发电厂主厂房为梁柱铰接中心支撑钢框架结构，因工艺、设备布置等原因，各别层高较大，存在阶形柱。《钢规》［1］给出了等截面柱和单层工业厂房柱脚刚性连接时阶形柱的计算长度系数确定方法，王文明等［2⁃4］对单层门式刚架柱的计算长度系数进行了研究，吴怿哲［5］、童根树［6⁃7］等对

考虑层间相互作用的柱计算长度系数进行了分析，Raftoyiannis等［8］考虑了初始缺陷对阶形柱计算长度系数的影响。上述有关柱计算长度系数的研究，以梁柱刚接或半刚接为主，且或仅以单层门式刚架柱［2⁃4］、或无侧移柱［5］、或有侧移柱［6⁃7］为研究对象。对于梁柱铰接中心支撑框架结构中的阶形框架柱，不考虑上下层柱的影响时，可视为在柱顶受到其余柱、支撑的侧向支承作用，相当于柱顶侧向有一个刚度为KB的水平弹簧。若KB较大，其发生无侧移失稳，若KB较小，其发生有侧移失稳。但无论是有侧移失稳还是无侧移失稳，此多阶柱的计算长度系数均有待研究。鉴于此，本文基于小变形弹性稳定理论，推导了一端铰接、一端弹性支承双阶柱的计算长度系数μ0。采用特征值屈曲分析、弹塑性屈曲分析等数值方法对推导的计算长度系数μ0及稳定承载力进行了验证。最后给出了相关的设计建议，结果可供工程设计参考。

1 一端铰接、一端弹性支承双阶柱计算长度系数理论值

梁柱铰接中心支撑钢框架结构中典型阶形柱如图1所示。为推导该类柱的计算长度系数，特作如下假定：1）构件为理想压杆，压力沿构件的轴线作用，材料为弹性的；符合平截面假定；忽略剪切变形；2）梁柱铰接，忽略上下层柱的相互作用；3）轴心荷载作用在柱顶。计算简图如图2所示，图中双阶柱下、中、上段的几何长度分别为l1、l2、l3，惯性矩分别I1、I2、I3。

建立如图所示xoy坐标系，在0≤x≤l1、l1≤x≤l1+ l2、l1+l2≤x≤l1+l2+l3的范围内分别取隔离体，建立各自的平衡方程［9］，得到

式中：yi分别为下段（i＝1）、中段（i＝2）、上段（i＝3）柱任意截面处的挠度；＝P／EIi。

方程（1）的通解为

由边界条件和变形连续条件可知：

若使方程（2）～（9）构成的齐次线性方程组有非零解，即Ai、Bi（i＝1，2，3）、不全为零，则必满足：

解得：

式（11）称为屈曲条件，是关于轴向临界力P的超越方程，通过该式可以确定双阶柱的临界承载力Pcr。上述公式是基于双阶柱推导的，对单阶柱、等截面柱同样也适用。下面对式（11）进行讨论：

1）若KB较小，随着轴力P的增加，首先满足KB（l1+l2+l3）-P＝0，屈曲荷载为Pcr＝KB（l1+l2+ l3），此时构件如同弹性支承刚性杆一样发生侧移屈曲，变形曲线为其计算长度系数μ0（使用上柱的轴力和截面，采用整个柱高l1+l2+l3作为几何长度进行稳定承载力计算时用到的柱计算长度系数）可按下式计算：

2）若KB较大，随着轴力P的增加，首先满足

构件将发生面内无侧移的弯曲屈曲。令下、中、上3段的计算长度系数为μ1、μ2、μ3，则双阶柱失稳时（下、中、上柱同时失稳），有

图1 阶形柱Fig.1 Stepped columns

图2 一端铰接、一端弹性支承双阶柱Fig.2 Two⁃stepped column with one side pinned and another place elastic support

利用上式即可求得两端铰接双阶柱的计算长度系数μ0。式（15）为超越方程，需使用数值算法求解。因篇幅所限，本文不给相应表格。图3给出了μ0随K1、K2、α、β变化规律曲线，可见，μ0≤1.0，证实了以上柱为基准计算μ0时两段截面较大的下柱的有利影响。当K1、K2趋近于1.0时，即变截面杆件趋近于等截面时，无论α、β取值如何，μ0均趋近于1.0，相当于两端铰接的等截面直杆，表明上述公式及其结果与等截面杆件的结果是连续的，也验证了公式及结果的正确性。当β值较大、α较小时，μ0也基本接近于1.0，说明较短的中、下段柱刚度的增加对整个柱稳定影响不大。

图3 计算长度系数μ0Fig.3 Effective length factor μ0

2 一端铰接、一端弹性支承双阶柱计算长度系数数值验证

采用ABAQUS 6.10.1［10］的B32梁单元建立一端铰接、一端弹性支撑的工字形截面双阶柱数值模型，研究其绕强轴的轴压失稳问题，取KB＝1.0× 106N／m。通过特征值屈曲分析计算变截面柱的计算长度系数，具体步骤如下：在柱顶施加竖直向下单位力，通过特征值屈曲分析，提取该柱失稳时对应的一阶模态特征值，该值与单位力的乘积即为欧拉临界力Pcr，用式（13）或式（14）反算柱的计算长度系数。工字形截面双阶柱基本参数如下，下段截面为300 mm×200 mm×10 mm×10 mm，l1＝1 m，中段和上段截面分别为200 mm×200 mm× 10 mm×10 mm和150 mm×150 mm×10 mm×10 mm，长度随α和β的变化而变化。

表1给出了双阶柱计算长度系数理论值μ0与计算值的对比关系，总体上，理论值与计算值吻合较好。这既证实了理论推导的正确性，也证实了数值模拟分析的可行性、可信性，为后续采用数值分析的方法计算柱的计算长度系数提供了依据。

表1 计算长度系数计算值与理论值μ0对比Table1 Comparison of the calculated and theoretical effective length factor

α＝0.4α＝1.2α＝2α＝5α＝10 μ0μei0μ0μei0μ0μei0μ0μei0μ0μei0β＝0.4数值2.4252.4251.3971.3970.9340.9340.6350.6340.6360.638侧移有有有无无β＝1.2数值1.3971.3970.9340.9340.7040.6990.6500.6510.6390.641侧移有有无无无β＝2数值0.9340.9340.8390.8340.7860.7830.6850.6860.6480.649侧移无无无无无β＝10数值0.9980.9960.9910.9890.9810.9800.9290.9280.8410.841侧移有无无无无β＝5数值0.9840.9800.9580.9560.9290.9270.8260.8260.7240.726侧移无无无无无

3 工程实例检验

上述计算长度系数推导及数值验证过程中，没有考虑梁柱铰接的框架支撑结构中竖向连续的上下层柱对所研究楼层柱变形约束的有利作用。对于多层梁柱铰接支撑框架结构来说，该约束作用对计算长度系数有多大的影响尚需确定。本节以某电厂厂房横向3轴框架为例（图4），通过特征值屈曲分析、弹塑性分析对等截面柱、变截面柱的计算长度系数进行了验证。

图4 横向3轴框架立面图Fig.4 Elevation view of 3⁃axis transverse frame

按式（11）计算柱的计算长度系数时，需首先计算KB。侧移刚度KB计算方法如下，通过Etabs9.7.4建立有限元模型，在模型的顶层施加单位力1，提取第i层层间侧移Δi，则该层任意柱侧移刚度KB为

对于有侧移失稳，此式可近似考虑上下层柱对所研究楼层柱失稳的有利约束作用。原因如图5所示，上下层柱对所研究楼层柱的约束作用可用2个弹簧铰代替，转动刚度分别为rA、rB，侧向刚度为KBi。假设柱发生有侧移失稳时，其变形曲线与单位侧向力作用下的变形曲线形状基本一致。单位力作用下，由平衡关系可知：

失稳时：

图5 带弹簧铰柱Fig.5 Column with spring hinges

按本文第1部分理论推导公式计算后知，横向3轴框架22根柱（柱序号见图4）中，仅柱1、柱2发生有侧移屈曲，其余柱发生无侧移屈曲。

借助ABAQUS 6.10.1［10］软件建立数值分析模型。模型中梁、柱、支撑等构件采用B32梁单元建立，梁-柱、柱-支撑的铰接点通过Hinge接头单元模拟，经网格优化分析后，网格尺寸取为0.5 m。约束梁柱构件的出平面位移。材料属性定义时，钢材的弹性模量E按2.06×1011N／m2取值，泊松比μ按0.3计算。弹塑性屈曲分析时，采用双线性随动强化准则考虑梁、柱、支撑钢材材料非线性，屈服后的切线模量E2＝0.01E。

图6 横向3轴框架柱1、柱9失稳模态示意图Fig.6 Schematic diagram of columns 1 and 9 for 3⁃ax⁃is transverse frame

弹塑性屈曲分析通过Riks方法实现。通过特征值屈曲分析取柱失稳时对应的第一阶模态引入初始几何缺陷，我国现行《钢结构设计规范》中初始几何缺陷最大值按1／1 000杆长考虑，因本文分析时未考虑残余应力，略微提高了初弯曲，偏安全取1／750杆长［11］。分析时，仅在所研究柱的柱顶施加竖向位移荷载，提取该柱的轴向力以及变形，柱失稳时的最大荷载即为弹塑性稳定承载力。将该弹塑性稳定承载力除以屈服承载力，即得稳定系数，进而反推出长细比和计算长度，将计算长度除以杆件几何长度，即得计算长度系数μpl0。

图7 基于μ0的归一化的计算长度系数Fig.7 Normalized effective length factors based on μ0

图8 基于P的归一化的稳定承载力Fig.8 Normalized stability bearing capacity based on P

4 结论

1）以某大型火力发电厂主厂房梁柱铰接中心支撑钢框架体系为研究背景，推导了一端铰接、一端弹性支承的双阶柱计算长度系数。基于特征值屈曲分析对推导的计算长度系数μ0进行了验证，吻合程度较好。

2）以该电厂横向3轴框架为例，采用特征值屈曲分析、弹塑性屈曲分析对推导的μ0及柱的稳定承载力进行了验证。结果表明，按数值计算得到的柱稳定承载力与理论计算值吻合较好。建议铰接中心支撑钢框架结构中柱的计算长度系数可按本文推导的公式计算。

3）此种方法的优点在于不必事先判断结构的侧移属性，柱的计算长度系数取式（13）、（15）的较大值即可。对于柱发生有侧移失稳的情况，还可考虑上下层柱对所研究楼层柱的约束作用。

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Effective length factors of stepped columns in the concentrically braced steel frame with pinned connections

YU Haifeng1，ZHANG Wenyuan2
（1.School of Civil Engineering，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang 050018，China；2.School of Civil Engi⁃neering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China）

With the research background of the concentrically braced steel frame with pinned connections for a typical main factory building of a large thermal power plant，the effective length factors for stepped columns were studied.Based on the small⁃deformation elastic stability theory，the effective length factor for the two⁃stepped column with one side pinned and another placed elastic support was derived and verified in comparison with the value calculated by the eigenvalue buckling analysis.The derived and calculated results are in good a⁃greement.Taking the 3⁃axis transverse frame selected from the large thermal power plant as an example，the effective length factor and stability bearing capacity for columns were verified by the eigenvalue buckling analy⁃sis and elasto⁃plastic buckling analysis.The results showed that the stability bearing capacity calculated by the numerical analysis is in good agreement with the theoretical value.For the columns in the concentrically braced steel frame with pinned connections，it is suggested that the effective length factor should be calculated by the derived formulas in this paper.The advantages are that the lateral displacement type of frame does not need to be judged firstly，and that the restriction effect of the upper and lower columns on the research column can be considered for the sideway columns.

concentrically braced steel frame；stepped column；elastic support；effective length factor；stability bearing capacity；lateral displacement type

10.3969／j.issn.1006⁃7043.201310070

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20150109.1715.025.html

TU313；TU391

A

1006⁃7043（2015）03⁃0327⁃06

2013⁃10⁃24网络出版时间：2015⁃01⁃09.

国家自然科学基金资助项目（51208169，51178145）；河北省自然科学基金资助项目（E2014208115）；河北科技大学五大平台开放基金资助项目（2014PT36）.

于海丰（1980⁃），男，副教授，博士，硕士生导师；

张文元（1972⁃），男，教授，博士，博士生导师.

于海丰，E⁃mail：skipperyhf＠163.com.