数形结合在解题中的应用

陈贤兵

摘 要：就数形结合思想在解题中的应用问题，从“以形助数”“以数辅形”“化数为形”“以形论数”四个方面进行了研究。

关键词：数形结合；函数图象；向量；复数；圆

著名数学家华罗庚常把数学引入诗，阐述哲理。他曾经这样写道：数形本是相倚依，怎能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万岁休。几何代数统一体，永远联系莫分离。此诗把数学的具体形象——数形结合的思维方式作为载体，用节奏鲜明、生动有趣的语言，把学习数学的方法进行了辨证的阐述，体现了数形结合思想方法的重要性。以下我通过分析解决问题来体现数形结合思想的重要性。

一、以形助数

利用函数图象探讨方程的根及其分布。

例1.求方程lgx-sin x=0的解的个数。

分析：此方程解的个数即y=lgx的图象与函数y=sinx的图象的交点的个数。

解：∵sin x≤1 lgx≤1

∴0

这题是2005年湖北的一道高考题。这题若用正弦定理或余弦定理较为复杂。利用坐标向量，使得运算更为简单。但要确保两个函数图象都易作。在中学数学中，学生的常规思路是将利用平方法将无理不等式转化为有理不等式求解，以解脱根式的纠缠与困扰。但与此同时，需严格注意不等式两边的等号，往往运算烦琐冗长。若我们细心观察，抓住题目特征，因题定法，选择合理的途径，则可避开讨论，优化解题过程，提高解题效率。

三、化数为形，以形论数

有时在解题中，就数论数，往往会受阻，这时我们可应用逆向思维，先把“数”对应的“形”画出，再结合“形”去思考“数”，就会加大透明度，找到简捷准确的解题方法。

例3.已知复数Z的模为2，求Z-i的最大值。

分析：若用代数形式思考

如果用数形结合的方法来思考这道题，由Z=2知，Z表示以原点为圆心，以2为半径的圆。Z-i表示圆上到点（0，1）的距离。由图2可知其最大值，显然是过点的最远端（0，2）到该点的距离3。

由上面的解题过程可知，数形结合是学好数学的一把钥匙。它利用直观的图形来解题，巧妙地简化了大量繁琐的计算和逻辑推理过程，解题简洁明了。

在中学数学教学中，我们应经常引导学生根据图形的直观性研究数与式之间的关系。通过运用数形结合的思想来培养学生的解决问题的能力。

参考文献：

[1]黄翔.数学方法论选论[M].重庆大学出版社，1995-04.

[2]周建凯.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2009（04）.

[3]王方汉.试论数学诗与现代数学诗[J].中学数学研究，2007（07）.

编辑 韩 晓