动态总方差及其在陀螺振动信号分析中的应用*

朱战辉，汪立新，李　灿

（第二炮兵工程大学控制科学与工程系，西安710025）

动态总方差及其在陀螺振动信号分析中的应用*

朱战辉，汪立新*，李灿

（第二炮兵工程大学控制科学与工程系，西安710025）

动态Allan方差是分析动态环境下陀螺仪随机误差变化规律的一种新方法。针对其运用窗函数截取信号导致方差估计值置信度降低，尤其是长相关时间上估计误差大的问题，提出了动态总方差法。用矩形窗分段截取陀螺仪量测信号，再对截断窗内数据进行倒像映射延拓以增加方差估计的实际自由度，最后计算延拓后样本的Allan方差并提取其噪声系数，将其按时间顺序分别以三维和二维的形式表征出来，以细化和辨识陀螺输出的动态特性。从对半球谐振陀螺线振动试验实测数据处理结果来看，新算法不仅能及时跟踪信号的非平稳变化，而且有效提高了振动信号方差估计值的置信度。

陀螺仪；动态特性；动态Allan方差；总方差；振动信号

EEACC：7230；7310Gdoi：10.3969/j.issn.1004-1699.2015.12.010

陀螺仪是惯性导航系统的核心部件，其静动态性能的优劣直接影响到导弹、火箭及其它飞行器的工作精度。在惯导系统工作过程中，机械振动是不可避免且长期存在的，陀螺能否在振动环境下保持高稳定性与高精度成为影响整个惯导系统精度的重要因素［1］。Allan方差是一种从时域数据中分析振荡器频率稳定性的方法，能够对陀螺输出角速率中存在的各个噪声项和整个噪声系统进行细致的表征和辨识［2］。但该方法只能对陀螺静态信号随机误差进行分析，不能表征其在动态激励下的时域非平稳特征。因此近年来有学者将用于分析原子时钟频率非平稳性的动态Allan方差DAVAR（Dynamic Allan Variance）引入到陀螺随机噪声的分析中来［3-4］。文献［5-6］将该方法应用到光纤陀螺振动和变温条件下的性能评价上，有效地表征出了输出信号在动态试验中所表现出的时变特性。然而由于动态Allan方差法引入了窗函数截断的理论，使截断窗内参与Allan方差计算的数据相对整个序列来说大幅减少，这对短相关时间下噪声系数的拟合来说影响较小，但中、长相关时间下噪声系数（低频噪声系数）的拟合精度将大大降低。如果一味的通过增大窗宽的方法来增加方差估计的置信度，必然会降低动态跟踪效果，与动态Allan方差方法的设计原则相背离。因此，要想提高低频噪声系数的拟合精度就必须立足于有限数据量去改进方差估计算法，以提高中、长相关时间下的估计置信度。

实际上，学者们已经对有限数据量下提高方差估计置信度的方法开展了大量的研究。比较成熟的方法主要有重叠Allan方差，是通过重叠采样形成所有可能的相关时间为τ的子序列，来最大限度的利用现有数据估计Allan方差［7］。Allan总方差是采用倒镜像映射的方法，对数据两段进行延伸，然后再对延伸后的数据计算其Allan方差，可以有效提高长相关时间下方差的估计精度［8］。#1理论方差是模仿Allan方差的较新的统计方法，其相关时间可以从10到0.75 N，具有更好的置信度，但#1理论方差是对Allan方差的有偏估计，因此需要对其做偏差修正［9］。ThêoH方差是去除了#1理论方差与Allan方差之间偏差，再与Allan方差合成的较新的统计方法，尤其适合于相关时间较长和多种噪声混合存在的情况，可以从相同的数据序列中最大程度的获得更多的统计信息［10］。韩军良、石国祥等将总方差法引入到光纤陀螺静态信号的随机误差分析中，有效的提高了长相关时间下噪声系数的估计值置信度［11-12］。本文将动态总方差法提出的倒镜像延伸数据的思想运用到DAVAR算法截断窗窗内数据估计置信度的提高上，有效改善了中、长相关时间下随机噪声系数的拟合精度。通过对线振动试验中半球谐振陀螺量测信号的分析，验证了本文算法的有效性。

1　动态Allan方差

DAVAR法是Allan方差法的扩展，其原理是用固定长度的矩形窗函数分别截取信号在不同时段内的数据，计算其Allan方差，并把方差的集合、时间和相关时间（平均因子）在同一幅三维图上表示出来，以表征信号方差在时间域的变化特征。进一步还可以用最小二乘法提取出每个截断窗内样本的噪声系数，再分别按时间顺序上排列出来，绘制出各个噪声系数的时间变化曲线。

2　总方差

2.1总方差法的原理

Allan方差的估计是基于有限长度的数据，估计的可信度依赖于数据的独立组数。对于给定的随机序列，如果数据样本越少，可划分的组数就越少，Allan方差的估计置信度较差，估计误差就越大［11］。针对此种情况，总方差法通过对原始数据进行倒镜像映射延拓的办法来增加自由度，其原理如下：

设有一个时间序列信号xi（i=1,2,…,N），采样时间为τ0，将这个序列通过映射延伸成一个新的、更长的虚拟序列x∗i，映射的规则为

其经过横轴平移后的映射示意图如图1。

图1　R总方差定义下的数据映射示意图

得到虚拟序列的长度接近于原始序列的三倍，式（1）为映射后序列的计算公式，其中m为平均因子，1≤m≤N-1

对比二者的定义可以看出，Allan方差估计的相关时间τ只能达到，而总方差估计的相关时间则达到。

图2为对同一组陀螺输出进行Allan方差分析和总方差法分析的双对数曲线图，可见在长相关时间，也就是大的平均因子下，总方差法是收敛的，且具有更大的τ值，而Allan方差是发散的。

图2　RAllan方差和总方差双对数曲线比较图

2.2总方差法的估计误差

用总方差法分析陀螺数据时，仅给出方差的估计值是不完整的，还应该给出这个估计值的置信度，置信度取决于自由度。在样本数据量大小不能改变前提下，文献［10］运用交叠Allan方差、总方差和ThêoH方差对频率稳定度进行了分析，结论是在τ=T/2情况下，ThêoH方差的自由度大于总方差的自由度，总方差的自由度又大于交叠Allan方差的自由度。但是ThêoH方差的计算量特别大，不适合实时在线分析。因此我们选用了总方差来替换Allan方差进行陀螺随机误差系数的动态提取。文献［7］通过对陀螺和加速度计的分析，也证明了在长相关时间下总方差的估计准确度要大于交叠Allan方差和Allan方差。

3　动态总方差算法设计

动态总方差DTVAR（Dynamic Total Variance）借用DAVAR法用窗函数截断数据的思想，分段截取数据后按照一定规则进行数据延拓，计算其Allan方差和标准差并将其按时间序列排列，DTVAR方法的具体实现步骤如下：

图3　RDTVAR算法设计流程图

①确定随机信号x（t）分析时间起始点t1。

②用中心点为t1，宽度为L的窗函数截断随机信号x（t），获得窗口截断信号yT（t1,t′），支撑变量t′描述窗内渐逝的时间

PW（t′）为长度L的窗函数，截取得到的信号为

③将窗口截断信号yT（t1,t′）按照式（1）进行倒像映射延伸，得到虚拟序列

④将y*T（t1,t′）同Allan窗口hτ（t′）做卷积建立增量过程Δ（t1,t′,τ）

这时变量t′的范围变为

0≤τ≤τmax，通常取τmax=L/3，则动态总方差在t1时刻的估计值为

Allan方差可以被定义为上式的总体期望值

对比Allan方差和总方差的定义可以看出，Allan方差估计的相关时间τ只能达到Nτ0/2，而总方差估计得相关时间τ则达到Nτ0，估计范围得到了扩展。

⑤陀螺的部分主要随机噪声系数可以通过最小二乘拟合分离出来，公式如下

其中Q、N、B、K、R分别代表了陀螺的噪声系数：量化噪声（quantization noise）、随机游走系数（angle random walk）、零偏不稳定性（bias instability）、速率随机游走（rate random walk）和速率斜坡（the rate slope）。

⑥将窗口滑动到t2，用窗函数PW（t′）截取x（t），获得窗口截断信号yT（t2），重复步骤（2）～步骤（6），得到σ（t2,τ），以此类推，可以得到时间域的总方差序列σ（tN,τ）。其中tn+1截断的窗口最好与以tn为中心截断的窗口相重叠。

⑦最终将动态Allan方差序列σ2（tN,τ）或动态Allan标准差DADEV（Dynamic Allan Deviation）σ（tN,τ）按时间顺序绘制在σ（tN,τ）-τ-t的三维图上，从宏观上表征随机误差的动态特征。

4　动态试验验证

半球谐振陀螺（HRG）是一种基于哥氏效应的陀螺仪，具有启动时间短，长期稳定性好等特点［13］。本文以71号陀螺在线振动试验中采集到的角速率量测信号为原始数据，振动试验初始加速度为5 g，线振动固定频率为1.5 Hz，采样时间为0.1 s，采集数据6 173个。对该信号进行预处理，得到随机误差信号如图5所示。

图4　R陀螺线振动实验台

图5　R振动条件下半球谐振陀螺量测信号

分别运用DTVAR和DAVAR方法对半球谐振陀螺量测信号进行三维分析的结果如图6和图7所示，可以看到，动态过程在三维图中得到了表征，颜色亮度的变化同标准差数值大小成正比。此外，图7比图6在长相关时间下方差估计值的波动要大的多，这正是Allan方差在长相关时间下自由度低于总方差法造成的。比较看来，DTVAR方法能更好的对HRG进行动态特征分析。

图6　R半球谐振陀螺振动试验信号的DTVAR分析

图7　R半球谐振陀螺振动试验信号的DAVAR分析

将随机噪声系数中比较重要的角度随机游走和零偏不稳定性分别用DTVAR和DAVAR方法对其进行辨识，再用最小二乘法拟合出来，其中DTVAR用的是401窗宽，DAVAR分别用401窗宽、801窗宽和1 201窗宽，比较结果如图8、图9所示。

图8　R零偏不稳定性的DAVAR和DTVAR比较分析

图9　R角度随机游走的DAVAR和DTVAR比较分析

DAVAR方法提出者Galleani L指出，截断窗越短，动态跟踪能力越强，但方差估计值的置信度较低；截断窗越长，方差估计值的置信度较高，动态跟踪能力越差，两者是一组矛盾，通常很难平衡。而DAVAR方法在一定程度上解决了这个矛盾，即用较短的窗宽截取信号依然可以保持较高的置信度。为验证这一点，我们分别用DAVAR和DTVAR方法对振动段信号进行分析，截断窗长同为401。从图8和图9中可以观测到，无论是角度随机游走还是零偏不稳定性，DAVAR方法的方差估计值总是大于DTVAR。要想使DAVAR与DTVAR的估计值相同就需要增加DAVAR截断窗长，零偏不稳定性噪声系数的分析窗长需要增加到1 201，而角度随机游走系数的分析窗长需要增加到801。然而，随之而来的是动态跟踪能力的下降。

从图8和图9还可以看到：DAVAR方法1 201窗长和801窗长所定位的突变发生点都较大的偏离了真实的突变发生点。这是因为长窗宽截断窗包含了更多的数据，过早的把振动信号包含了进来；振动结束后，窗口又迟迟不能离开振动发生点。此外，还可以看到1 201窗长使整个振动过程都发生了严重的畸变，振动过渡段被大幅拉长，而实际上，无论振动开始，还是振动结束，其过渡过程都是很短暂的。DTVAR的估计值比DAVAR的波动性小，更适合分析动态特性及动态变化时间点的准确定位。

HRG动态试验是固定频率的正弦线振动试验，所以当振动进入平稳振动段，也就是2 000采样点到3 500采样点时，我们可以认为此时间段里陀螺的输出也是平稳的，DTVAR三维分析图也验证了这个推断。为更准确的比较这两种算法的准确度，我们参照文献［14］的方法，分别对平稳振动段（2 000～3 500采样点）和静态段（4 300～5 800采样点）的信号展开分析，分别绘制出陀螺5个主要随机噪声系数在这两个阶段的动态变化曲线。同时用这两个数据段的Allan方差值作为标准值，截断窗内样本数据为401个属于小样本，而该数据段包含了1 500个数据，样本数据量大，显然置信度要高于截断窗内数据的置信度，因此将其作为大样本下的标准值。对两种算法展开比较，结果如表1和表2所示。可以看出：动态总方差法的噪声系数拟合准确度要高于DAVAR方法。尤其在中、长相关时间下的噪声系数，如速率随机游走和速率斜坡的拟合精度上，有了较大改善。

图10是分别用DTVAR401窗长，DAVAR401窗长和DTVAR1201窗长对信号进行辨识获得的零偏稳定性时间变化曲线。48.67是振动段大数据样本（2 000～3 500点）下用Allan方差辨识出来的高置信度基准值。可以看到，用DTVAR401窗长提取的振动条件下零偏稳定性与基准值最为接近。

图10　R振动条件下零偏不稳定性比较分析图

表1　R振动条件下噪声系数的方差估计值

表2　R静态条件下噪声系数的方差估计值

5　结论

针对动态Allan方差法用窗函数截断数据造成方差估计值置信度低，导致噪声系数拟合精度不高的问题，提出了基于倒镜像映射延伸数据的动态总方差法，用总方差替代Allan方差进行截断窗内数据的方差估计。将提出的动态总方差法应用于半球谐振陀螺线振动试验实测数据的动态特征分析，结果表明：新算法在不降低动态跟踪效果的前提下，有效提高了截断窗内方差估计值的置信度，尤其是中、长相关时间，也就是大平均因子下的方差估计置信度。此外，该算法具有较快的运算速度，可以用于陀螺噪声系数的实时在线提取及分析。

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Dynamic Total Variance and Its Application in Analysis of Dynamic Characteristics of Gyroscope*

ZHU Zhanhui，WANG Lixin*，LI Can
（The Second Artillery Engineering University，Xi'an 710025，China）

The dynamic Allan variance（DAVAR）is a new method for analyzing random error of gyroscope.However，it has defects such as poor confidence on the estimate and great estimation error at long-term τ-values，due to the reduced amount of data captured by the truncation windows.An improvement dynamic Allan variance is proposed to increase the confidence in the case of long-term τ-values.Firstly，the random error of FOG is truncated with the window function.Then the data in the windows are extended by the total variance method to improve the confidence on the estimate，At last the Allan variance of extended data is calculated，and the noise coefficients of gyro can also be identified and extracted at the same time.At last，they are expressed by three or two-dimensional to describe the dynamic characteristics of gyro.The measured data of linear acceleration test for Hemispherical Resonator Gyro is analyzed with proposed algorithm and dynamic Allan variance.The results shows that proposed algorithm can track the non-stationary of gyroscope more effectively and obtain a lower estimation error at long-term τ-values.

gyroscope；dynamic characteristics；dynamic Allan variance；total variance；vibration signal

朱战辉（1978-），男，河南人，博士研究生，控制科学与工程专业，主要研究方向为惯性系统及测试，数字信号处理，zzhhit@sina.com；

汪立新（1966-），男，湖北人，博士学位，教授，博士生导师，主要研究方向为：惯性技术、组合导航及信号测试与处理，wlxxian@163.com。

V241.5

A

1004-1699（2015）12-1789-06

项目来源：国家自然科学基金项目（61503390）

2015-07-17修改日期：2015-09-15