基础共能力一卷 创新与应用齐飞

徐刚　陈发志

随着新课改的逐步深入，高考命题也不断与时俱进.纵观2015年各省市的数学高考试题，不难发现在命题方面有很多共同点，除了延续“总体稳定、深化能力立意、积极改革创新”的命题原则，还从原来的注重双基向优化双基转变，突出对创新能力和数学应用的考查.

规律揭秘：2015年高考考什么

1.立足课本重基础，平稳过渡是主流

高考试题既注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想方法，又突出对支撑学科知识体系主干内容的考查，做到了重点内容重点考查.

从上述表格中不难看出，试题的设计分别取材于构成高中数学主题框架内容的函数与导数、三角函数、数列、不等式、立体几何、解析几何、概率与统计等，不仅考查分值比例高，而且有机融合了与之相关的技能和方法.我们可以预测，2016年的高考数学仍将围绕着这些主干知识展开命题.

例1 （2015·山东卷）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y-2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

A. 或 B.或

C. 或 D.或

点评：试题考查直线与圆的位置关系，取材于人教版高中数学必修2第152页B组的第5题，一条光线从点（-2，-3）射出，经x轴反射后与圆C：（x-3）2+（y-2）2=1相切，求反射光线所在直线的方程. 很多高考试题都“源于课本，高于课本”，在课本练习的基础上经过加工改造、组合嫁接而成，这也是很多高考选择题和填空题的命题思路.

例2 （2015·上海卷）已知函数f（x）=ax2+ ，其中a为常数.

（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由.

点评：试题考查函数的核心内容“三性”中的单调性和奇偶性.函数的性质是函数的基础内容，是高中数学最基础、最典型的问题，在教材中都有很多类似的例题和习题. 这道题目根植于书本，很好地考查了考生对数学基础知识的掌握程度.同时，随着新课改的推行，导数作为工具性作用更为突出，但是数学的概念学习不会被削减，支撑起数学本质的核心概念仍然会重点考查.

2.突出主干重能力，数学思想是核心

高考试题虽然大都以常规题出现，但是从不削弱对基本能力的要求.对支撑学科知识体系的主干知识重点考查，不回避热点，同时通过多道主干知识问题的设置，淡化压轴题，突出多题把关.在突出主干知识，注重基本技能的同时，强调数学思想方法的考查，问题的设计始终以数学思想为核心，坚持能力立意，全面考查空间想象、抽象概括、数据处理、推理论证、运算求解等能力.

例3 （2015· 天津卷）已知函数f（x）= ，

函数g（x）=b-f（2-x） ，其中b∈R . 若函数y=f（x）-g（x） 恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）

A. （，+∞） B. （-∞，） C. （0，） D. （，2）

点评：本题可以将y=f（x）-g（x）的零点问题转化为函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点问题.根据图象的性质可知y=f（x）与y=-f（2-x）的图象关于点（1， 0）对称，故g（x）=b-f（2-x）为函数y=f（x）的图象关于点（1， 0）对称后上下平移|b|个单位而得到，由此做出两个函数图象，并对y=-f（2-x）的图象进行上下平移，寻求4个交点的临界位置，进而求出b的取值范围.

该题是典型的利用数形结合思想解决函数图象交点的问题.高考对数形结合的考查形式主要有集合及其运算问题（韦恩图与数轴）、用函数图象解决有关问题（如方程、不等式、函数的有关性质等）、考查运用向量解决有关问题、考查三角函数的图象及其应用、解析几何和立体几何中的数形结合等，其中尤其以结合函数图象解决性质问题最为突出.

例4 （2015·全国新课标卷I）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

点评：该题考查考生的转化与化归思想，将解三角形的原理推广运用到四边形中，要求考生打破常规思路，独立思考，积极探究.考生对解三角形的问题很熟练，平时也练得很多，如果只是陷入题海，不能转化与化归，本题也无从下手.本题解决的关键是将四边形问题转化为三角形问题，以B，C为定点，直线BC为定直线构造一个三角形BCD，然后根据∠A=75°构造一条动直线AD，从运动的规律找出点A的临界位置，从而求出AB的范围.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点.

3.创新问题重情境，文化渗透是亮点

数学源于生活与实践，数学知识是解决实际问题的有力工具，各省市高考试题都注重对问题情境的设计，通过一些涉及应用背景的创新问题，体现高考命题的实用性.

例5 （2015·全国新课标卷I）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图1，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

图1

点评：试题在设置的过程中渗透了传统文化，以《九章算术》这一古代数学中的问题为背景，考查了立体几何模型的体积计算，体现了中国文化的博大精深和源远流长.

例6 （2015·湖北卷）如图2，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.endprint

（1）圆C的标准方程为 .

（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：

① =；② -=2；

③ +=2.

其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）

点评： 本题第（2）问的设计隐含阿波尼斯圆的几何性质. 阿波尼斯圆：在平面上给定两点A、B，设P点

在同一平面上且满足=k（k>0，且k≠1）的点P的

轨迹是一个圆，它是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的. 以阿波尼斯圆为背景的高考试题并非第一次在高考试题中出现，在教材中也有其身影，如人教版数学必修2第131页B组第3题：已知点M与两个定点O（0， 0），A（3， 0）的距离之

比为，利用信息技术手段，探求点M的轨迹，并求出

它的方程.

备考锦囊：2016年高考怎么考

1. 夯实基础——咬定青山不放松

高考注重对主干知识的考查，因此我们备考时要针对主干内容（如函数、三角函数、不等式、解析几何、立体几何等）进行突破，把所学过的知识连成线、铺成面、织成网，梳理出知识结构，形成有序立体的知识网络. 在构建知识体系的过程中，可采用思维导图等方法，结合典型例题，熟知知识的前后关联、横纵比较、综合交汇，通过不断的强化训练，达到举一反三的效果.

要注重通性通法的训练，淡化技巧.在这几年的高考试题中，这一点都得以体现.对于解决一类问题的一般方法要重点训练，通过题组、变式训练等方式巩固通性通法.对于典型问题的常见思想方法要加以概括、归纳，形成方法体系网络.

2.提升能力——艺高胆大勤训练

考生要围绕《考试大纲》涉及的五种基本能力（空间想象、抽象概括、数据处理、推理论证、运算求解）的要求进行专项强化训练.这五种能力的互相关系也不同，每个考生的侧重点也不一样，如运算能力是相当一部分考生需要突破的瓶颈，尤其是解析几何综合题的求解，总是看得到思路却求不出结果.因此，我们要对解析几何复杂运算过程进行训练，通过分步运算，一个阶段给出运算目标，通过不断的目标调整提高运算能力.

3.实现创新——功夫还是在书外

创新问题的设计情境新颖，注重问题求解的多样性和思维的发散性.因此创新问题的训练应该在书外，考生要注重多个章节知识和内容的迁移交汇，通过各章节知识点的有机融合，在解题过程中看清知识发生的本源，看透知识的形成、推广和应用过程.

小编寄语：高考试题是“年年岁岁题相似”，却总是“岁岁年年意不同”，有延续、有传承，更有创新、有突破.只要肯钻研、肯学习、肯下苦功夫，高考的成功一定属于我们.endprint