分类探讨电磁感应现象中的4种常见情形

王新锋

（西安交通大学苏州附属中学 江苏 苏州 215021）

电磁感应知识是高中物理的重要组成部分，是历年高考的热点和重点.《2015年江苏省普通高中学业水平测试（选修科目）说明》罗列出的与电磁感应知识直接相关的知识点有4个，其中Ⅱ级要求的就有两个，分别是感应电流的产生条件、法拉第电磁感应定律和楞次定律（限于导线方向与磁场方向、运动方向垂直的情况）.同时电磁感应知识也是学生学习的难点，从学生对该部分内容的反应来看，笔者认为问题主要出在学生没能真正理解感应电动势的产生条件，也可以认为导致回路磁通量发生变化的情况多种多样，学生对其中的几种典型问题没能真正掌握.现分类探讨如下4种感应电动势产生的常见情形与大家分享.

1 电磁感应现象中的感生电场

麦克斯韦提出，磁场变化时会在空间激发感生电场（又叫涡旋电场），如果此刻空间存在闭合导体，导体中的自由电荷就会在感生电场的作用下做定向移动，产生感应电流，或者说导体中产生了感应电动势.在这种情况下，非静电力就是感生电场对自由电荷的作用.物理学上把由感生电场产生的电动势叫做“感生电动势”.人教课标版教材选修3－2第四章第5节中提到的电子感应加速器，是应用感生电场对电子的作用来加速电子的一种装置，主要用于核反应研究，教材只要求分析：当电磁铁线圈电流的方向与图示方向一致时，电流的大小应该怎样变化才能使电子加速？笔者认为在该处照本宣科显然是不够的，借助例题1的问题情境，可以收到良好效果.

【例1】电子感应加速器是利用变化磁场激发感生电场来加速电子的设备，如图1所示.上、下为两个电磁铁，磁极之间有一个环形真空室，用交变电流充磁的电磁铁在两极间产生交变磁场，从而在环形室内激发出很强的感生电场使电子加速，被加速的电子同时在洛伦兹力的作用下沿圆形轨道运动，设法把高能电子引入靶室，能使其进一步加速在一个半径为r＝0.84m的电子感应加速器中，电子在被加速的4.2×10－3s时间内获得的能量为120MeV.这期间电子轨道内的高频交变磁场是线性变化的.磁通量从零增到1.8Wb，求：

（1）当交变磁场线性增强时，电子所处的环形真空室内产生的感应电动势大小；

（2）电子在环形真空室中共绕行了多少周.

图1

（3）有人说，根据麦克斯韦电磁场理论及法拉第电磁感应定律，电子感应加速器要完成电子的加速过程，电子轨道内的高频交变磁场也可以是线性减弱的，效果将完全一样，你同意吗？请简述理由.

解析：（1）由麦克斯韦电磁场理论知，当交变磁场线性增强时，电子所处的环形真空室内将产生恒定不变的感生电动势E，由法拉第电磁感应定律求出

由题知ΔΦ＝1.8Wb，Δt＝4.2×10－3s，N＝1匝，代入上式得

（2）电子在环形真空室中运动一周被电场加速做功为

故获得W＝120MeV的能量需绕行的周数为

（3）不同意

由

得

尽管交变磁场线性减小也可以产生大小不变的感生电场，但感生电场的方向相反，电子不能被加速反而被减速，同时减小的磁场不能提供越来越大的洛伦兹力以维持电子绕行时的向心力.

该问题的处理体现了“让学生通过有实际意义的物理情景来学习基础知识”的思想，尤其是具体数据的引入让学生能够更好地理解物理模型，远离物理学本身的抽象难懂.同时也体现了笔者在改变学生学习方式上所作出的努力.

2 电磁感应现象中的洛伦兹力

如果磁场没有变化，空间就没有感生电场，但闭合回路部分导体在切割磁感线，这时可以充分发挥人教课标版教材选修3－2第四章第5节 “思考与讨论”栏目的作用，让学生的思维层层深入，最终得出导体CD两端存在电势差，即导体CD相当于一个电源，产生的电动势称为“动生电动势”.教师可以就此提出问题：在恒定磁场中，运动的导体内产生的动生电动势是哪种作用充当了非静电力呢？教材没有给出具体的解答，只给了一个结论：此时非静电力与洛伦兹力有关.现借助例2从洛伦兹力的角度分析推理并最终推导出动生电动势大小的表达式E＝BLv.

【例2】如图2，长为L的金属棒AB在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v1向右匀速运动，试分析该情况下动生电动势的产生机理并推导动生电动势大小的表达式.

图2

解析：当金属棒以速度v1向右匀速运动时，导体内的自由电子随棒一起以速度v1向右移动，会受到如图2所示的指向B端的洛伦兹力f1的作用，因此在金属棒B端不断聚集负电荷，A端出现等量的正电荷，故而在金属棒中形成由A指向B的电场，洛伦兹力f1充当了非静电力的角色.当金属棒中的自由电子受到的洛伦兹力和电场力平衡时，自由电子便停止向B端聚集，从而在金属棒AB两端形成一个稳定的电压，此电压在数值上等于金属棒做切割磁感线运动产生的感应电动势.所以有

解得

该处需要引起大家注意的是，教材中提到，“导线在做切割磁感线运动时相当于一个电源，非静电力与洛伦兹力有关”，而没有说就是洛伦兹力.实际上自由电子除了速度v1，还有一个在f1作用下沿金属棒的速度v2，又导致电子受到洛伦兹力f2的作用，如图3所示.通过上面的分析得知，原来此时的非静电力是洛伦兹力沿导线方向的分力充当.

图3

3 电磁感应现象中的“双生”共存

此处的“双生”共存，笔者指的是感生电动势、动生电动势同时存在的情况.在高中物理题中，一般考查只有其中一种电动势存在的情况，偶尔也考查两种电动势同时存在的情况.

【例3】（2000年高考上海卷）如图4所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动，此时adeb构成一个边长为L的正方形，棒的电阻为r，其余电阻不计，开始时磁感强度为B0.

（1）若从t＝0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k，同时保持棒静止，求ab棒中的感应电流大小，并说明感应电流的方向.

（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t＝t1s末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？

（3）若从t＝0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化？（写出B与t的关系式）

图4

解析：忽略前两问，第（3）问中磁感强度逐渐减小，回路中有感生电动势；棒以恒定速度v向右做匀速运动切割磁感线，回路中同时还有动生电动势.棒中无感应电流，即整个回路的感应电动势为零，也就是回路中的两种感应电动势相互抵消.

解法1：在某时刻t，对整个回路

当t＝0时，B＝B0，结合式（1）得C＝B0L，所以式（1）可写为

解法2：换一个角度考虑，因为棒中无感应电流，即回路的磁通量不变化，所以有

故

当然，上面的两种解法在本质上是一致的，感兴趣的可自行证明.

需要特别说明的是：该题第（3）问现已被选入教材，是人教版普通高中课程标准实验教科书选修3－2第四章第2节“问题与练习”的第7题.可见我们平时的教学切不可脱离教材一味地去追求所谓的“难题”、“新题”.笔者觉得教材后的习题很多都是经过岁月积淀下来的经典题，是我们平时教学的“本”，值得我们每一位一线教师去重视、去挖掘、去研究.

4 电磁感应现象中的“双杆”模型

两杆同时切割磁感线时，在电路中会产生两个感应电动势，但两杆产生的感应电动势可能相互叠加，也可能相互抵消.若同向切割磁感线，则E＝BLv1－BLv2（v1＞v2）；若反向切割磁感线，则E＝BLv1＋BLv2.在具体问题中要根据两杆的速度方向并结合右手定则才能判定.

【例4】如图5所示，两根足够长的平行导轨由倾斜和水平两部分连接组成，导轨间距L＝1m，倾斜角θ＝45°，水平部分处于磁感应强度B＝1T的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN与导轨垂直，金属棒ab质量m1＝0.2kg，电阻R1＝1 Ω，金属棒cd质量m2＝0.2kg，电阻R2＝3Ω，导轨电阻不计.两棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.2.开始时，棒ab放在斜导轨上，与水平导轨高度差h＝1m，棒cd放在水平导轨上，距MN距离为s0，两棒均与导轨垂直，现将ab棒由静止释放.取g＝10m／s2，求：

（1）棒ab运动到MN处的速度大小v0；

（2）棒cd运动的最大加速度；

（3）若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒cd距MN的最小距离.

图5

解析：（1）对棒ab，从开始下滑至MN处，根据动能定理得

代入数据解得

（2）棒ab运动到MN处时，棒cd速度为零，只有棒ab切割磁感线，此时回路中感应电动势最大，感应电流最大，棒cd所受的安培力最大，加速度最大.

此时对棒cd运用牛顿第二定律得

此时对回路，根据闭合电路欧姆定律得

代入数据解得

（3）在不相碰的情况下，两棒最终有共同速度v，对两棒组成的系统，由动量守恒定律得

代入数据解得

设某时刻棒ab的速度为v1，棒cd的速度为v2，在极短时间Δt内，棒ab速度变化为Δv，对棒ab，根据牛顿第二定律得

代入数据解得

“双杆”模型物理情境变化的空间很大，如双杆均做匀速直线运动，一杆静止一杆匀速，一杆静止一杆匀变速，一杆匀速一杆匀变速等等.此处笔者选择例4这种情境的原因有两个：一是双杆运动情况复杂——均做非匀变速运动，二是该题涉及较为复杂的数学方法.从近几年江苏高考物理的实际情况看，新的情境和较复杂的数学方法一直是命题人心目中难题的标准，我们只有在平时的教学中做到有针对性的渗透，才能真正提升学生这方面的能力.

总之，不管在平时的新授课，还是后来的高三高考复习课，适时地把物理知识分类、归纳、总结，不但有助于加强学生对所学知识的理解和掌握，游刃有余地应对千变万化的考题，更重要的是锻炼了学生思维的深刻性和广阔性，在提升能力的同时激发学生对知识的兴趣.

1 张大昌.普通高中课程标准实验教科书物理（选修3－2）.北京：人民教育出版社，2010.1～26

2 张大昌.普通高中课程标准实验教科书物理（选修3－2）教师教学用书.北京：人民教育出版社，2010.1～69

3 陈熙谋.高中物理专题研究：电路与电磁场.北京：人民教育出版社，1998

4 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程：电磁学篇.合肥：中国科学技术大学出版社，2004