集合约束下的向量拟均衡问题

代乾文

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009）

石鹏飞，何兆容，张焰杰

（成都理工大学管理科学学院，成都610059）

集合约束下的向量拟均衡问题

代乾文

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009）

运用像空间分析研究更为一般的约束条件下的向量拟均衡问题（记为VQEP）的解，并且通过拟相对内部的概念定义拟相对弱向量拟均衡问题（记为qrw－VQEP），然后利用像的一种合理形式的拟内部和广义拉格朗日函数的鞍点定理表示VQEP和qrw－VQEP的线性分离，最后得出VQEP和qrw－VQEP的拉格朗日型最优性条件。

向量拟均衡问题；线性分离；像空间分析；最优性条件；拟相对内部

引言

设W，Y，Z是Hausdorff局部凸向量空间，X⊆W且X是非空凸集。f：X×X→2Y，并且f（x，x）＝0对∀x∈X都成立，G：X×X→2Z，C：X→2Y，｛C（x）：x∈X｝是Y中一族闭凸点锥，并且对于∀x∈X都有qriC（x）≠Ø，并且D：X→2Z，｛D（x）：x∈X｝是Z中一族闭凸锥。

对于∀x∈X，定义C0（x）＝C（x）＼｛0｝或qriC（x），并且定义K：X→2X为K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠Ø｝。

本文主要考虑的是更为一般的集合约束条件下的VQEP（qrw－VQEP）。

（i）VQEP：找到x∈K（x），使得

（ii）qrw－VQEP：找到x∈K（x），使得

如果G：X×X→Y，那么（1）式与（2）式将退化到参考文献［1］的相应问题，即：K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝，有：

（~i）VQEP：找到x∈K（x），使得

（~ii）qr w－VQEP：找到x∈K（x），使得

像空间分析在研究向量变分不等式和向量优化问题中是一种很有效的工具。它最先运用于极值约束问题［2-3］。利用像空间的向量分离定理，Mastroeni［4］得到了一些相关的广义性的结论，并且呈现了VQEP的解的向量鞍点优化条件。近来，越来越多的数学工作者在向量优化问题的研究中运用像空间分析，然而，当前像空间分析还较少用于向量拟均衡问题尤其是具有无穷维的像情况。Li和Guu将像空间分析运用到VQEP（qrw－VQEP）［1］，并且研究了它的线性分离、鞍点定理以及解集的误差界。本文将探索像空间分析用于更为一般的集合为约束条件下的VQEP（qrw－VQEP）的线性分离、鞍点定理及最优性条件。

1 预备知识

设Rl表示l维Euclidean空间，其中l是正整数。设W是Hausdorff局部凸拓扑向量空间，定义W*是W的对偶拓扑，对于非空子集P⊆W，若tP⊆P对于∀t≥0均成立，称P为锥。当P∩（－P）＝｛0｝，称P为点锥。定义P的正极锥：

P*：＝｛x*∈W*：［x*，x］≥0，∀x∈P｝，对于任意子集P⊆W且P＼｛0｝≠Ø，那么显然可见P*＝（P＼｛0｝）*。

设M⊆W，则M的凸包、闭包、内部和相对内部分别定义为：conv M、cl M、int M和ri M。

设x∈M，则M在x处的正规锥定义为：

NM（x）：＝｛x*∈W*：［x*，y－x］≤0，∀y∈M｝

定义在M上的支撑函数：

定义1［5］设M⊆W，W是Hausdorff局部凸向量拓扑空间。

（1）如果clcone（M－x）＝W或者NM（x）＝｛0｝，则称x∈M是M的拟内部点，记为x∈qi M。

（2）如果clcone（M－x）是W的子空间，或者NM（x）是W*的子空间，则称x∈M是M的拟相对内部，记为qri M。

对于任何凸集M，有qi M⊆qri M，若int M≠Ø，则有int M＝qri M［5］和int M＝qi M［6］，此外，qri｛x｝＝｛x｝，∀x∈W，若qi M≠Ø，则qi M＝qri M［7-8］。若W是有限维空间，则qi M＝int M［8］，qri M＝ri M［5］。

引理1设M⊆W，W是Hausdorff局部凸向量拓扑空间，qri M≠Ø，则有：

■qri（tM）＝t qri M，∀t∈R。

■t qri M＋（1－t）M⊆qri M，∀t∈（0，1］，则qri M是凸集。

■clqri M＝cl M。

■如果M是凸锥，则qri M＋M＝qri M。

证明结论■，■，■，■参见文献［1，5，7－9］。

引理2［5］设W是Hausdorff局部凸向量拓扑空间，M⊆W，M是闭凸锥，且cl（M－M）＝W，则x∈qri M⇔x∈qi M⇔［λ*，x］＞0，∀λ*∈M*＼｛0｝。

引理3［1］设W是Hausdorff局部凸向量拓扑空间，设M是W的非空子集，且x0∈M，则有NM（x0）＝NconvM（x0）。

像空间分析在VQEP（qrw－VQEP）的一些性质：

当C0（x）＝C（x）＼｛0｝时，观察x∈K（x）是（1）式的解时，当且仅当下式不成立：

C0（x）＝qri C（x）时，观察x∈K（x）是（2）式的解时，当且仅当下式不成立：

定义映射：Ax：X→2Y×Z，

（1）当C0（x）＝C（x）＼｛0｝时，定义集合：

（2）当C0（x）＝qri C（x）时，定义集合：

集Kx称为VQEP（或qrw－VQEP）的像，空间Y× Z称为VQEP（或qrw－VQEP）的像空间，显而易见它是无穷维。

性质1若（5）式不成立，那么当且仅当

若（6）式不成立，那么当且仅当

那么x∈K（x）是（1）式的解当且仅当（8）式成立。x∈K（x）是（2）式的解当且仅当（9）式成立。

性质2当C0（x）分别定义为C（x）＼｛0｝与qri C（x）时，有cl HC（x）＼｛0｝＝cl HqriC（x）。

证明因为C（x）是闭凸点锥，根据引理1的（Ⅲ），有clqri C（x）＝C（x），根据HC0（x）的定义有：

证毕。

由于一般情况下Kx非凸，通过cl HC0（x）介绍像Kx的一种合理形式εx：

性质3（1）若（5）式不成立或者（1）式成立时，当且仅当有如下关系成立：

（2）若（6）式不成立或者（2）式成立时，当且仅当有如下关系成立：

证明（1）因为C（x）是闭凸点锥，有cl（C（x）＼｛0｝）＝C（x），C（x）＼｛0｝＋C（x）＝C（x）＼｛0｝，所以有

根据

所以，如果（0，0）∉Kx－HC（x）＼｛0｝⇔（0，0）∉εx－HC（x）＼｛0｝，即有HC（x）＼｛0｝∩Kx＝Ø⇔HC（x）＼｛0｝∩εx＝Ø。

（2）因为C（x）是闭凸点锥，根据引理1的（Ⅲ），有clqri C（x）＝C（x），又根据引理1的（Ⅳ），有qri C（x）＋C（x）＝qri C（x），所以有

根据

所以，如果（0，0）∉Kx－HqriC（x）⇔（0，0）∉εx－HqriC（x），即有HqriC（x）∩Kx＝Ø⇔HqriC（x）∩εx＝Ø。

证毕。

为了表示εx的凸性，需要如下定义：

定义2设P⊆Y是一个闭凸锥，映射F：X→，如果映射h满足关系式：

则称映射F在凸集X上是P－凸的，称映射F在凸集X上是P－似凸当且仅当F（X）＋P是凸集。

显然，如果映射F在凸集X上是P－凸的，那么它在凸集X上是P－似凸的。

性质4设x∈X，那么集εx是凸集当且仅当在（7）式中映射－Ax在凸集X上是C（x）×D（x）似凸的。

证明参考文献［1］可证。

2 线性分离和鞍点定理

定义3设x∈X，

（Ⅰ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且（α*，β*）≠（0，0），有

或者那么称集HC0（x）和集Kx线性分离。

（Ⅱ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且α*≠0，有（13）式成立，称集HC0（x）和集Kx正则线性分离。

（Ⅲ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且α*∈qri（C（x））*，有（13）式成立，称集HC0（x）和集Kx强正则线性分离。

下面的分析将基于qri（C（x））*非空的情况下进行。

性质5设x∈X，则集合HC0（x）和集合Kx（正则，强正则）线性分离当且仅当集合HC0（x）和集合εx（正则，强正则）线性分离，即：如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）（α*≠0，α*∈qri（C（x））*），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，∀（u，v）∈εx。

证明因为Kx：＝Ax（X）⊆εx：＝Ax（X）－（C（x））*×（D（x））*，设集合HC0（x）和集合Kx（正则，强正则）线性分离，即存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）（α*≠0，α*∈qri（C（x））*），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，∀（u，v）∈Kx，那么

显然等价于，

［α*，u］＋［β*，v］≤0，∀（u，v）∈εx

定理1设x∈X，则集合HC0（x）和集合Kx线性分离当且仅当（0，0）∉qiconvεx。

证明因为x∈K（x）和f（x，x）＝0，显然（0，0）∈εx，那么（0，0）∈convεx。

必要性：假设集合HC0（x）和集合Kx线性分离，即存（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*（α*，β*）≠（0，0），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，∀（u，v）∈Kx，那么，则根据正规锥的定义有：（α*，β*）∈Nεx（0，0）。那么根据引理3，得到（α*，β*）∈Nconvεx（0，0），所以，（0，0）∉qiconvεx。

充分性：假设（0，0）∉qiconvεx，根据引理3得到（0，0）∉qiεx，则有（α*，β*）∈Nεx（0，0）且（α*，β*）≠（0，0），那么，

在（14）式中令（c，d）：＝（0，0），将得到（13）式。

证明（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*。因为x∈K（x），有G（x，x）∩D（x）≠Ø。假设α*∉（C（x））*，那么存在c0∈C（x）使得［α*，c0］＜0。又因为f（x，x）＝0，设~g∈G（x，x），那么在（15）式中令（y，c，d）：＝（x，c0，~g），将得到：

（16）式与假设矛盾，所以α*∈（C（x））*。又由于D（x）是闭凸锥，取任意~d∈D（x），在（15）式中令（y，c，d）：＝（x，0，~g＋~d），得到：

根据（17）式得到：β*∈（D（x））*。综上所述：集合H0（x）和集合Kx线性分离。

证毕。

设x∈K（x），根据式（13）式考虑广义拉格朗日函数：

定义4如果如下不等式成立：

则称点

（x，α*，β*）∈X×（C（x））*×（D（x））*为L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*处的鞍点。

定理2设W＝Rn，Y＝Rm，Z＝Rs，X⊆W＝Rn。假设对∀x∈X，y｜→G（x，y）在X上的－D（x）－凸的并且G（x，y）对于∀x，y∈X是紧集，集合HC0（x）和集合Kx线性分离当且仅当存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）使得点（x，α*，β*）∈X×（C（x））*×（D（x））*为广义拉格朗日函数L（x；y， α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*处的鞍点。

证明必要性：假设集合HC0（x）和集合Kx线性分离，存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，（α*，β*）≠（0，0），使得（13）式成立，即［α*，f（x，y）］＋δG（x，y）（β*）≤0，∀y∈X成立。因为f（x，x）＝0，则在（13）式中令y：＝x得到：δG（x，x）（β*）≤0。又因为y∈K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠Ø｝，根据β*∈（D（x））*，则［β*，d］≥0，∀d∈D，那么当y：＝x时，显然G（x，x）∩D（x）≠Ø，则δG（x，x）（β*）≥0，所以得到δG（x，x）（β*）＝0。有：

此外，有：

综上（x，α*，β*）是广义拉格朗日函数L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*的鞍点。

充分性：设（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且（α*，β*）≠（0，0），使得（x，α*，β*）为广义拉格朗日函数L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×D*的鞍点，即对∀（y，α，β）∈X×（C（x））*×D*有

在（18）式中令β：＝0得到：δG（x，x）（β*）≤0。

x∈K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠Ø｝的证明与文献［10］中证明类似。

假设G（x，y）∩D（x）＝Ø，有（G（x，y）－D（x））∩D（x）＝Ø，如果（G（x，y）－D（x））∩D（x）≠Ø，且D（x）是闭凸锥，那么存在¯g∈G（x，y）和¯d∈D（x）使得¯g∈D（x）＋¯d⊆D（x），显然与G（x，y）∩D（x）＝Ø矛盾，因为G（x，y）是－D（x）－凸的，那么G（x，y）－D（x）是凸集，又因为G（x，y）是紧集的且D（x）是闭的，所以G（x，y）－D（x）是闭的，因为D（x）是闭凸锥，有

因为（G（x，y）－D（x））∩D（x）＝Ø，有

根据参考文献［11］，存在分离超平面使得G（x，y）－D（x）与D（x）强分离，即存在a∈Rs且a≠0，有

假设a∉（D（x））*，那么存在d0∈D（x）使得［a，d0］＜0，由于D（x）是闭凸锥，那么td0∈D（x）对∀t＞0成立。显然，当t→＋∞，t［a，d0］→－∞，与（19）式矛盾，既有a∈（D（x））*。

因为a∈（D（x））*，有mind∈D（x）［a，d］＝0，根据参考文献［11］，有那么D（x），所以有

因为（D（x））*是锥，那么ta∈（D（x））*对∀t＞0成立。又因为δG（x，y）（a）＜0，那么当t→＋∞时－δG（x，y）（ta）＝－tδG（x，y）（a）→＋∞，显然与（18）式中第一个不等式矛盾，所以G（x，x）∩D（x）≠Ø，即有x∈K（x）。所以x∈K（x）时，δG（x，x）（β*）≥0，即得到δG（x，x）（β*）＝0，那么在（18）式得到

即集HC0（x）和集Kx线性分离。

证毕。

3 最优性条件

定理3设x∈X，假设intC（x）≠Ø，intD（x）≠Ø，并且在（7）式所定义的映射－Ax在X上是C（x）× D（x）－似凸。

（Ⅰ）当C0（x）＝C（x）＼｛0｝时，如果x是VQEP的一个解，那么集HC0（x）和集Kx线性分离。

（Ⅱ）当C0（x）＝qri C（x）时，如果x是qrw－VQEP的一个解，那么集HC0（x）和集Kx线性分离。

证明（Ⅰ）与（Ⅱ）的证明类似，在此证明（Ⅱ），（Ⅰ）可类似证明。因为x∈X且在（7）式所定义的映射－Ax在X上是C（x）×D（x）－似凸，所以根据性质4可得εx是凸集，用这个结论可证（Ⅱ）。

如果x是qrw－VQEP的一个解，那么x∈K（x），（0，0）∈εx，根据性质2有HqriC（x）∩εx＝Ø，因为int C（x）≠Ø，则有int C（x）＝qri C（x），那么HintC（x）＝HqriC（x），所以有HintC（x）∩εx＝Ø，因为int C（x）≠Ø，int D（x）≠Ø，有

int HqriC（x）＝int（qri C（x）×D（x））＝

intqri C（x）×int D（x）≠Ø

很显然int HqriC（x）是凸集，因为int HqriC（x）⊆HintC（x），并且HintC（x）∩εx＝Ø，所以int HqriC（x）∩εx＝Ø。又由于εx与int HqriC（x）均是凸集，所以HqriC（x）与εx线性分离。

证毕。

定理4设x∈K（x）。

（Ⅰ）假设cl（C（x）－C（x））：＝Y。如果（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*∈qri（C（x））*，使得（13）式成立，即HC0（x）与Kx强正则线性分离，那么x是VQEP的一个解。

（Ⅱ）假设cl（C（x）－C（x））：＝Y。如果（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*≠0，使得（13）式成立，即HC0（x）与Kx正则线性分离，那么x是qrw－VQEP的一个解。

证明（Ⅰ）由于x∈K（x），假设x不是VQEP的解，那么对于y∈X，使得f（x，y）∈C0（x），并且G（x，y）∩D（x）≠Ø，因为D（x）是Hausdorff局部凸向量空间Z中的闭凸锥，有D（x）＝（（D（x））*）*，因为（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*∈qri（C（x））*，根据引理2，有［α*，f（x，y）］≥0，所以［α*，f（x，y）］＋δG（x，y）（β*）＞0与（13）式矛盾，则x是VQEP的解。

（Ⅱ）的证明过程类似（Ⅰ）。

在所得结论中，如果G：X×X→Y，那么结论将退化到（3）式与（4）式的情形下的相关结论。

推论1若G：X×X→Y，那么有K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝。即本文结论退化到参考文献［1］的相关线性分离、鞍点定理以及最优性条件的结论。

文献［1］的研究是建立在G：X×X→Y，即K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝的条件下，而本文是在更为一般的集合条件K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠Ø｝下进行研究，进而将相关的线性分离、鞍点定理以及最优性条件的应用范围扩大化。

［1］Guu SM，Li J.Vector quasi-equilibrium problems：separation，saddle points and error bounds for the solution set［J］.GlobalOptim，2014，58：751-767.

［2］Giannessi F.Theorems of the alternative and optimality conditions［J］.Optim.Theory Appl，1984，60：331-365.

［3］Giannessi F.Semidifferentiable functions and necessaryoptimality condition［J］.Optim.Theory Appl，1989，60：191-241.

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［11］Rockafellar R T.Convex analysis［M］.Princeton：Princeton University Press，1970.

石鹏飞，何兆容，张焰杰

（成都理工大学管理科学学院，成都610059）

摘 要：为了更好地研究次亚紧空间及其他拓扑空间的覆盖性质，在与几乎基亚紧空间结合后定义了几乎基次亚紧空间，研究了它的遗传性，并获得结果：（1）几乎基次亚紧空间的闭子空间是几乎基次亚

关键词：闭子空间；次亚紧空间；－仿紧空间

Vector Quasi-equilibrium Problem s w ith Sets Constraints

DAIQianwen
（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong 637009，China）

The solutions of vector quasi-equilibrium problems（for short，VQEP）under general constraints conditions are studied byusing the image space analysis.The quasi relatively weak VQEP（for short，qrw-VQEP）are defined by introducing the notion of the quasi relative interior.Next，the linear separation for VQEP and qrw-VQEP are characterized by utilizing the quasi interior of a regularization of the image and the saddle points of generalized Lagrangian functions.Finally，the Lagrangian type optimality conditions for VQEP and qrw-VQEP are obtained.

vector quasi-equilibrium problems；linear separation；image space analysis；optimality conditions；quasi relative interior

O221

A

1673-1549（2015）01-0092-06

10．11863／j．suse．2015．01．22

O189.11文献标志码：A

编号：1673-1549（2015）01-0098-03 DOI：10．11863／j．suse．2015．01．23

2014-10-12

国家自然科学基金项目（11371015）；教育部科学技术重点项目（211163）；四川省青年科技基金项目（2012JQ0035）

代乾文（1989-），男，四川成都人，硕士生，主要从事优化理论及应用方面的研究，（E-mail）544486461＠qq.com

收稿日期：2014-10-25

基金项目：安徽省高等学校省级优秀青年人才基金项目（2010SQRL158）

石鹏飞（1990-），男，甘肃武都人，硕士生，主要从事拓扑学方面的研究，（E-mail）1160949117＠qq.com