向量教学中两种思维的渗透

杨斌

摘 要： 向量是高中数学引入之后极为重要的章节，其主要体现在思维灵活度的考查上成为近年考查的热点.向量教学最主要的是两种思维方式的渗透，即图形化和代数化.

关键词： 向量 思维 图形化 代数化

向量自引入高中数学之后，渐渐成为高中数学考查的热点和难点.向量以其独特不同于代数的运算方式，又介于代数和方向之间的特点，形成了连接两者的纽带.吴文俊先生说过：向量真是个好东西，我实在想不出除了向量之外，还有什么武器可以把泛函问题做得如此简洁.

中学数学中的向量基本只涉及两维，除了向量基本概念、运算之外，还介绍了向量之间的加减合成及向量的数乘和数量积运算，这些向量知识构成了中学数学向量的主体.问题千万变，思想两主线.向量教学是笔者非常喜欢的章节教学，学生常常反映向量问题做不好、想不来，其实主要原因在于学生对于向量问题的方向把握还不明确，对于向量自由性的理解依旧不深刻，对于向量的运算也未达到应有的要求.以平面向量基本定理为例，作为唯一的分解，其实很多学生只理解在正交分解的前提下，正交分解是自由向量分解的一种特殊情形，所以学生对于很多自由化的向量问题无从下手，正是因为平面向量基本定理知识的缺失，此为图形化方式掌握得不扎实；以笛卡尔直角坐标系中的向量，可以使用向量的正交分解下的坐标运算来实现，但是学生又对具备一定运算量的代数化运算有所担忧，此为坐标化代数运算的缺失.笔者建议，向量教学试题要以精为主，具备一题两方向的教学，是两种思维方式渗透的有效手段，势必在思维导向上引导学生有方向地解决向量问题.

问题1：已知 · =0，向量 满足（ - ）·（ - ）=0，| - |=5，| - |=3，则 · 的最大值为？摇 ？摇？摇？摇.

图形化：设| |=a，| |=c，则有已知条件 · =0，（ - ）·（ - ）=0如左下图易得Rt△ABC和Rt△OAB中，∠AOB=∠ACB=90°且OACB四点共圆，圆的直径就是5，又由圆的性质可设∠AOC=∠ABC=θ，在Rt△ABC中cosθ= ，则在△OAC中由余弦定理及基本不等式得3 =|AC| =a +c -2accosθ≥2ac-2ac = ac，∴ac≤ = ，∴ · =a·c·cosθ≤ × =18.

代数化：以C为坐标原点CA为y轴，CB为x轴建立直角平面坐标系，易得A（0，3），B（4，0）.设O（x，y），则 =（-x，3-y）， =（4-x，-y）， =（-x，-y）即y -3y=4x-x ，∵ · =-4x+x -3y+y =0，即y -3y=4x-x ，∴ · =x +y -3y=x +4x-x =4x.而O（x，y）横坐标x的取值范围为[- ， ]，所以4x∈[-2，18]，从而 · 的最大值为18.

问题2：设 ， 为单位向量，非零向量 =x +y ，xy∈R，若 ， 的夹角为 ，则 的最大值等于？摇 ？摇？摇？摇.

分析：该题考查了对于平面向量的基本概念的综合运用，涵盖了单位向量、平面向量的基本定理、夹角、向量的模等反应向量特点的概念和定理.最值问题求解，体现了静中有动，题目简约而不简单.

图形化：不妨设x≠0，由 =x +y ，x，y∈R = + ，∴| |=| + |（ ∈R），结合平行四边形法则，| | = （垂直时），所以 的最大值为2.

说明：利用图形化，掌握图形变化的本质，结合数形结合，直观而简洁.

代数化： =| | =（x +y ） =x +y + xy，

说明：代数法手段是从函数入手，通过相关运算得到一个两元函数，然后换元转换为一元函数求解最值.

问题3：设向量 ， ， 满足| |=| |=1， · =- ，< - ， - >60°，则| |的最大值等于？摇？摇 ？摇？摇.

图形化：向量 ， 满足夹角120°，且 - 与 - 夹角是60°，以四点共圆建构图形.设 = ， = ， = ，则CB= - ， = - ，∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知点C的轨迹是优弧 上一动点，显然当点C为优弧 中点时，| |=| |取到最大值，即为O，A，B，C四点所在圆直径.易得| |=| - |= ，在△ABC中，由正弦定理：2R= = =2.

代数化：可以从< - ， - ≥60°及数量积出发，利用不等关系及均值不等式求| |的最值.由题意| + |= =1，由（ - ）·（ - ）= · -（ + ）· +| |，

又（ - ）·（ - ）= | - |·| - |≤ [（ - ） +（ - ） +（ - ）]= [1-（ + ）· +| | ]，

结合上述两式： · -（ + ）· +| |≤ [1-（ + ）· +| | ]，

化简得：| | ≤2+（ + ）· ≤2+| + |·| |=2+| |，得：| | -| |-2≤0？圯| |≤2，即最大模长为2.

本题的代数方法独树一帜，既要考虑一般性展开，又要利用数量积公式，再利用不等式进行放缩求得.笔者认为平时教学要多考虑“代数化”，有利于学生解题方向感的培养.

从上述三个问题可以看出，向量问题一般均可以从两个思维角度入手考虑，笔者对上述问题常常采用图形化和代数法的思维角度教学，不断通过教学引导学生向量问题的两种解决思路，这是培养中学数学向量问题解决的两个重要导向.通过问题我们可以感受到，向量代数法的思维方式主要是以运算来解决的，侧重少思考多运算，图形化的思维方式偏重于思考、轻运算，教学时应以学生学情因材施教、两法并举，让学生在薄弱环节得到提升，从而实现向量教学的高效性.值得注意的是，向量教学两种思维方式的培养要循序渐进，笔者建议是以代数化为主的方式比较适合初学者，图形化思维方式更适应高三复习教学，这样安排教学是为了适应新课程螺旋式上升的教学理念，让思维发展有一个循序渐进的过程.两种思维渗透，更有利于学生思维发散性的培养.

参考文献：

[1]宋卫东.从生“动”到生动，诠释思维品质的提升[J].中学数学月考，2013，5.

[2]方厚石.向量教学诠释思维品质[J].数学通讯，2014，1.