江苏省秦州中学附属初级中学“认识概率”检测题

王小翠

飞机失事会给旅客造成意外伤害，一家保险公司要为购买机票的旅客进行保险，应该向旅客收取多少保险费呢？为此，保险公司必须计算飞机失事的可能性有多大？那究竟是怎样计算的呢？其实这时我们计算的是统计数据中飞机失事的频率——概率的估计值。

一个随机事件发生的可能性大小的数值称为这个事件的概率。概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，只能取唯一值，它能精确地反映事件出现可能性的大小。也就是说概率是事件的固有的准确值并不是我们计算出来的。

频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值。频率是变化的，每次试验可能不同，但在多次重复试验中，频率具有稳定性。因此在一定条件下频率可以近似代替概率。

需要指出的是用稳定的频率代替概率，并不否认概率能更精确、更全面地反映事件出现可能性的大小，只是由于在目前的条件下，取得概率比取得频率更为困难。所以，我们才用稳定的频率代替概率，以频率的计算方法来估算概率。

下面就通过几个题目来例举如何运用稳定的频率来估算概率以及在估算过程中需要注意的地方。

例.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：

（1）求这种鱼卵的孵化率；

（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？

（3）要孵出5000尾鱼苗，大概得备多少鱼卵？（精确到百位）

分析：此题的第一小问求孵化率其实就是用一次实验中的孵化频率来估算这种鱼卵的孵化概率，因此只是一个近似值。因为在第一次试验中进行了10000个鱼卵的重复试验得到的频率符合稳定的频率的条件，假设只是进行了10个，100个鱼卵的试验频率来估算概率就不具有科学性。第二，三小问都是利用已经求得的孵化率估计值进行相应数据的计算，注意问题中的“大约”，“大概”字眼去体会所求数据只是近似值而并非是准确值。

例.根据概率论，抛出一枚均匀的硬币，其正面朝上和反面朝上的概率几乎相等。我与人打赌，若抛出硬币正面朝上，我赢：若反面朝上，我输。我抛出硬币6次。结果都是反面朝上，已经连输6次。因此，我后面的几次抛出肯定是正面朝上，一定会赢回来。下面哪一个选项是对“我”的推理的恰当评价？

A.有道理，因为上帝是公平的，机会是均等的，他不会总倒霉。

B.没道理。因为每一次抛出都是独立事件，与前面的结果没有关系。

C.后面几次抛出果然大多正面朝上，这表明概率论是正确的。

D.这只是他个人的信念，无法进行理性的或逻辑的评价

分析：这样的一个问题应该说是在我们的生活中经常发生的现象。正如题目所描述，正面朝上和反面朝上的概率相等，也就是“我赢”和“我输”的可能性一样大。但是在现实生活中往往发生了如题目中描述的连输6次，于是往往有错误的认识后面肯定是“我赢”的可能性较大。这样的错误的认识很典型的发生在赌徒身上他们认为只要他们继续下去赢得可能性就比较大。那我们不禁要反问，为什么我们的概率不能反映事件发生的可能性的大小呢？因为只有在大量重复试验中，某个事件发生的频率才具有稳定性，这样的稳定的频率才能去估算概率。而在这样一个题目中试验次数为6次，这样所得到的频率显然不具有稳定性也不能代表概率，所以从表象上违背了事件发生的概率值。

例.利用频率来估算概率的方法来估算非规则图形的面积，请设计方案，解决问题。

分析：此题对学生的要求较高，学生必须要能深刻理解用频率估算概率的原理，从而设计方案来解决问题。首先我们必须设计一个随机事件并且随机事件发生的概率跟图形的面积有关，例如在这非规则图形外，画个规则的图形面积可以计算的记为S，包含非规则图形，然后在这规则的图形里扔硬币，保证都扔在规则的图形，扔个N次（越大越好），其中扔在非规则图形的次数为M。下面就可以计算出硬币落在非规则图形的频率M/N，而硬币落在非规则图形的概率为非规则图形面积与S之比值。.根据频率来估算概率的方法我们就可以得到这两者相等，则非规则图形为MS/N

通过上述三个题目的层层推进，我们要能从题目的解决中辨析频率与概率，灵活运用稳定的频率代替概率，深知这其中的数学的原理，从而揭开“频率与概率“的面纱，为在生产生活中运用概率和频率解决问题打下坚实的基础。