线性加载条件下不排水桩复合地基径竖向固结解析解

张绍勇，许 波，吴 深，腾 杰

（1.浙江省地球物理地球化学勘查院，浙江杭州310005；2.香港华艺设计顾问（深圳）有限公司南京分公司，江苏南京210037；3.济南市卧虎山水库管理处，山东济南250115）

线性加载条件下不排水桩复合地基径竖向固结解析解

张绍勇1，许 波2，吴 深3，腾 杰3

（1.浙江省地球物理地球化学勘查院，浙江杭州310005；2.香港华艺设计顾问（深圳）有限公司南京分公司，江苏南京210037；3.济南市卧虎山水库管理处，山东济南250115）

摘要:现有不排水桩复合地基固结微分方程由Carrilo定理组合得到，即地基径向和竖向固结是组合固结。为此，基于现有砂井轴对称固结模型，根据等竖向应变假设 ，采用分离变量法和Fourier正弦级数方法 ，推导了线性加载条件下不排水桩复合地基径竖向同时固结完整解，克服了传统不排水复合地基固结微分方程通过Carrilo定理组合不适用线性加载这一缺点。分析了线性加载工况下桩土压缩模量比，加载历时和竖向固结系数对固结的影响，并对比了不排水桩复合地基与天然地基固结速率。计算结果表明，桩土压缩模量比越大固结速率越快；线性加载速率越慢固结越慢，瞬时加载固结速率最快；未扰动土体竖向渗透系数对地基固结速率影响显著，不排水桩复合地基固结速率远快于天然地基。

关键词:不排水桩；线性加载；复合地基；固结；解析解

关于刚性桩复合地基固结问题的解析求解这一问题，国内外学者已有一些研究成果［1-6］，文献［6］说明了目前刚性桩复合地基固结问题的解析求解过程中，关于固结微分方程上存在一些不合理的地方，即地基固结到底是组合固结［1-5］（径向和竖向通过Carrilo定理［7］组合）还是径竖向同时固结［6，8-11］？虽然目前还没有权威的验证，笔者通过计算对比发现，二者虽在固结度计算结果上相差很小 ，但从数学偏微分方程求解角度（固结方程非齐次）和岩土力学角度（线性加载工况），可看出Carrilo定理存在一定的局限性［8］。

另外 ，文献［6］中运用Fourier级数变换方法时，未阐述这一方法的适用性。在求解Fourier系数时，其被积函数要满足Dirichlet条件，即被积函数在一个周期内有有限个间断点或绝对可积或极大值和极小值的数目有有限个。显然，文献［1］中关于求解Fourier系数是满足Dirichlet条件的。

文献［6］给出了瞬时加载工况下刚性桩复合地基径竖向同时固结解答，本文在文献［6］的基础上，运用相同的轴对称固结模型（图1所示）和数学方法（Fourier正弦级数及分离变量法），推导了线性加载工况下不排水桩复合地基径竖向同时固结解答。

图1　地基轴对称固结模型

图1中，r和z分别表示极坐标系中的径向和竖向坐标 ；rc、re分别表示不排水桩径和单桩有效影响半径、rs表示涂抹区（扰动区）半径，γw为水的重度，h表示完全打穿复合地基中不排水桩的桩长。

1　解析解答的推导

1.1推导假定条件

（1）土体是饱和的均质体，复合地基中孔隙水的流动服从达西定律；（2）等竖向应变条件成立，地基土的变形只考虑竖向位移；（3）不考虑施工扰动引起的水平渗透系数变化；（4）未扰动区、涂抹区压缩模量相等；（5）桩周界面为不透水面；（6）外荷载施加，由桩土共同承担，满足桩土共同作用原理。

1.2轴对称固结微分方程及边界条件［8］

式中:上式中参数意义参考文献［8］。

单桩影响区域外边界不透水条件及桩与涂抹区交界处不透水条件［6］:

涂抹区与未扰动区边界面超静孔压和流量连续性条件的方程分别为［6，8］:

复合地基顶面为PTIB，即顶面排水、底面不透水:

1.2.1 未扰动区固结微分方程

对于刚性桩复合地基问题，根据桩土共同作用原理及等竖向应变假设［6］:

式中:¯σs和¯σc分别为土体与桩体中的平均总应力；σ为堆载荷载；Ec表示土体平均压缩模量；Es表示桩体的压缩模量；¯u为未扰动区土体在rs～re范围内的平均超孔隙水压力；εz表示土体的竖向应变。

联立式（9）、式（10）得:

对式（13）求偏导:

不考虑地基土侧向变形 ，采用本文假定2，未扰动区土体的径竖向固结微分方程可采用式（1）:

式中:t表示固结时间；u、kh和kv分别表示未扰动区土体的超静孔压、水平向和竖向渗透系数；σ为地基内部附加应力；¯u为rs～re范围内土体平均孔压；mv1为土体的一维体积压缩系数。

为求解式（15）这一偏微分方程，并满足PTIB条件，可运用数学物理方程中Fourier正弦级数求解:

当上部堆载单级线性加载时，地基内部附加应力可用阶段函数统一表示为［8］:

式中:t0为加载历时；σn为地基内部附加应力分布函数对应的Fourier系数；H为阶跃函数，可用下式:

将式（16）～（18）代入式（15）得:

采用数学物理方程中分离变量法:

解式（22）等号左边方程并联立式（21）得:

式中:I0和K0分别为零阶第一类和第二类虚宗量Bessel函数和为待定常数。

1.2.2 扰动区（涂抹区）固结微分方程

采用本文假定2，扰动区土体的径竖向固结微分方程可采用式（2）:

式中:ksh表示涂抹区水平渗透系数；ksv表示涂抹区竖向渗透系数；us为涂抹区土体超静孔隙水压力。

为求解式（24）这一偏微分方程，并满足PTIB条件，仍采用上述Fourier正弦级数求解:

式中:usn（r，t）为相应的Fourier系数。

仍采用分离变量法，令

将式（26）代入式（25）并联立式（26）得:

1.2.3 时间函数 Bn（t）推导

由式（16）和式（25）可求得地基中任一深度任意时刻的初始平均孔压为

联立式（17）、式（23）和式（27）得:

将式（29）代入式（22）得:

式（30）为一阶线性偏微分方程，在线性加载阶段（t≤t0）其解为:

恒载阶段（t≥t0）的时间函数式（30）为:

设任意深度的初始平均孔压为 u0，将式（23）、式（27）和式（31）、式（32）代入式（16）和式（25），再代入式（29）得:

式中:un0为初始平均孔压 u0按深度 z的Fourier系数。

根据线性加载阶段（t≤t0）初始平均孔压u0= 0，则 un0=0，由式（35）可得:

在 t0时刻，根据线性加载终端和恒载加载初始时刻孔压相等这一条件，因此，由式（31）和式（32）可得恒载阶段（t≥t0）情况下:

对于任意时刻 t，根据式（35）和式（36），可以将时间函数式（31）、式（32）统一表示为:

1.3解答中待定系数的求解

1.3.1 考虑刚性桩与涂抹区边界条件

1.3.2 未扰动区与涂抹区边界条件

根据式（5）和式（6），并分别代入式（23）、式（27）:

式中:

1.3.3 单桩影响区域外侧不排水边界条件

根据式（3），将式（23）、式（37）依次代入式（21）、式（25）得:

联立式（41）和式（44）得:

将式（38）、式（44）和式（45）代入式（39），并化简:

1.4 地基整体平均固结度解答

将式（23）、式（37）代入式（16）可得到未扰动区土体超静孔隙水压力表达式:

将式（27）、式（37）代入式（25）可得到涂抹区土体超静孔隙水压力表达式:

对式（47）在rs～re范围内进行径向积分 ，再在

0～h深度内进行竖向积分 ，根据轴对称地基固结模型，除以单桩影响区域形成的圆柱的体积 ，可得到地基任意时刻整体平均孔压表达式:

地基的整体平均固结度可以定义为［7］

将式（18）代入式（50）可得

假定地基附加应力分布沿深度梯形分布 ，则:

式中:st，sb分别表示复合地基单桩影响范围内顶面和底面附加应力加载速率，当荷载线性加载时，顶部附加应力σt=stt（t≤t0），σt=stt0（t＞t0）；底部附加应力σb=sbt（t≤t0），σb=sbt0（t＞t0）。

由式（18）:

将式（53）、式（54）代入式（51）可得

2　解答的验证

对于新的解析解 ，如何验证它的合理性和准确性，最简单的方法即对解答进行退化成现有解析解答，这也能从必要性上验证本文解答的准确性。

为此，选取文献［6］作为本文对比的依据，文献［6］所考虑因素与本文完全一致，所不同的是他仅考虑瞬时加载工况。为准确的对比，本文选取计算参数和力学参数取值与文献［6］完全一致（图2）。

图2　本文解答与文献［6］解答对比

图2表示将本文加载历时 t0无穷小，近似蜕化成瞬时加载工况，再与文献［6］（瞬时加载工况）比较的对比图，从中可以清楚的看出，本文解答与文献［6］固结度计算结果差异很小 ，可以证明本文提出解答的正确性，为了评价线性加载工况复合地基固结性状，下文对本文提出的解答做了一些计算分析。

3　复合地基固结性状分析

根据上文线性加载工况下的解答，对单级线性加载工况下不排水桩软粘土复合地基固结性状进行计算分析，基本计算参数为:h=15 m，D=2，t0= 0.1 a，rc=0.5 m，s=0.5，m=4，σt=100 kPa，σb=50 kPa，kh=5×10-9m/s，kh/kv=2，kv/ksv=2，kh/ksh= 5.0，Es=1 000 kPa，Y=100。桩土压缩模量对地基固结影响见图3。

图3　桩土压缩模量比对地基固结影响

图3表示加载历时为0.2 a，地基附加应力沿深度梯形分布，桩土压缩模量比对地基固结速率的影响曲线，从图3中可以清楚的看出，地基固结速率随着桩土压缩模量比 Y增大而变快，这与文献［6］的研究成果一致。

图4、图5表示不同的加载历时对固结和孔压消散的影响，由图中可看出，加载速率越快，地基固结越快，孔压消散越快（r=1 m，z=5 m）。当荷载线性施加，孔压逐渐上升，当荷载加到最终时孔压达到最大，并随固结时间逐渐消散为零，另外从图4和图5中可看出，瞬时加载工况（t0=1×10-6）固结速率最快，孔压消散速率最快。

图4　不同加载历时对地基固结的影响

图5　不同加载历时对土体超静孔压影响

图6　不同竖向渗透系数对地基固结的影响

文献［5-6］研究成果表明不排水桩复合地基固结以竖向为主。因此本文分析了未扰动土体不同竖向渗透系数对固结的影响。从图6可以看出当桩土压缩模量比和水平渗透系数一定时，未扰动土体竖向固结系数对地基固结速率显著。另外，当Y=1时即转换为天然地基，图6也说明了不排水桩复合地基固结速率远快于天然地基。

4　结 语

本文基于现有砂井轴对称固结模型，采用分离变量法及Fourier正弦级数方法 ，考虑了涂抹区固结及上部堆载引起的地基附加应力任意分布，推导了线性加载工况，不排水桩复合地基径竖向同时固结条件下完整解析解。计算结果表明:

（1）桩土压缩模量比越大，复合地基固结速率越快。

（2）加载历时越长，复合地基固结速率越慢，孔压消散越慢，瞬时加载工况地基固结速率最快 。

（3）地基竖向固结系数对固结速率影响显著，竖向固结系数越大，固结速率越快，且不排水桩复合地基固结速率远远快于天然地基。

参考文献:

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中图分类号:TV472.3+3

文献标识码:A

文章编号:1672—1144（2015）01—0130—06

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2015.01.027

收稿日期 :2014-10-14修稿日期:2014-11-23

作者简介 :张绍勇（1976—），男，浙江杭州人，高级工程师，主要从事水文地质与工程地质方面工作。E-mail:184141633@qq.com

Analytical Solutions for Radial and Vertical Consolidation of Composite Foundation with Impervious Pile under Ramp Loading

ZHANG Shao-yong1，XU Bo2，WU Shen3，TENG Jie3
（1.Zhejiang Institute of Geophysical and Geochemical Exploration，Hangzhou，Zhejiang 310005，China；2.Nanjing Branch of Hong Kong Huayi Design Consultants（Shenzhen）Ltd.，Nanjing，Jiangsu 210037，China；3.Reservoir Administrative Office of Wohu Mountain，Jinan，Shandong 250115，China）

Abstract:Existing differential equation for impervious pile composite consolidation is established by Carrillo’s equation，which is a combination of radial and vertical consolidation.Therefore，Based on the axisymmetric consolidation model of sand-wells and on the assumption of equal vertical strain，the explicit solutions of impervious pile composite foundation vertical and horizontal consolidation under ramp loading were obtained through variable separation method and Fourier sine series method.The solutions overcame the disadvantage of conventional consolidation differential equations of impervious pile composite foundation，which was not suitable for ramp loading when combined with Carrillo’s equation.The influences of pile-soil compression modulus，loading period and vertical coefficient on the consolidation under ramp loading were analyzed，and consolidation rate was compared between impervious pile composite foundation and natural foundation.The calculation results indicate that with the increase of the pile-soil compression modulus，the composite foundation consolidation rate is accelerated.And the longer the loading period，the slower the consolidation rate，the fastest the consolidation rate under instantaneous loading.Vertical hydraulic conductivity of the undisturbed soil has a significant impact on consolation rate；impervious pile composite foundation consolidation rate is faster than that of natural foundation.

Keywords:impervious pile；ramp loading；composite foundation；consolidation；analytical solutions