平方差公式可以这样验证

丁楠

上周老师组织我们进行了“拼图·公式”的数学活动，大家受益颇多. 如何通过拼图验证平方差公式呢？课后，我们活动小组的四位同学进行了深入细致的探究，先后归纳出三种不同方法，现分别介绍如下.

方法一：拼成长方形

如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b），然后将阴影部分剪拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，可验证平方差公式.

验证：从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，则左图的面积可以表示为：a2-b2；将阴影部分拼成一个长方形，则右图的面积可以表示为：（a+b）（a-b）. 因为这两个阴影部分的面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b）.

方法二：拼成平行四边形

从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形（如图2）. 那么通过计算阴影部分的面积也可以验证平方差公式.

验证：从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形，则左图阴影部分的面积为a2-b2.

∵每个小等腰梯形的高为，

∴平行四边形的高等于一个等腰梯形高的2倍，即h=a-b，

∵左图阴影部分的面积与右图平行四边形的面积相等，

∴a2-b2=（a+b）（a-b）.

方法三：拼成等腰梯形

如图3，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了平方差公式.

验证：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，则剩下部分的面积为a2-b2，把剩下的部分拼成一个梯形，则梯形的面积为=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）.

赵老师点评：在数学活动中，学生分组拼图，在拼出长方形、平行四边形、等腰梯形的情况下都能验证平方差公式，他们通过活动积累了经验，体会了数形结合的数学思想，学会了把面积计算两次（抓住拼图前与拼图后面积相等）列出等式，从而提炼出平方差公式. 让同学们亲身感受到数与形的完美结合，真好！

（指导教师：赵 军）