平面直角坐标系中数形结合思想之巧用

薛朝晖

数形结合思想，是研究数学的一种重要的思想方法，巧用平面直角坐标系能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解.

一、 巧用平面直角坐标系于解不等式

例1 解不等式

【评析】 此题直接求解要分x>0，x<0两种情况去求解.学生易把x的取值当成大于零来去分母，原不等式变形为 ，显然结果会求错取值范围.建立平面直角坐标系，设 求得双曲线与直线的交点坐标.利用两个函数图像的高低关系求得不等式的解.

【解】 设 画出函数的图像，如图1，令 ，化为 ， ，得 .从而可得两个图像的交点坐标为（1，3），（-3，-1）.观察图像，应使y1的图像高于y2的图像，当0

二、 直角坐标系用于轴对称中

例2 已知点A（﹣1，2）和B（﹣2，﹣1），试在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，并求出点P的坐标.

【评析】 要求点P的坐标，只要找点A关于y轴的对称点A'，连结A'B交y轴于点P，大部分学生知道方法，但在求解点P坐标时方法太繁，易求错.采用一次函数可快速高效解决问题.

【解】 如图2，作点A关于y轴的对称点A'，连结A'B交y轴于点P，此时PA+PB最小。设直线A'B为y=kx+b（k≠0）.因为点A（﹣1，2）与点A'关于y轴对称，所以A'（1，2），将A'和B的坐标代入解析式，解得k=1，b=1.所以解析式为y=x+1，当x=0时，y=1，所以P（0，1）.

三、 巧用直角坐标系求线段的长

例3 已知正方形的边长为1，（1）如图3（a），可以计算出正方形的对角线长为 ，如图2（b），求两个正方形并列排成的矩形对角线的长，n个呢？（2）若把图2（c）、（d）两图拼成如图4的“L”形，过点C作直线交DE于A，交DF于B，若DB= ，求DA的长度.

【评析】（1）略.（2）对于八年级学生来讲，没有学习相似，难以下手.本题巧妙建立平面直角系，求AD就易如反掌了，以点D为原点，AD所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，就可以用一次函数的知识来解决.

【解】以点D为原点，DE所在直线为x轴，DF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图4，可得B（0， ）， C（1，﹣1）.设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将B、C的坐标代入，解得k= ，b= 所以y= x .当y=0时， x- =0，得x= ，所以A（﹣ ，0），得AD= .

例4 在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图5），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30?，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60?，且与A相距 km的C处.

（1） 求该轮船航行的速度（结果保留根号）；

（2） 如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由.

【评析】（1）略.（2）过点B、C两点分别作BD⊥直线l于D，CE⊥直线l于E，则可得AD=20km，BD=20 km，CE=4 km，AE=12km。大多数学生采用相似解决问题。可以利用△FCE∽△FBD，从而求得EF的长.但是在寻找相似三角形时，易搞错对应边，从而求错。还有部分同学求得的EF长误以为是AF的长，导致失分.因此，建立如图5所示平面直角坐标系，则B（-20，20 ），C（12，4 ）。直线BC交x轴于F，要求AF的长，只要求得直线BC的解析式，然后求得直线与x轴交点的横坐标，从而求得AF的长。

【解】建立如图5所示的平面直角坐标系，则B（-20，20 ），C（12，4 ）.

设直线BC为y=kx+b（k≠0），将B、C坐标代入，解得直线BC的解析式为y= x+10 .当y=0时， x+10 =0，得x=20.所以AF=20.可见AM

解决这类问题的关键在于抓住题设图形、分析已知条件，从几何图形的结构中寻求建立函数关系式所需要的数量关系，巧建平面直角坐标系能只用几笔简捷的线条就可以表达出需要“长篇大论”的证明所表达的变化规律.

在初中数学中，由于平面直角坐标系的引入，架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用几何的方法研究代数问题，又可以用代数的方法研究几何问题.平面直角坐标系加强了数与形之间的联系，它是解决数学问题的一个强有力的工具.