高观点下的初等数学案例探究

2015-09-01 07:07王明星

通化师范学院学报 2015年6期

杨军，王明星

(新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐 830054)

笔者曾经是一位在中学任教的数学教师，如今在大学任教.在从中学教师到大学教师身份转换的过程中，一直在思考一个问题，为什么大学四年学了那么多高等数学的知识，但是却鲜有能够直接用在中学数学中的相关内容呢？(当然我们从不奢望高等数学的知识都可以用在中学数学中，这样的想法既不现实，也不可行.因为高等数学的学习并不仅是为大学生从事中学数学教学而准备的)为此，笔者认真研读了德国著名数学家菲利克斯·克莱因的名著《高观点下的初等数学》，在这本名著中作者认为“数学教师应具有较高的数学观点.观点越高，事物就越显得简单”.大师的观点使笔者深受启发，受益匪浅.也正是基于这种思想，笔者抛砖引玉，通过案例分析的形式，并特别遵循“自下而上”的“草根视角”，探寻其背后蕴含的高观点，从而为挖掘高等数学对中学数学教学的指导作用提供些许启发.

1 从相似三角形的对应边到集合的基数

1.1 相似三角形的对应边

已知ΔABC～ΔDEF，其中AB与DE，BC与EF，AC与DF分别为对应边.如何深刻理解相似三角形边的对应关系呢？

据此，可以得出线段BC上的点和线段EF上点的个数一样多.从而可以得到一个令人不可思议的结论：一条较长线段上的点居然和一条较短线段上的点的个数一样多，换言之，“部分”居然等于“整体”.这个结论不仅会困扰我们，在历史上也同样困扰着诸多数学家，例如伽利略、克罗内克等.而最终回答了上述困惑的是德国数学家康托尔，康托尔通过建立集合之间的一一映射关系定义了集合的基数，最终严格说清楚了“部分”居然等于“整体”的道理.

1.2 集合的基数

对两个集合A和B，如果存在从A到B的一一映射，则称A和B等势，记为A≈B.彼此等势的集合具有相同的元素个数，即称为集合的基数.

显然根据集合基数的定义，可以得到很多“部分=整体”的结论.

图1 自然数的个数与其中偶数个数的对应图

从集合基数的概念可知，只有无限集才可能出现“部分=整体”.事实上，也只有通过集合的等势关系才可以定义无限集，即如果集合A可以和其真子集建立等势关系，则这个集合一定是无限集.这样就避免了用“无限”定义“无限集”的逻辑循环错误.

自然数有无穷多个，有理数也有无穷多个.那么是不是意味着所有无穷集合的元素个数都是一样多的“无穷”呢？不是的.实际上，康托尔严格证明了实数的“无穷”比自然数的“无穷”大.不仅如此，他还证明了更一般的结论：任给一个无穷集M，它的所有子集的个数总比M的元素个数多[1].

2 从“十字相乘法”到高次方程的有理根

2.1 十字相乘法

十字相乘法是中学数学中求一元二次方程有理根的方法，现行初中数学教材已经删去了关于“十字相乘法”的相关内容.删去的理由是：求根公式法是一种直接的、重要的、适用面更广的通性解法，运用公式法既可以求一元二次方程的有理根，对于没有有理根的方程，也可求其无理根.而十字相乘法只适用于求一元二次方程的有理根，对于没有有理根的一元二次方程，十字相乘法就失去了应用价值[2].

如果仅从求一元二次方程根的角度看，删去只适合求特殊的有理根的“十字相乘法”是可以理解和接受的.但是如果把问题放在求解更高次方程的根来看，上述删去十字相乘法的理由其实是比较牵强的.

众所周知，一元三次和四次方程都有求根公式，但对于五次及五次以上的一元高次方程，不但不存在用根式表示根的一般公式，甚至对于具体的数字方程，也难以用根式来表示.因此，既然五次及五次以上一元高次方程没有用根式表示根的一般公式，那么退而求其次，是否有统一的方法求五次及五次以上的一元高次方程的有理根呢？答案是肯定的，方法就是“十字相乘法”.换言之，初中的“十字相乘法”其指向的就是如何求五次及五次以上有理系数的一元高次方程的有理根.

注意到一个有理系数多项式f(x)乘以一个整数k,就可以化成整系数多项式kf(x)，而f(x)与kf(x)显然具有相同的根，所以只研究如何用“十字相乘法”的基本思想求整系数多项式的有理根.

2.2 高次方程有理根的求法

据此，要求整系数多项式f(x)的有理根，只需找出其最高次项系数a0的所有因数，常数项an的所有因数，然后组合即可.

3 从二项分布到正态分布

3.1 二项分布

3.2 正态分布

图2 函数的图像

特别地，μ=0、σ=1时称为标准正态分布.

3.3 二项分布与正态分布的关系

图3是二项分布中n分别为10、15、20、30，p=0.3时的概率分布直方图.

图3 二项分布直方图

从图3可以看出，当二项分布的试验次数n趋向无穷大时，其极限分布即为正态分布.这一结论最早由棣莫弗在求二项分布的渐近公式时发现，即著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理.它指出参数为n,p的二项分布当n趋向无穷大时，其极限是以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布.

3.4 利用正态分布近似计算二项分布的概率

例1 某大学有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现学生排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团提议增设水龙头.后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1%的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，请问未装新水龙头前，拥挤的概率是多少？

解设同一时刻5000个学生中占用水龙头的人数为X，则X～B(5000,0.01)，从而拥挤的概率是

P(0≤X≤45)=P(-7.10≤ξ≤-0.71)≈
Φ(-0.71)-Φ(-0.71)=0.2389

因此拥挤的概率P(X≥45)=1-P(0≤X≤45)≈0.7611 .

4 从三角形的相似性到曲线的相似性

在中学平面几何中，只介绍了相似三角形的定义、判定方法和性质，没有涉及其他图形(例如圆、圆锥曲线、三角函数图像等)的相似问题.其实对于其他图形也有相似与否的问题.在日常生活中常说的两个图形相像，也常说把一张照片放大或缩小，这些都是相似的通俗说法.那么数学中曲线相似的定义、判定方法和相应的性质是什么呢？