用“A”字形的性质求角

周金平 周国强

如图1，E、F分别是∠AOB两边上的点，连接EF，我们不妨把这样的图形称为“A”字形。“A”字形有一条重要性质：∠AEF+∠BFE=180°+∠O（读者可自己证明）。某些求角问题，运用这条性质来解，方便简捷，现举例说明。

图1

例1 如图2，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ）

A.150° B.210° C.105° D.75°

图2

解析 显见AB、AC、DE构成了A字形，由A字形的性质，知∠CED+∠BDE=180°+75°=255°，因为∠1+∠2=255°-∠A′ED-∠A′DE=255°-（180°-∠A′），由折叠，知∠A=∠A′=75°，所以∠1+∠2=150°。故选A。

例2 如图3，△ABC中，∠A=100°，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M= 。

图3

解析 因为图中AD、AE、BC构成了A字形，由A字形的性质，知∠DBC+∠BCE=180°+∠A=280°。

又因为BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，所以∠1+∠2=140°。因为∠1+∠2+∠M=180°，所以∠M=40°。

例3 如图4，AB∥CD，∠1=110°，∠E=40°，∠EAB的大小是（ ）

A.60° B.70° C.80° D.90°

图4

解析 因为∠E =40°，图中AE、BE、CD构成了A字形，由A字形的性质，知∠ACD+∠CDB=180°+∠E=220°。又AB∥CD，∠1=110°。所以∠CDB=110°，从而∠ACD=220°-110°=110°，所以∠EAB=180°-110°=70°。故选B。

例4 如图5，AB∥CD，直线a分别交AB、CD于点E、F，点M在EF上，P是直线CD上的一个动点，（点P不与点F重合）。当点P在射线FD上移动时，∠2+∠3与∠1有什么关系？说明理由

图5

解析 ∠2+∠3=180°+∠1。理由如下：

因为图中FE、FD、MP构成了A字形，由A字形的性质，知∠2+∠3=180°+∠EFP。又AB∥CD，所以∠1=∠EFP。故∠2+∠3=180°+∠1。