透过现象看本质，审清题意找方法

姚琦

通过本章的学习，同学们经历了从“三元”到“二元”，从“二元”到“一元”的转化过程，体会到了“消元”、“化归”等思想，学会把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题. 懂得这些是为了利用二元一次方程组解决实际问题，关键是找出问题中蕴涵的等量关系，建立合适的方程组求解.

例1 若（a-2）x↑a-1+3y=1是关于x、y的二元一次方程，则a=______.

【分析】本题根据二元一次方程的定义，需要满足两个条件：（1） 含有两个未知数； （2） 未知数的最高次数是1，据此就可求解.

解：由题意得：a-2≠0，

a-1=1.求得a=-1.

例2 写出一个解为x=1，

y=2.的二元一次方程组.

【分析】给未知数添加一定的系数就可得到一个方程，要注意的是确定一个方程后，第二个方程的系数要和第一个方程系数不成比例，否则化简后将是同一个方程.

解：2x+y=4，

3x-2y=1.

例3 若x=1，

y=-1.是方程组ax+2y=b，

4x-by=2a-1.的解，则a=______

b=______.

【分析】根据方程组解得定义，将x=1，

y=-1.代入方程组ax+2y=b，

4x-by=2a-1.后便可得到关于未知数a、b的新的方程组a-2=b，

4+b=2a-1.，即可求出a、b的值.

解：将x=1，

y=-1.代入方程组ax+2y=b，

4x-by=2a-1.得a-2=b，

4+b=2a-1.解这个方程组得a=3，

b=1.

例4 已知方程组x+2y=k，①

2x+y=k-7.②的解满足x+y=3，求k的值.

【分析】本题有4种解法：

（1） 由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与x+y=3联立组成方程组，求出x与y的值. 最后将x，y的值带代入方程组中任一方程即可求出k的值.

（2） 把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.

（3） 把方程组中的两个方程相加，得到3（x+y）=2k-7，把x+y=3整体代入即可求出k的值.

（4） 把三个方程联立构成三元一次方程组，求出k的值.

x+y=3，③

解法一：

②-①得 x-y=7，④

③+④得2x=-4，

∴x=-2.

把x=-2代入④得y=5，

把x=-2，y=5代入①得k=8，

解法二：①×2-②，得：y=k+73，

②×2-①得：x=k-143，

把x，y代入③得k+73+k-143=3：

∴k=8.

解法三：①+②得：3（x+y）=2k-7，

把x+y=3代入得

3×3=2k-7

∴k=8.

解法四：解方程组x+2y=k，

2x+y=k+7，

x+y=3.得x=-2，

y=5，

k=8.

例5 已知方程组ax-5y=15，

4x-by=-2.由于甲看错了方程中的得到的方程组①的a得到方程组的解为x=-3，

y=-1.乙看错了方程②中的b，得到的解为x=5，

y=4.若按正确的计算，求原方程的解x与y.

【分析】甲看错了①中的a得到的解不影响方程②，同样乙看错了方程②中的b得到的解不影响方程①，运用方程解的定义重新组成新的方程组，这样可以求出待定系数a、b，重新代入可求出方程组的解.

解：由题意得方程组：

-12+b=-2，

5a+20=15.解得a=-1，

b=10.代入原方程组得-x-5y=15，

4x-10y=-2.

解这个方程组得x=-1，

y=295.

例6 解方程组 x+y=3，①

y+z=4，②

x+z=5.③

【分析】有三种解法：（1） 直接用加减消元法解方程组；（2） 用代入消元法；（3） 用整体代换的思想.

解法一：③-②得，x-y=1，和①组成方程组解得x=2，y=1，再把y=1代入②得z=3.

解法二：由②、③得，y=4-z，x=5-z，代入①得，z=3，所以y=1，x=2.

解法三：①+②+③得，2（x+y+z）=12，所以x+y+z=6④，④-①得z=3，④-②得x=2，④-③得y=1.

例7 某班级组织学生做游戏，男生脸都涂蓝色油彩，女生脸都涂红色油彩. 做游戏时，每个男生都看见涂涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少一人，而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩人数的. 问男生，女生各有几人？

【分析】本题关键是结合生活实例，知道每个男生看到涂蓝色油彩人数不是题中男生数，而是除了自己之外的男生数. 同理，女生看到的涂红色油彩的人数也是除自己之外的女生人数.

解：设男生有x人，女生有y人.

根据题意，得

y=2（x-1）-1，

x=35（y-1）.

解之得x=12，

y=21.

答：男生有12人，女生有21人.

例8 某校组织学生到100米之外的湖边去夏令营. 汽车只能坐一半人，另一半人步行. 先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接线步行的一半人. 已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家5点钟同时到达，问需几点出发？

【分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系.

由题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半人，车之间所用的时间相同，所以根据时间来列方程组，如图所示是路程示意图，正确使用示意图，有助于分析问题，寻找等量关系.

解：设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人上车点相距y千米，根据题意，得：

x20+100-x4=100+2y20，

x-y4+100-x+y20=100+2y20.解这个方程组得x=75，

y=50.100+2y20=10.

答：需要七点钟出发.

通过以上问题的解决不难发现，解决问题的途径往往有很多，因此，在遇到问题时，要善于结合实际问题，联系已学知识，寻求简洁的解决方法.