再论物体的速度究竟是多少＊

王 鹏 李 冰 杨培军

（安徽省阜阳市界首中学 安徽 阜阳 236500）

1 问题的提出

有不少教师发文讨论如下问题［1］：如图1所示，物体A，B以相同的速率v下降，物体C以速率vx上升，当绳与竖直方向夹角为α时，则

图1

常见的解法如图2和图3所示，结果分别为vx＝那么究竟哪种解法正确呢？下面从几个方面进行详细剖析.

图2

图3

2 相对运动与运动的合成与分解的区别

有些教师在分析上述问题时将小船渡河模型与之类比［2］，但实际上这是两类完全不同的运动，并不能类比.小船渡河模型属于相对运动问题，而上述问题和拉船模型一样，属于运动的合成与分解问题.

对于同一物体，选择的参考系不同，其运动情况一般不同，速度自然也不同，那么各速度之间存在什么关系就属于相对运动问题，其规律为vAC＝vAB＋vBC，其中3个速度分别为物体A相对物体C的速度，物体A相对物体B的速度，物体B相对物体C的速度.下面来看小船渡河模型.水流速度v1是水相对岸的速度，船在静水中的速度v2是船相对水的速度，船的合速度v实际是船相对岸的速度，且v＝v1＋v2.

从以上分析可以看出，相对运动问题是研究同一物体在不同参考系间的速度变换关系，而运动的合成与分解则与之完全不同，它研究的是同一物体在同一参考系中的速度合成关系，其实质是矢量的合成与分解，拉船模型即属于这类问题.以地面为参考系，船（绳子末端A点）实际的运动为由A到B，将位移分解，如图4和图5所示除以时间，即得到v＝v1＋v2，由此即可认为绳子末端A点同时参与两个分运动：A到C，C到B，速度分别为v1和v2，其中3个速度均以地面为参考系，与小船渡河模型不同.

图4

图5

3 等效替代原则

图1中给出了3个速度，有些教师便不假思索地认为它们是合速度与分速度的关系.但实际上未必，需要仔细分析.在分析时要注意等效替代原则，即所有分运动的共同作用效果必须与合运动的作用效果相同，否则便不是分运动与合运动的关系.

按照这个原则去分析拉船模型（图4，图5），可以发现，A点的速度v产生了两个效果：一个使A点与滑轮之间的绳子长度以速度v1缩短，另一个使该段绳子以速度v2绕滑轮顺时针转动，如果A点同时以v1和v2速度运动，可以产生完全相同的效果，因此v1和v2确实是速度v的分速度.

下面来分析图1问题的两种解法.图1中的问题要比拉船模型复杂，因为左右两根绳子的末端连接在一起，每一个速度会同时对两根绳子产生作用效果.在图2中，当3绳的结点以速度vx上升时，由图1可知，其作用效果是使左右两根绳子结点与滑轮间的部分长度以速度v缩短，同时使该部分绳子以速度v′（大小未知）分别绕滑轮转动.如果速度vx确实可以按照图2分解，那么两个分速度对左右两根绳子的作用效果应与速度vx作用效果相同，矢量图如图6所示.

图6

根据图6，有

表1 分速度的效果

因此右边的绳缩短的速度为

顺时针旋转的速度为

与速度vx作用效果完全相同，因此图2解法正确.按照图7分解也正确，但按照图8分解则不对.图8实际上是简单套用了拉船模型的结论，却没有注意到左右两根绳子连接在一起，互相牵制，实际上图8中4个分速度的合速度是2vx.

图7

图8

图9

图10

4 谨防错觉误导我们

经过上面的分析发现图3的解法错误，那么为什么会产生这种错误的解法呢？笔者认为可能是错觉误导了我们.图3中滑轮与结点之间的绳子好像沿绳子方向运动，所以物体C的速度就是这两个速度v的合速度，就类似图11力的合成一样.但是这部分绳子速度是沿绳子方向吗？

图11

图12

从图12可以发现，滑轮与结点之间的绳子运动情况很复杂，其速度方向既不沿绳子，也不是竖直向上.绳上每一点的速度和结点O类似，既有沿绳方向的分速度v（该速度各点相同），又有垂直于绳的分速度v′（该速度各点不同，与到滑轮的距离成正比，v′＝ωL），因此与图11不能类比.

在分析图3时，有些教师提出如下问题［3］：博尔特百米跑时间约为10s，速度约10m／s，那么两个博尔特拉着你跑，你的速度应为两个10m／s的合速度即20m／s，所以你应能跑出5s的百米成绩，这个看法正确吗？答案显然是否定的，然后与图3类比，即得出图3的解法不正确这个结论.

问题是我们能这样类比吗？两个博尔特拉着你跑，3人速度方向一致，与图12方向明显不同，因此不能这样类比.如果要类比应与图13类比.

下面分析图13，物体C被两根绳子拉着运动，速度是2v吗？

这个问题可以把它看做图2中α＝0的特殊情况进行处理，也可以和 “两个博尔特拉着你能跑出5s的百米成绩吗”这个问题进行类比，很容易看出速度并不是2v.那么速度是2v这个错误答案是如何产生的呢？

我们来深入分析得出这个错误结果的过程：物体C同时参与两个分运动，一个跟随左边绳子向上运动，速度为v，另一个跟随右边绳子向上运动，速度也为v，因此合速度为2v.但是从图14可以看出，在一段时间内，两个分运动初末位置、位移、速度均相同，其实是同一个运动，因此物体C的速度并不等于2v，而是v.

图13

图14

再来分析图15的例子.一平面内有两直线AB和CD，相交α角，若直线AB以速度v1在平面内沿垂直于AB的方向移动，直线CD以速度v2在平面内沿垂直于CD的方向移动，求两线交点P的速度.先来分析学生的错误解法.很多学生认为P点速度就是v1和v2的合速度，究其原因，学生很可能误以为交点P是两直线上的固定点（譬如中点），然后跟着两直线一起运动，具有两个分速度v1和v2，如图16所示.

图15

图16

然后得出P点速度就是v1和v2的合速度这个错误的结论，这显然是因为没有理解交点产生的原因而产生的错觉.实际上交点在杆上的位置是不断变动的，P′才是两杆的交点，P点速度的方向沿PP′方向（图17）.

图17

沿PB方向位移为

沿PC方向位移为

合位移

合速度

当两杆垂直时，α＝90°，此时图16和图17一样，学生的解法才正确.

5 分运动具有独立性吗

有些教师在分析上述问题时使用了分运动的独立性原理，认为各分运动互相独立，互不影响.那么各分运动果真互相独立，互不影响？文献［4］给出了精彩回答：各分运动可以互相独立，也可以互相影响，不存在所谓的分运动的独立性原理.现将部分内容转述如下：

对于有空气阻力的抛体运动，当速度较小时，可以认为空气阻力大小与速度成正比，这时

根据牛顿第二定律可得物体沿x和y方向运动的微分方程为

这两个方程表明，每个方程都不包含另一方向上的运动分量，可以分别独立地解出方程，此时两个分运动互相独立，互不影响.

再考虑速度较大，空气阻力大小是速度二次函数的情况.这时

物体沿x和y方向运动的微分方程为

这两个方程表明，每个方程都包含了另一方向上的速度分量，明显反映出两个分运动彼此关联，并不是互相独立的.

由上述例子可以看出，各分运动可以互相独立，也可以互相影响，所谓的分运动的独立性原理自然就不正确了.

总之，物理模型在物理教学中固然重要，类比法也是解决问题的重要方法，但在处理具体问题时，不能单凭感觉，草率地与熟悉的模型进行类比，从而得到错误的结论.在进行运动的合成与分解时，每一个运动都要慎重分析，各分运动有时并非相互独立，互不影响，教会学生用联系的观点处理问题，具体问题具体分析，严防被直觉所误导.

1 李庆国，帅厚梅.物体的速度究竟是多少？ 物理教师，2013（8）：23～24

2 殷正徐.《物体的速度究竟是多少》究竟为什么？物理教师，2014（5）：93～94

3 章建光.补议《两个博尔特拉着你能跑出5秒的百米成绩吗》.中学物理教学参考，2013（3）：40～42

4 人民教育出版社.高中物理必修2教师教学用书.北京：人民教育出版社，2010.28～35