向量函数微分的非标准定义

陈东立，史艳维，董欢欢

（1.西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055；2.西安培华学院基础部，陕西西安710125）

向量函数微分的非标准定义

陈东立1，史艳维2，董欢欢1

（1.西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055；2.西安培华学院基础部，陕西西安710125）

用非标准分析方法，在扩大模型中使用转换原理，通过定义局部线性函数，给出向量函数微分的定义.得到了向量函数微分的非标准定义与在一般意义下的定义是一致的结论，并且在此基础上，给出向量函数在一点处可微的定义.

向量函数；局部线性映射；微分；雅克比矩阵

非标准分析是数理逻辑的一个分支，它引入了超实数，让“真正的无穷小”存在，这些数字都比小，但比0大.A.Robinson于20世纪60年代创立了非标准分析，非标准分析理论因其自身的优势已经得到深入研究，并已广泛应用于巴拿赫空间［1］、微分方程、概率论［2］、数理经济学［3］、数学物理方程与拓扑学［4］等众多领域.

本文用非标准分析的方法给出向量函数微分的新定义，从而为向量函数微分的研究提供一种新的途径.

1 预备知识

设X是一个无限集合，U是标准全域，＊U是U的扩大，X包含在标准全域U的个体集中，于是有X⊂＊X（见文献［5］）.

设Rn为实数域R上的n维线性空间，＊Rn为Rn的扩大，In为＊Rn的无穷小量之集.我们可以得到明显的封闭性：

引理1［6］（1）若x，y∈In，则x＋y∈In；（2）如果x∈In，且α∈＊R是有限的，则αx∈In.

定义1 设f是一个定义域和值域分别在＊Rn和＊Rm的子集上的内映射.如果f［In］⊆Im，则f被称做局部映射.

定义2 局部映射被称做局部线性的.如果满足：

（1）若x，y∈In，则f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；

（2）如果x∈In，并且α∈＊R是有限的，则f（αx）＝αf（x）.

定义3 设f，g是从In到Im的两个映射，如果对一切的h∈In，h≠0，f，g满足

则称f和g等价，并且记作f～g.

引理2［6］（转换原理） 设α是L的一个句子，则＊｜＝＊α当且仅当｜＝α.

引理3［6］设f是从Rn到Rm的映射，则f在x0∈Rn处是连续的，当且仅当对于一切x∈＊Rn，x≈x0蕴涵f（x）≈f（x0）恒成立.

2 向量函数微分的非标准定义

定理1 设f是局部线性的，则存在一个唯一的＊Rn到＊Rm的内部线性算子，使得对于一切x∈In，f（x）＝Tx，而且‖T‖是有限的.

证明 设α，β为＊R中的无穷小非零元，令x∈＊Rn使得αx，βx≈0，则

设ν为某固定的无限整数，则对一切非零的x∈＊Rn，且x≠0，有成立.定义

其中x≠0，T0＝0.

因此，‖T‖是内的.而且，对于每个无穷小量α使得αx≈0，由（1）式得特别地，如果x∈In，对任意的α≈0，我们有，

接下来，我们验证T是线性的.设x，y∈＊Rn，且选取α∈＊R，使得α≈0，αx，αy≈0，则

为了验证唯一性，对x∈In，设f（x）＝T1x＝T2x，其中T1，T2是＊Rn上的线性算子.对任意的x∈＊Rn，

最后，假设‖T‖是无限的，则由转换原理，对某个x∈＊Rn且‖x‖＝1，有‖Tx‖≥‖T‖－1，即‖Tx‖必须是无限的，从而

则

矛盾.

定理2 设f1，f2为局部线性映射，且设T1，T2是由定理1得到的分别关于f1，f2的内线性算子，则f1～f2，当且仅当对于所有的x∈＊Rn，且‖x‖＝1，T1x≈T2x成立.

证明 首先对于x∈＊Rn且‖x‖＝1，设T1x≈T2x，再设u∈In，则

故f1～f2.

反之，如果f1～f2，且‖x‖＝1，则选取α≈0，且α＞0，从而有

定义4 局部线性映射f被称做微分，如果存在一个有界线性变换T：Rn→Rm，使得对一切x∈In，有Tx＝f（x）.

定理3 如果f1，f2是两个微分，且f1～f2，则f1＝f2.

证明 我们有标准的线性算子T1，T2，使得对于所有x≈0，有f1（x）＝T1x，f2＝T2x.由定理2对‖u‖＝1，且T1u≈T2u.对Rn中的标准点u满足‖u‖＝1，便有T1u＝T2u.故对任何的x∈Rn，如果x≠0，

最后，因为T1＝T2，所以就有f1＝f2.

定义5 设任意的映射f：Rn→Rm，且设x0∈Rn，则把由Δx0f（u）＝f（x0＋u）－f（x0）定义的In上的映射记为Δx0f.

推论1 f在点x0是连续的当且仅当Δx0f是局部映射.

定义6 设映射f：Rn→Rm，且设x0∈Rn.如果Δx0f等价于一个微分，则称f在点x0是可微的.

设f为一个从Rn到Rm的任意映射，则存在一个Rn到Rm上的线性变换A，使得对x＝（x1，…，xn）T∈Rn，f（x）＝Ax.设f在点x0是连续的，则对所有的u＝（u1，u2，…，un）T∈In，Δx0f是局部线性映射，并且有Δx0f（u）＝f（x0＋u）－f（x0）＝A（x0＋u）－A（x0）＝A（x0）＋A（u）－A（x0）＝A（u）.

由定义4，我们只需检验A是有界的，使得Δx0f（u）是一个微分.显然，A是有界的，否则，Δx0f（u）＝A（u）将不是局部线性映射，矛盾.设A为线性变换A的关系矩阵.由定理3，存在唯一一个微分与Δx0f等价.我们记为dx0f或df，且有dx0f（u）＝A（u）或df（u）＝A（u），即

其中对u＝（u1，u2，…，un）T≈0，α（u）≈0（换言之，α是局部映射）.

现在，我们可以发现，这种用非标准分析方法定义的向量函数微分与向量函数微分的一般定义是一致的，其中关系矩阵A称为f在点x0处的导数矩阵，有时也被称为f的雅克比矩阵.

例1 设n＝m＝1，且f（x）＝x2，则Δx0f（x）＝（x0＋dx）2－x02＝2x0dx＋dx2.因为dx2是比dx高阶的无穷小量，即

［1］ HENSONC W，MOORE L C.Nonstandard analysis and the theory of Banach space in nonstandard analysis-recent development［J］.Lecture Notes in Athematics，1983，983：27-112.

［2］ LOEB P A.Conversion from nonstandard measure space and application to probability theory［J］.Trans Math Soc，1975，211：113-122.

［3］ 韩俊峰，韩伟.非标准分析在经济学中的应用［J］.西安财经学院学报，2005，18（2）：12-15.

［4］ ALBEVERIO S，FENSTAD J E.Nonstandard methods in Stochastic analysis and athematical physics［M］.New York：Academic Press，1986：36-43.

［5］ 陈东立，马春晖，史艳维.拓扑的非标准定义［J］.西北大学学报：自然科学版，2006，36（3）：348-350.

［6］ DAVIS M.Applied nonstandard analysis［M］.New York：Wiley，1977：55-78.

Nonstandard definition of differential of vector function

CHEN Dong-li1，SHI Yan-wei2，DONG Huan-huan1
（1.School of Science，Xi'an University of Architecture and Technology，Xi'an 710055，China；2.Department of Basic Courses，Xi'an Peihua University，Xi'an 710125，China）

To define the differential of vector function by nonstandard analysis method.In the enlarged model，by transfer principle，the differential of vector function is defined with locally linear map.The nonstandard definition of differential of vector function is consistent with the general，and based on it，the definition of differentiable of vector function at a point is shown.

vector function；locally linear map；differential；Jacobian matrix

O 141.41 ［学科代码］ 110·37

A

（责任编辑：陶 理）

1000-1832（2015）03-0037-03

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.008

2013-12-23

陕西省自然科学基金资助项目（2007A12）；陕西省教育厅专项科研基金资助项目（2013JK0574）；西安建筑科技大学人才科技基金资助项目（RC1239）；西安培华学院科研项目（PHKT20130609）.

陈东立（1963—），男，教授，主要从事非标准分析理论研究.