基于MAF的传感器故障检测与诊断

付克昌，袁世辉，蒋世奇，朱明，沈艳

（1 成都信息工程学院控制工程学院，四川 成都 610025；2 中国燃气涡轮研究院，四川 江油 621703）

引 言

随着工业技术的发展，现代工业系统越来越复杂，自动化程度越来越高，而故障发生的概率和造成的危害也越来越大。及时检测并诊断故障的发生，对于减少停车时间，提高生产效率，减少故障损失和危害具有十分重要的意义。一方面，为了监测系统的状态，系统中通常安装了大量类型各异的传感器；另一方面，很多传感器都处于恶劣的环境中，因此，传感器发生故障的概率远高于系统中的其他非传感器。工业系统中，70%以上的故障来源于传感器[1]，传感器故障的检测与诊断引起了学者们的广泛关注[2-5]。本文主要研究单传感器故障的情况。

通常依据各测量值与系统模型的一致性来检测和诊断传感器故障。获得系统模型的直接方法是根据机理模型构建状态观测器或者估计器。然而，由于系统的复杂性，其机理模型通常难以得到。另一类系统建模方法是根据历史数据，利用统计分析方法，如：偏最小二乘（partial least squares,PLS）[6]，Fisher 判据（Fisher discriminant,FD）[7]，主元分析（principal component analysis,PCA）[8-11]等得到统计模型。统计建模方法具有不需要系统的先验知识，能用少量统计量进行故障的检测与分离等优点[12]。其中研究最多、应用最广的是基于PCA 的故障检测与诊断方法，被广泛应用于航空、能源、冶金、化工等工业过程中，取得了比较好的应用效果[13-16]。PCA 方法通过将数据投影到具有最大变化的低维子空间，能有效地降低数据的维数，同时提高了系统的故障检测与诊断的性能。然而，PCA 在建模过程中，只考虑了变量之间的互相关性。实际上，由于系统中往往存在着控制作用，使得各变量在时间结构上具有自相关特性，PCA 模型不能反映系统的自相关性，因此，进行故障检测时容易造成虚警和误警。针对PCA 故障检测与诊断的上述缺点，本文引入最小/最大自相关因子分析（min/max autocorrelation factors,MAF）[17]，提出基于最小/最大自相关因子分析的传感器故障检测与诊断方法。该方法首先从历史数据中提取出具有显著自相关性的分量和具有弱相关性的分量，并分别构造故障检测统计量，利用核密度估计方法计算相应的控制限，当出现故障时，根据各变量的贡献图进行故障的定位。将所提出的方法应用于连续反应釜（continuous stirred tank reactor,CSTR）仿真系统的传感器故障检测与诊断，以期能避免虚警并能更快地检测缓变故障，且能更好地解释和诊断复杂故障。

1 最小/最大自相关因子分析（MAF）

为了处理空间网格图像的多通道测量数据，以便隔离信号与噪声数据，Switzer 等[17]提出了最小/最大自相关（MAF）因子分析方法。每一个网格点的测量值包含p个变量，MAF 利用线性变换得到一组新的变量，使得新变量具有如下性质：小序号的变量具有最小的空间自相关性，表示噪声信号；大序号的变量具有最大的空间自相关性，主要为有用信号[17]。MAF 的基本原理简述如下：

设Z(r)=[z1(r),z2(r),…,z p(r)]T为位于网格点r的原空间变量，经线性变换后得到一组新的变量Y(r)=[y1(r),y2(r),…,yi(r),…y p(r)]T，其 中为行向量。定义变量yi(r)的自相关函数ARi( Δ )=correlation(y i(r),yi(r+Δ ))。其中Δ 为位于空间网格点r的平移算子，若 Y(r) 的各分量的自相关函数分别满足如下条件，称 Y(r) 为原空间变量 Z(r) 的最小/最大自相关因子分解

最小/最大自相关因子投影向量a可用如下方法求取[18]：

设 Z(r) 二阶平稳，则 Z(r) 的方差-协方差矩阵

引入多变量差分变量，ZΔ(r)=Z(r)-Z(r+Δ)，则ZΔ(r)的方差-协方差矩阵

因子y i(r)=a iTZ(r)在平移算子Δ 下的自相关系数为[18]

从式(5)可以看出，当瑞利商（Rayleigh quotient）越大，y(r) 的自相关系数越小。记ZS的伪逆为SZ-，对矩阵进行特征值分解，设其特征值分别为λ1≥λ2≥ … ≥λp，对应的特征向量分别为v1,v2,…,vp，则当a=v1时ρy,Δ最小，…，a=vp时ρy,Δ最大。即：Z(r)的最小/最大因子分别为

Switzer 等[17]将MAF 分析方法应用于U-2 专用制图仪模拟器产生的10 通道网格数据，说明具有较小自相关性的因子能将噪声数据提取出来，具有较大自相关性的因子反映了图像中的空间特征，而PCA 方法得到的主成分难以区分噪声和提取空间特征。根据自相关因子在时间上的连续性，Woillez等[19]利用MAF 分析方法估计鱼类资源状态，并应用于北海鳕鱼和比斯开湾鳀鱼的测量数据，说明自相关因子很好地反映了鱼类资源在时间和空间的变化规律。

在工业过程中，一方面，各测量变量在空间位置上存在相关性；另一方面，各变量之间需满足物质平衡和能量平衡，加之存在控制作用，使得变量在时间结构上具有自相关性。因此，本文在传感器故障检测与诊断的建模阶段引入MAF 分析方法，以便更好地反映变量的自相关性和互相关性，提高对缓变故障检测的灵敏性和故障诊断的准确性。

2 基于MAF的传感器故障检测与诊断

2.1 基于MAF 的统计建模

将 MAF 应用于工业过程的统计建模，设x=[x1x2,…,xp]为工业过程的测量变量，为ti时刻的测量值，为正常工况下测得的N个训练样本构成的数据矩阵，则建模过程如下。

（1）对训练样本进行归一化。

其中，和 std(xk)分别为正常工况下变量xk的均值和标准差。

（2）计算样本间的差分及差分矩阵。

在图像的自相关因子分析中，式(1)中Δ 为空间位移算子。为了分析系统变量在时间结构上的自相关性，本文引入超前算子TΔ=，其中T为采样周期。则样本间的差分为则差分矩阵

（3）计算协方差矩阵S及SΔ。

（4）计算各自相关因子的投影向量。

求解如下特征值分解问题

特征值从小到大分别为λ1≤λ2≤ … ≤λp，对应的特征向量(自相关因子的投影向量)分别为v1,v2,…,vp，根据式(5)，当a i=vi时，自相关因子的自相关系数=1 -λi2，显然有∈[ -1,1]。将各因子的自相关系数取绝对值，并按从大到小排列，设为：aρ1,aρ2,…,aρl,…,aρp，对应的投影向量分别为av1,av2,…,avl,…,avp。给定一阈值ρθ，本文设ρθ=0.5，若aρl+1＜ρθ≤aρl，则前l个因子y1(t)，y2(t)，…，yl(t)有比较强的自相关性，反映了系统过程状态的自相关特性，本文称为强自相关因子(strong autocorrelation factors，SAFs)。后p l- 个因子自相关性较弱，反映了系统中的噪声，本文称为弱自相关因子（weak autocorrelation factors，WAFs）。

2.2 故障检测

在基于PCA 的故障检测与诊断中，通常利用两个统计量进行在线监控，即：D-统计量用于表征系统主成分的变化规律，Q-统计量表示残差部分的情况。类似地，对于当前测量样本kx，可以用强自相关因子构造D-统计量DSAF(k) 其中，为强自相关因子yi的方差，可通过训练样本计算得到。

同理，对于弱自相关因子，定义Q-统计量QSAF(k)

利用PCA 方法进行在线监控时，假设测量值服从正态分布，则D-统计量和Q-统计量服从相应的分布规律[19]，并能根据其计算控制限。但由于存在自相关性，各自相关因子不服从正态分布，因此不能推导和计算出D-统计量和Q-统计量的控制限。针对未知分布的统计量，最有效的方法是采用非参数概率密度估计，其中最典型的方法是核密度估 计[19]。本文采用单变量的核密度估计方法分别计算D-统计量和Q-统计量的控制限。

单变量核密度估计器定义如下

其中，x为需要估计概率密度的坐标，xi为数据集中的某一观测值，h为窗口宽度（概率密度估计函数的平滑参数），n表示观测样本的数量，K是核函数，本文采用应用广泛的高斯核函数。平滑参数h对于概率密度估计十分重要，如果太大，则得到的函数过于平滑，将滤掉细节，估计误差比较大；如果h太小，则函数欠平滑，的泛化性能较差。Bowman[22]提出参数的优化选择公式

其中，是xi，i=1,2,…,n的平均值，median 表示取中位数。

利用正常工况下的样本，根据核密度估计方法分别估计D-统计量和Q-统计量的概率密度函数，给定分位数即可求得控制限。

当样本的D-统计量或Q-统计量超过控制限时，则认为系统可能出现故障。为了减少虚警，当连续3 个样本的D-统计量或Q-统计量超限时，则认为系统出现故障。

2.3 故障诊断

通过D-统计量或Q-统计量可以检测故障的发生。当出现故障时，希望诊断出故障位置。最直观的方法是利用各变量对超限统计量的贡献图进行诊断[23]。

设 [v1,v2,…,vl]为所有强相关因子的投影向量组成的投影矩阵，根据式（9），则对于样本xk，第i个变量xi对D-统计量的贡献率定义为

其中，vj(i)和xk(i)分别表示向量vj和样本xk的第i个分量，yj(j=1,2,…,l)为自相关因子。同理，对于样本kx，第i个变量ix对Q-统计量的贡献率为

对于传感器故障，当统计量超限时，对该统计量贡献率绝对值最大的变量即被诊断为故障源。

3 仿真研究

连续反应釜（continuous stirred tank reactor,CSTR）是一种典型的化工装置，其仿真模型[24]被广泛应用于故障检测与诊断，工艺流程如图1所示。在充分混合的连续反应釜中进行着不可逆的放热反应：A B→，在反应釜外安装的冷却夹套用于控制反应釜内的温度，使之保持恒定，假设反应釜内的溶液充分混合，忽略热损失。反应过程可由如下的微分方程来描述

图1 非等温 CSTR 流程Fig.1 Flowchart of nonisothermal CSTR

被测变量包括5 个输入：进料流量Fi、浓度CAi、温度Ti、冷却水流量FC和入口温度TCi；3 个输出：产品出口浓度CA、流量F、冷却水出口温度TC；2 个受控量：反应釜内的混合物的体积V和温度T。系统中各参数的设置见文献[22]，各传感器的测量方差为变量均值的0.5%。对上述10 个变量进行监测，采样时间间隔为1 min。

在正常工况下，采集400 个样本组成训练集。为了检验提出方法的故障检测与故障能力，分别引入两种不同的传感器故障作为测试集，引入的故障类型见表1，其中 f(t) 表示故障信号，ft表示故障引入时间。设故障的引入的时间均为第200 个采样点。

根据第2.1 节提出的方法进行统计建模，设自相关阈值ρθ=0.5，得到强自相关因子4 个，弱自相关因子6 个。计算各训练样本的最大最小自相关因子，并计算D-统计量和Q-统计量，在α=0.95下，利用核密度估计方法得到D-统计量和Q-统计量的控制限上限分别为10.38 和15.19。利用所得模型对两种传感器故障进行测试，为了减少虚警，假设连续3 点统计量超限被认为系统出现故障，结果如图2和图3所示。为了说明本文方法的优越性，图中给出了主元分析方法的监控结果，其中主元个数选取准则为主元方差累计和占总方差的90%，即选取前4 个成分为主元。当α=0.95时，D-统计量和Q-统计量的控制限分别为9.65 和2.69。

表1 仿真产生的传感器故障Table 1 Simulated sensor fault

图2 TC 传感器漂移的检测结果Fig.2 Fault detection results for sensor drift of TC

图3 T 传感器固定偏差的检测结果Fig.3 Fault detection results for sensor bias of T

从图2可以看出，对于TC传感器漂移，MAF方法和PCA 方法的D-统计量均在大约第264 个采样点以后出现持续超限，MAF 方法的Q-统计量在第210 个采样点检测到故障，而PCA 方法在216个采样点后才出现持续超限。因此，与PCA 方法相比，MAF 方法能更早地检测到缓变故障。另外，从图2(c)中可以看出：在正常工况下（从1～200 个采样点），MAF 方法的Q-统计量具有较弱的自相关性（自相关系数为0.34），更接近于随机噪声；而图2(d)中的Q-统计量具有较强的自相关性（自相关系数为0.76），说明PCA 的Q统计量中包含非噪声的过程变化信息，造成在第171～175 采样点出现连续超限，从而出现虚警。

MAF 和PCA 方法都能及时检测出T传感器的固定偏差故障，即Q-统计量都分别在201 个采样点后持续超限。如图3所示。然而，从图3(a)看出，当发生故障后，一方面，MAF 方法的D-统计量及时出现持续超限，而PCA 方法的D-统计量在258个采样点后才持续超限；另一方面，故障发生后，MAF 方法下Q-统计量的平均超限量与阈值的比也远大于PCA 方法，说明MAF 方法的D-统计量和Q-统计量对传感器故障更灵敏。

检测到故障后，可以计算出各变量对超限统计量的贡献图。图4表示了在TC传感器漂移下，分别用MAF 和PCA 方法计算出的故障检出点各变量对Q-统计量的贡献图。图5表示在T传感器出现固定偏差时（第201 个采样点），应用MAF 方法和PCA方法计算的各变量对统计量的贡献图。

从图4和图5看出，对于非受控变量TC的传感器故障，两种方法均能从贡献图中诊断出故障源。而对于受控变量T的传感器故障，将引起冷却水流量FC的变化，从PCA 的贡献图中将得出TC传感器为故障源的错误结论。而在MAF 的D-统计量和Q- 统计量的贡献图中，明显看出FC和T的贡献率远大于其余变量的贡献率。这是因为，反应釜内溶液温度为受控变量，其传感器故障将使得控制器错误地调节冷却水的流量。因此，基于MAF 的控制图能很好地解释和诊断该复杂故障。

图4 TC 传感器故障下各变量的贡献图Fig.4 Contribution plots for TC sensor fault

图5 T 传感器故障下各变量的贡献图Fig.5 Contribution plots for T sensor fault

从上述仿真结果可以看出，与PCA 方法相比，MAF 方法能更早地检测缓慢变化的传感器漂移故障，且不出现虚警。PCA 方法和MAF 方法都能通过贡献图诊断出简单故障，而对于被控变量的传感器引起的复杂故障，PCA 的贡献图将得出错误的诊断结果，而MAF 方法的贡献图能合理地解释复杂故障，从而为操作人员和维护人员准确地诊断故障、快速地修复故障提供依据。

4 结 论

本文提出了基于最小/最大自相关因子（MAF）分析方法的传感器故障检测与诊断。与主元分析方法相比，由于最小/最大自相关因子既表示了变量之间的相关性，还反映了变量在时间结构上的自相关性，因此，其统计量对故障更为灵敏，能及早检出缓变故障。基于MAF 和PCA 的贡献图都能较准确地诊断出简单故障，而对于受控变量的传感器故障，PCA 贡献图将给出错误的诊断结果，MAF 贡献图则能给出合理的诊断结果。因此，基于MAF的故障诊断方法能及早地检出故障，较准确地诊断故障源，从而减少故障损失，为操作人员快速修复故障传感器提供条件。

[1]Mehranbod N.A probabilistic approach for sensor fault detection and identification [D].Philadelphia,USA:Drexel University,2002

[2]Hu Y P,Chen H X,Xie J L,Yang X S,Zhou C.Chiller sensor fault detection using a self-adaptive principal component analysis method [J].Energy and Buildings,2012,54:252-258

[3]Fu Kechang (付克昌),Dai Liankui (戴连奎),Wu Tiejun (吴铁军).Sensor fault diagnosis approach based on structure optimized SRAMS [J].Journal of Chemical Industry and Engineering(China) (化工学报),2007,58 (8):2045-2050

[4]Youssef A B,Khil S K,I.Slama-Belkhodja.State observer-based sensor fault detection and isolation,and fault tolerant control of a single-phase PWM rectifier for electric railway traction [J].IEEE transactions on Power Electronics,2013,28 (12):5842-5853

[5]Jafar Z,Ehsan S.Robust sensor fault detection based on nonlinear unknown input observer [J].Measurement,2014,48:355-367

[6]Jia Runda (贾润达),Mao Zhizhong (毛志忠),Wang Fuli (王福利).KPLS model based product quality control for batch processes [J].CIESC Journal(化工学报),2013,64 (4):1332-1339

[7]Pei X D,Yamashita Y,Yoshida M,Matsumoto S.Discriminant analysis and control chart for the fault detection and identification [J].Computer Aided Chemical Engineering,2006,21:1281-1286

[8]Hu Yunpeng (胡云鹏),Chen Huanxin (陈焕新),Zhou Cheng (周诚)，Yang Xiaoshuang (杨小双)，Xu Rongji (徐荣吉).Analysis of sensor fault detection in chiller based on PCA method [J].CIESC Journal(化工学报),2012,63 (S2):85-88

[9]Jinane H,Claude D,Demba D.Incipient fault detection and diagnosis based on Kullback-Leibler divergence using principal component analysis:(Ⅰ) [J].Signal Processing,2014,94 (1):278-287

[10]Garcia-Alvarez D,Fuente M J,Sainz G I.Fault detection and isolation in transient states using principal component analysis［J］.Journal of Process Control,2012,22 (3):551-563

[11]Deng P C,Gui W H,Xie Y F.Latent space transformation based on principal component analysis for adaptive fault detection [J].Control Theory & Applications,IET,2010,4 (11):2527-2538

[12]He Ning (何宁).Researches on performance monitoring and fault diagnosis for process industry based on ICA-PCA technique [D].Hangzhou:Zhejiang University,2004

[13]Shi H T,Liu J C,Xue P,Zhang K,Wu Y H,Zhang L X,Tan S.Improved relative-transformation principal component analysis based on mahalanobis distance and its application for fault detection [J].Acta Automatica Sinica,2013,39 (9):1533-1542

[14]Wang S W,Cui J T.Sensor-fault detection,diagnosis and estimation for centrifugal chiller systems using principal-component analysis method [J].Applied Energy,2005,82 (3):197-213

[15]Joydeb Mukherjee,Venkataramana B Kini,Sunil Menon,Lalitha Eswara.Gas turbine fault detection and diagnosis using nonlinear feature extraction methods//ASME Turbo Expo 2005:Power for Land,Sea,and Air [C].Reno,Nevada,USA,2005,9 (1):737-743

[16]Uluyol O,Kyusung Kim,Nwadiogbu E O.Synergistic use of soft computing technologies for fault detection in gas turbine engines [J].Systems,Man,and Cybernetics,Part C:IEEE Transactions on,Applications and Reviews,2006,36 (4):476-484

[17]Switzer P,Green A A.Min/max autocorrelation factors for multivariate spatial imagery [R].Stanford University,Tech.Report No.6,Department of Statistics,1984

[18]Nielsen A A.Kernel maximum autocorrelation factor and minimum noise fraction transformations [J].IEEE Transactions on Image Processing,2011,20 (3):612-624

[19]Woillez M,Rivoirard J,Petitgas P.Using min/max autocorrelation factors of survey-based indicators to follow the evolution of fish stocks in time [J].Aquatic Living Resources,2009,22 (2):193-200

[20]Kresta J,MacGregor,J F,Marlin,T E.Multivariate statistical monitoring of process operating performance [J].Canadian Journal of Chemical Engineering,1991,69:35-47

[21]Bowman A W,Azzalini A.Applied Smoothing Techniques for Data Analysis [M].Oxford:Oxford University Press,1997

[22]Bowman A W.An alternative method of cross-validation for the smoothing of density estimates [J].Biometrika,1984,71 (2):353-360

[23]Li G,Qin S Z,Ji Y D,Zhou D H.Total PLS based contribution plots for fault diagnosis [J].Acta Automatica Sinica,2009,35 (6):759-761

[24]Luyhen W.Process Modeling,Simulation,and Control for Chemical Engineers [M].New York:McGraw-Hill,1988