曲面上测地线和短程线的性质

邢家省，高建全，罗秀华

（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191；3.平顶山教育学院，河南平顶山467000）

曲面上测地线和短程线的性质

邢家省1，2，高建全3，罗秀华3

（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191；3.平顶山教育学院，河南平顶山467000）

从曲面上曲线的测地曲率向量和测地曲率的定义出发，在测地线定义的基础上，给出测地线的三种充分必要条件，并给出应用中新的处理方法；发现了曲面上短程线的必要条件的三个结论正好对应于测地线的三个等价条件。

测地曲率向量；测地曲率；测地线；短程线

引言

关于曲面上的测地线，文献［1－5］中给出了一种定义，没有给出测地线的等价性质，这在使用中非常不方便。关于测地线有三种充分必要条件，利用测地线的等价性质，可以简化一些结论的证明。关于曲面上短程线的必要条件，现有文献［1－4］给出了两种证明过程，本文给出了一种新的证明过程，这三种证明过程的结果正好对应于测地线的三种条件。给出了球面上的测地线必在球面大圆上的证明。

1 测地曲率向量和测地曲率的定义

设C2类正则曲面：

记→ri＝→rui；gij＝→ri·→rj，i，j＝1，2，gij＝gji；g11g22－g12g21＝g；→rij＝→ruiuj。设Γ是曲面Σ上的一条曲线，其参数方程为：

或

这里s是该曲线的自然参数。

在任固定曲面Σ上一点P（u1，u2），并设TP为曲面Σ在P点的切平面。设→n为曲面Σ在P点的单位法向量，以→α表示曲线Γ上P点处的单位切向量；以→β表示曲线Γ上P点处的主法向量，→γ是副法向量。

定义1［1-6］曲面Σ上曲线Γ在P点的单位切向量的导向量→α′（s）在切平面TP上的投影向量→τP＝→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n，称为曲线Γ在P点的测地曲率向量。

关于测地曲率向量的几何意义，可见文献［2，5-6］。

称D→α＝d→α－（d→α·→n）→n为→α（s）沿曲线Γ的绝对微分［1-6］。显然→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n与→n，→α都垂直。命→ε＝→n×→α，则→α，→ε，→n是彼此正交的单位向量，并且构成一右手系。显然→α′（s）－（→α′（s）·→n）→n平行于→ε。

定义2［1-4］曲面Σ上曲线Γ的切向量的导向量→α′（s）在→ε上的投影向量→τP＝（→α′（s）·→ε）→ε，称为曲线Γ在P点的测地曲率向量。→τP＝（→r″（s）·→ε）→ε。

定义3［1-4］将→r″（s）·→ε称为曲线Γ在P点的测地曲率，记作kg，kg＝→r″（s）·→ε＝→τP·→ε。

显然有

2 曲面上曲线的测地曲率的一般计算公式

注意到kg＝（→r′，→r″，→n），将

代入测地曲率的计算公式，经过计算［6］，得

式（1）是测地曲率的一般计算公式，方便于直接使用。

利用曲面论的基本方程式中的记号［1-8］，可将（1）式化为：

故

利用kg→ε＝→r″（s）－kn→n，而

再由曲面的基本方程

到得

于是

将（3）式两边与→ε作内积，亦可得出（2）式。

3 曲面上测地线的定义及测地线的充分必要条件

定义4［1-5］曲面上的一条曲线，如果它在每一点处的测地曲率恒等于零，即kg＝0，则称它为曲面上的测地线。

例1球面上的大圆是测地线。

设球的半径为R，球心在坐标原点，设→r＝→r（s）是球面Σ上的大圆，由于，得kg＝0。

或者，由于球面上的大圆是平面曲线，显然→r′（s）⊥→r（s），→r′（s）⊥→r″（s），所以→r″（s）／／→r（s），又，从而→r″（s）／／→n，故有kg＝（→r′，→r″，→n）＝0。

定理1球面上的测地线必在球面的大圆上。

设球心在坐标原点，设→r＝→r（s）是球面Σ上的测地线，在球面上，有→n／／→r（s），因为→r＝→r（s）是测地线，所以→r″（s）／／→n，于是→r″（s）／／→r（s）；由于

［→r（s）×→r′（s）］′＝

→r′（s）×→r′（s）＋→r（s）×→r″（s）＝→o

从而→r（s）×→r′（s）＝→C（常向量），显然→r（s）⊥→C，由此得到→r（s）在过球心的平面上，故→r（s）在过球面的一个大圆上。

定理2设Γ：→r＝→r（s）是曲面Σ上的曲线，s是曲线的自然参数；它是测地线的充分必要条件→r″（s）／／→n。

证明证法1：充分性：设→r″（s）／／→n，则有kg＝（→r′（s），→r″（s），→n）＝0，所以Γ是曲面上的测地线。

必要性：设Γ是曲面上的测地线，kg＝0，则有（→r′（s），→r″（s），→n）＝kg＝0，所以→r′（s），→r″（s），→n共面，存在不全为零的实数a，b，c，使得a→r′（s）＋b→r″（s）＋c→n＝0，将此式与→r′（s）作内积，得到a＝0，显然b≠0（假如b＝0，则有c＝0，从→r′（s），→r″（s），→n线性无关，矛盾），于是，即得→r″（s）／／→n。

证法2：利用

若→r″（s）／／→n，显然有→r″（s）＝（→r″（s）·→n）→n，从而kg→ε＝→r″（s）－（→r″（s）·→n）→n＝→o，故有kg＝0；反之，若kg＝0，则有

于是→r″（s）＝（→r″（s）·→n）→n，即有→r″（s）／／→n。由于→n·→ri＝0，i＝1，2，于是可得如下结论。

定理3设Γ：→r＝→r（s）是曲面Σ上的曲线，s是曲线的自然参数；它是测地线的充分必要条件是→r″（s）·→ri＝0，i＝1，2。

利用（3）式，即可得到：

定理4［1-5］设→r＝→r（u1（s），u2（s））＝→r（s）是曲面Σ上的曲线，s是曲线的自然参数，它是测地线的充分必要条件是。

定理5［1-5］假定曲面S1和S2沿曲线C相切，若C是S1上的测地线，则C也必定是S2上的测地线。

证明证法1：因曲面S1和S2沿曲线C相切，故曲面S1和S2沿曲线C的单位法向量→n1，→n2平行，即→n1＝±→n2，因为C是S1上的测地线，所以→r″（s）／／→n1，于是→r″（s）／／→n2，故C也是S2上的测地线。

证法2：因曲面S1和S2沿曲线C相切，故曲面S1和S2沿曲线C的单位法向量→n1，→n2平行，即→n1＝±→n2，因C是S1上的测地线，则d→α－（d→α·→n1）→n1＝0，即得d→α－（d→α·→n2）→n2＝0，所以C也是S2上的测地线。

4 曲面上短程线必是测地线的证明方法

给定曲面Σ，设P，Q是曲面Σ上的两点，在曲面Σ上连接P，Q两点的曲线中，弧长最小的曲线称为曲面Σ上连结P，Q的短程线［1-5］。因此需要寻找曲面上的曲线是短程线的必要条件。

变分引理：设f（x）∈C（a，b），若对任意φ（x）∈C20（a，b），都有∫baf（x）φ（x）d x＝0，则有f（x）＝0，x∈（a，b）。

设Γ曲面Σ上连结P，Q的曲线弧段，其参数方程为u1＝u1（s），u2＝u2（s），s1≤s≤s2，其中ui（s）∈C2［s1，s2］，ui（s1），ui（s2）为定值，s是该曲线的弧长参数。

曲线Γ的向量表示为：

→r＝→r（s）＝→r（u1（s），u2（s）），s1≤s≤s2

定理6若曲线Γ是曲面Σ上的短程线，则有在曲面Σ上沿曲线Γ成立→r″（s）·→ru1＝0，→r″（s）·→ru2

＝0。

证明记W0＝｛w（s）：w（s）∈C20（s1，s2）｝，设Γε曲面上连结P，Q的曲线弧段，其方程为：

其中，wi（s）∈W0，i＝1，2。曲线Γε弧长为：

假若Γ是短程线，则L（→u＋ε→w）在ε＝0处达到极小值，于是，直接求导，得

由于

所以

从而

利用分部积分，得

于是

由此得到任意wi（s）∈W0，i＝1，2，故得在曲面上沿曲线Γ成立→r″（s）·→ru1

＝0，→r″（s）·→ru2＝0。由此得出→r″（s）∥→n，所以短程曲线Γ的测地曲率［1-8］：

kg＝（→r′（s），→r″（s），→n）＝0

短程曲线Γ应满足的方程：利用→r″（s）·→ri＝0，i＝1，2。由于

从而得到

即得短程曲线Γ满足的方程为：由于Γikj＝→ri·→rkj［2-5］，即得表示为向量形式：

由曲面的基本方程中系数的关系［1-7］，得到

即

故得

这正是曲面上的测地线的参数方程［1-5］。

关于曲面上短程线的必要条件的另外两种证明方法，可见文献［1－4］。

曲面上二次光滑的短程线必是测地线，反之曲面上的测地线未必是短程线。曲面上非二次光滑的短程线未必是测地线。

［1］梅向明，黄敬之.微分几何［M］.4版.北京：高等教育出版社出版，2008.

［2］陈维桓.微分几何［M］.北京：北京大学出版社，2006.

［3］彭家贵，陈卿.微分几何［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］马力.简明微分几何［M］.北京：清华大学出版社，2004.

［5］陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编［M］.北京：高等教育出版社出版，2010.

［6］邢家省，张光照.曲面上曲线的测地曲率向量的注记［J］.吉首大学学报：自然科学版，2013，34（4）：7-10.

［7］邢家省，高建全，罗秀华.曲面论基本方程的矩阵推导方法［J］.吉首大学学报：自然科学版，2014，35（3）：4-10.

［8］邢家省，高建全，罗秀华.高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法［J］.四川理工学院学报：自然科学版，2014，27（4）：82-89.

Properties of the Geodesic and the Shortest Line on the Curved Surface

XING Jiasheng1，2，GAO Jianquan3，LUO Xiuhua3
（1.School of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China；2.LMIB of the Ministry of Education，Beijing 100191，China；3.Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，China）

In From the geodesic curvature vector and geodesic curvature of curve on the surface，three necessary and sufficient conditions are given based on the definition of geodesic，and new treatment methods for some applications are given；then it is turned out that the three conclusions of necessary conditions of the shortest line on the curved surface exactly correspond to the three equivalent conditions of geodesic.

geodesic curvature vector；geodesic curvature；geodesics；the shortest line

O186.11

A

1673-1549（2015）01-0063-05

10．11863／j．suse．2015．01．15

收稿日期：2014-09-08

国家自然科学基金资助项目（11201020）；北京航空航天大学校级重大教改项目（201401）

邢家省（1964-），男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何方面的研究，（E-mail）xjsh＠buaa.edu.cn