对数线性Gamma分布模型极大似然估计的强相合性和渐近正态性

2015-09-03 10:41刘双花尹长明邓娌莉
关键词:正态百色对数

刘双花,尹长明,邓娌莉

(1.百色学院 数学与计算机信息工程系,广西 百色 533000;2.广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

对数线性Gamma分布模型极大似然估计的强相合性和渐近正态性

刘双花1,尹长明2,邓娌莉1

(1.百色学院 数学与计算机信息工程系,广西 百色 533000;2.广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

在‖Zn‖=o(logn)和(对某个c>0,α>0)等条件下,证明了对数线性Gamma分布模型极大似然估计(MLE)的强相合性和渐近正态性,其中设计阵序列{‖Zn‖}可以为无界序列.

对数线性Gamma分布模型;强相合性;渐近正态性

1 引言和主要结果

广义线性模型(GLM)是一般线性模型的重要推广,它既适用于连续数据,又适用于离散数据,特别是后者.自从Nelder和Wedderburm[1]引入此模型以来,就得到了广泛地应用,尤其是在生物、医学和社会数据的统计分析等领域.

假设响应变量yi服从Gamma分布,且密度函数为

这里,yi是响应变量,μi是期望且μi>0,v是形状参数且v>0.

当联系函数取自然联系函数时,就得到了线性Gamma分布模型,有

由于均值μi>0,那么线性预测,这样对β就增加了限制.而当联系函数取

时,就得到对数线性Gamma分布模型,不需要对β加以限制.

根据(1),可知yi的对数似然函数为

根据(3)和(4)有

可知得分矩阵和信息矩阵分别为

等来证明了GLM极大似然估计的相合性和渐近正态性.在非自然联系情况下,由条件

等证明了GLM极大似然估计的相合性和渐近正态性,这里Fn表示信息矩阵Fn(β)在β0处的取值,

是标准化的信息矩阵,λmaxA(λminA)表示矩阵A的最大(小)特征根.本文去掉{Zi,i≥1}有界的限制,在‖Zn‖=o(logn) 和(对某个c>0,α>0)等条件下,建立了对数Gamma分布模型MLE的强相合性和渐近正态性,即下面定理.

定理1 假设β0是对数线性Gamma分布模型回归参数向量β的真值且满足下列条件:

2 定理的证明

为了定理的证明,先引入下列引理:

引理1[10](Bernstein不等式)设x1,x2,…,xn是独立的随机变量,|xi|≤b<∞,Exi=0,i=1,2,…,n.记则对任意ε>0

引理2[11](向量值函数中值定理)设X=(x1,x2,…,xp)′,F=(f1,f2,…,fp)′.

如果fi=fi(x1,x2,…,xp)(i=1,2,…,p)在凸集上G⊂kp上连续可微,则对任意α,β∈G,有

因为由定理1的条件知,‖Zn‖=o(l ogn),其中β在β0的附近,则对充分小的,有i-ε≤eZiβ≤iε[36].

为证(15)式,只需证明以概率1,当n充分大时,

取足够大的某个s,记r=2s+1,

其中I(·)是示性函数.再根据Cr不等式有

所以由Borel-Cantelli引理知,以概率1,当n充分大时,

由定理1的条件知,

根据(22),(23),(24)和(25)式知,为证(19)式,等价于证明以概率1,当n充分大时,

根据引理1,(29),和(30)知

由Borel-Cantelli引理,以概率1,当n充分大时,

同理可证,由中值定理

由(23)、(32)、(33)和(34)式,以概率1,当n充分大时,(26)式成立.

故由(23)和(35)式,以概率,当n充分大时,

因此(27)式成立.由(26)和(27)知,以概率,当n充分大时,(19)和(15)式成立.从而存在使得(11)和下面的(37)式成立.

下面证渐近正态性.

根据(37)式和引理2得

由Linderberg中心极限定理知(40)成立.

其次证明,当n→∞时,有

根据(7)(8)(9)和(10)式可得

由定理1的条件知,

根据Markov不等式知

由(52),(51),(49)和(44)知(43),(42)成立.

最后,根据(37)、(40)和(42)可得,(12)成立.

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责任编辑:毕和平

Strong Consistency and Asymptotic Normality of the Maximum Likelihood Estimator in the Log Linear Gamma Model

LIU Shuanghua1,YIN Changming2,DENG Lili1
(1.Depatment of Mathematics and Computer Information Engineering,Baise University,Baisei533000,China;2.Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning530004,China)

In the log linear Gamma model,under assumptions that ‖Zn‖=o(logn)andfor somec>0,α>0,the strong consistency and asymptotic normality of the maximum likelihood estimates of the regression parameter vector were established,whereZnare regressors.

the log linear Gamma model;strong consistency;asymptotic normality

O 212.1

A

1674-4942(2015)02-0122-05

2015-03-08

百色学院一般科研项目(2014KB09)

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