基于改进的Theil不等系数及IGOWC-OWHA算子的区间型组合预测模型

张 超， 袁宏俊

(安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030)

受Bates与Granger上世纪60年代第一次系统性的探究组合预测方法［1］的影响，组合预测方法的应用得到众多相关学者的青睐，并取得了丰硕的研究成果［1-6］。但是大部分组合预测的方法都是局限于单点序列的预测，而在区间数组合预测方面较为少见。然而从实际考虑，很多数据通常以区间数的形式表现出来会显得更为合理，因此将这些区间数进行组合预测具有重要的研究意义和价值。

关于区间数的组合预测研究是一个庞大的课题，不同研究者存在不同的研究角度。文献［7-9］的方法只局限于离散区间数据的组合预测，而对于连续区间数据的预测并不适用，因此Yager于2004年通过一个态度参数将区间值集结成一个实数，构造出连续区间数有序加权平均(C-OWA)算子［10］;文献［11］把 C-OWA算子拓展为 WC-OWA算子、OWC-OWA算子以及CC-OWA算子;文献［12］综合C-OWA算子与OWGA算子构造连续区间有序加权几何平均(C-OWGA)算子;文献［13］提供了连续区间数广义有序加权平均(C-GOWA)算子;文献［14］结合 IOWA算子与 C-GOWA算子构造出IOWC-GOWA算子;文献［15］综合IOWA算子和C-OWA算子，构造出一种诱导连续区间有序加权平均(IC-OWA)算子;文献［16］综合C-OWA算子与OWHA算子构造出连续区间有序加权调和平均(C-OWHA)算子，并在此基础上提出了加权调和的C-OWHA(WHC-OWHA)算子、有序加权调和的C-OWHA(OWHC-OWHA)算子和组合的C-OWHA(CC-OWHA)算子。

受上述研究成果启发，文中将IGOWA算子与C-OWHA算子加以综合，构造出一种诱导广义有序加权的C-OWHA(IGOWC-OWHA)算子，并研究其部分性质。选取改进的Theil不等系数作为相关性指标，建立新型组合预测模型，最后通过算例分析证实该方法在提高预测精度方面具有显著效果。

1 基本定义

定义1［4］假设fw:Rn→R为n元函数，倘若

定义2［16］设［a，b］为区间数，称

为连续区间数有序加权调和平均(C-OWHA)算子，其中Q(y):［0，1］→［0，1］为基本的单位区间单调(BUM)函数且满足:Q(0)=0;Q(1)=1;当y1＞y2时，有Q(y1)≥Q(y2)。

定义3［16］给定基本单位区间单调(BUM)函数Q(y)，记

的态度参数。

由定义3及式(2)可得

定义4［6］假设〈v1，a1〉，〈v2，a2〉，…，〈vn，an〉为 n个二维数组，令

2 IGOWC-OWHA算子及其性质

尽管C-OWHA可以集结连续的区间数，可是C-OWHA算子仅局限于解决单一区间数据的集结问题，如果想要集结更多区间数据的信息，还需对C-OWHA算子予以扩展。

定义5 假定［ai，bi］是一组区间数，〈v1，［a1，b1］〉，〈v2，［a2，b2］〉，…，〈vn，［an，bn］〉是二维数组，设 g:Ω+→ R+，若

IGOWC-OWHA算子的特点在于:首先运用定义2中的C-OWHA算子集结每个区间［ai，bi］的全部数据，再将集结后的全部数据运用定义4的IGOWA算子集结。根据定义5不难证明以下性质［16］。由于篇幅有限，文章仅给出单调性证明过程。

定理1(单调性)对于任意的 i=1，…，n，若有ai≥a'i，bi≥ b'i则

证将式(5)两侧取以ex为底的对数，得

两侧对av-index(i)分别求导得

在上式中，由于

则

所以函数g关于av-index(i)单调递增。同理可得，函数g亦关于bv-index(i)单调递增。

由命题假设可知，ai≥ a'i，bi≥ b'i，得

又函数g均关于av-index(i)和bv-index(i)单调递增，故

即

所以命题得证。

定理2(幂等性)对于任意的 i=1，…，n，若有［ai，bi］ = ［a，b］，则

定理3(介值性)若［ai，bi］(i=1，2，…，n)是任一区间数组，且0＜ai＜bi，则存在

定理4(置换不变性)设 π =(π(1)，π(2)，…，π(n))是(1，…，n)的任一置换，得到

3 基于改进的Theil不等系数的IGOWC-OWHA算子的区间组合预测模型

设某一区间时序的观测值为xt=［at，bi］(t=1，2，…，N)，同时 xt也可等价表示成 xi= ［ct，ri］(t=1，2，…，N)，其中

分别记作区间数xt的中心与半径，假定用于预测的单项方法有m种，且它们都应用到组合预测当中，设第i种方法在第t时点的单项预测值为=，)，同样也可以等价成=)，i=1，2，…，m，t=1，2，…，N。wi是第 i种单项方法在组合预测中的权重

定义6 令

则称vit为第i单项方法在第t时点的预测精度，vit∈［0，1］。将 vit当做预测值()的诱导变量，由此可以根据每一个vit以及与之相对应的构建m个二维数组，即〈vmt，［］〉。根据定义3 以及定义5 可推出如下几个算式:令

其中，yt为实际区间值由C-OWHA算子生成的时刻实际集结值是由C-OWHA算子生成的各个单项方法各个时刻预测值的单项预测集成值为由IGOWC-OWHA算子生成的t时刻组合预测集成值;W=(w1，w2，…，wm)T是 m种单项方法在组合预测中的权向量，满足，显然 wi≥ 0，i=1，2，…，m;v-index(i)是 v1，v2，…，vn遵循由大到小的原则排列后序号为i的数的下标。

Theil不等系数常常被用来评价预测效率的优劣，为此文中将其作为相关性指标，对区间组合预测效率予以评价。

定义7［3］令

将 τ(Yt，)称作实际值 yt(t=1，2，…，N)与组合预测值(t=1，2，…，N)间改进的Theil不等系数，τ(Yt)∈［0，∞)。τ(Yt)越低表明预测效率越高。

当实际值yt(t=1，2，…，N)等于组合预测值^yt(t=1，2，…，N)时，它们相应的 τ(Yt，)值将会是最低值，即τ(Yt)=0。又因为τ(Yt)是所有单项方法权重w1，w2，…，wm的函数，所以可表示成τ(w1，w2，…，wm)。故基于改进的 Theil不等系数及IGOWC-OWHA算子的最优组合预测模型如下所示:

该模型可借助LINGO软件进行求解。

4 实例分析

出于检验IGOWC-OWHA算子的区间型组合预测模型是否有效的目标，文中直接采用文献［7］的数据作为参考资料。但是文献［7］只给出3种单项预测方法的预测数据，并没有对这3种单一方法性质进行比较。所以，基于区间组合预测研究领域的局限性，文中无法给出3种单一方法性质的比较，将重点讨论区间组合预测模型与3种单一模型预测精度的比较。

表1列出了区间实际数据和单项方法预测数据。

表1 区间实际数据和单项方法预测数据Tab.1 Interval actual data and individual method forecast data

依据式(7)计算得到各个单项方法在各个时间点的预测精度数据，如表2所示。

表2 预测精度数据Tab.2 Prediction accuracy of the data

由式(8)可以计算出实际区间值由C-OWHA算子所生成的t时刻实际集成值yt。由于yt中的态度参数θ由BUM函数Q(y)决定，所以为了便于比较，文中分别取Q1(y)=y2;Q2(y)=y3。则

表3给出由上述两个态度参数计算得到的实际区间集成值。

表3 实际区间集成数据Tab.3 Integrated data of the actual interval

根据表2中的诱导变量及式(10)计算IGOWC-OWHA算子生成的组合预测集成值^yt，为了便于比较，分别取λ1=1，λ2=2，λ3=3，λ4=4，λ5=5这5个参数进行讨论。共有10种情况，依次予以计算。

1)当θ=1/3时，以λ=2为例，计算过程如下:

将上述表达式与表3中的θ1=1/3时的实际区间数集成值代入到单目标最优模型式(12)中，再运用Lingo15软件解得最优权重向量为

除此之外，当λ取1，3，4，5时，对应的最优权重向量分别为

2)当θ=1/4时，以λ=3为例，计算过程如下:

将上述表达式与表3中的θ2=1/4时的实际区间数集成值代入到单目标最优模型式(12)中，再运用Lingo15软件解得最优权重向量为

除此之外，当λ取1，2，4，5时，对应的最优权重向量分别为

为了证明区间组合预测模型是否有效，可选取MSEP，MSEL，MSEI，MRIE 作为评价准则:

1)平均区间位置误差平方和

2)平均区间长度误差平方和

3)平均区间误差平方和

4)平均相对区间误差和

表4给出相应的分析结果。

表4 误差指标Tab.4 Error indicators

观察表4易知，基于 Theil不等系数及IGOWC-OWHA算子的区间型组合预测模型的MSEP，MSEI，MRIE都显著小于各单项方法误差指标值，虽然MSEL指标不够显著，但并不是最大的，因此该区间组合预测新方法至少是非劣性的。综合来看，基于Theil不等系数及IGOWC-OWHA算子的区间型组合预测模型可以显著提高预测精确度。

5 结语

大多数组合预测方法仅局限于离散区间数据的组合预测，但对于连续区间数据的组合预测较为少见。对连续区间数组合预测是一个全新的研究方向，文中提出一种更加有效的方法。文中引入IGOWA算子与C-OWHA算子结合，构造出诱导广义有序加权的C-OWHA(IGOWC-OWHA)新型算子。由于该算子可以集结多个区间数据的信息，所以可以将其应用于连续区间数的组合预测中。利用IGOWC-OWHA算子，再结合改进的Theil不等系数作为相关性指标，构建区间型组合预测新模型，并经过算例验证了其有效性，揭示出该方法在提高预测精度方面具有显著效果。但是，文中考虑的θ和λ情况有限，是否存在某个θ值和λ值使预测效果更加精确还需要通过进一步研究。

［1］Bates J M，Granger C W J.The combination of forecasts［J］.Operational Research Society，1969，20(4):451-468.

［2］王应明.基于相关性的组合预测方法研究［J］.预测，2002，21(2):58-62.

WANG Yingming.Research on the methods of combining forecasts based on correlativity［J］.Forecasting，2002，21(2):58-62.(in Chinese)

［3］陈华友.基于Theil不等系数的组合预测模型的性质［J］.电子科技大学学报，2004，33(1):105-108.

CHEN Huayou.Properties of combination forecasting models based on theil coefficient［J］.Journal of UEST of China，2004，33(1):105-108.(in Chinese)

［4］陈华友，刘春林，盛昭瀚.IOWHA算子及其在组合预测中的应用［J］.中国管理科学，2004，12(5):35-40.

CHEN Huayou，LIU Chunlin，SHENG Zhaohan.Induced ordered weighted harmonic averaging(IOWHA)operator and its application to combination forecasting method［J］.Chinese Journal of Management Science，2004，12(5):35-40.(in Chinese)

［5］袁宏俊，陈华友，胡凌云.基于指数支撑度的最优组合预测模型及其性质研究［J］.应用概率统计，2012，28(2):150-160.

YUAN Hongjun，CHEN Huayou，HU Lingyun.Research on the optimal combination forecating model and its properties based on exponential supporting degree［J］.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2012，28(2):150-160.(in Chinese)

［6］杨蕾，陈华友，王宇.基于贴近度的诱导广义OWA算子最优组合预测模型［J］.统计与决策，2013，377(5):24-26.

YANG Lei，CHEN Huayou，WANG Yu.The optimal combination forecating model based on closeness degree and induced generalized ordered weighted averaging(OWA)operator［J］.Statistics and Decision，2013，377(5):24-26.(in Chinese)

［7］徐惠利，吴柏林，江韶珊.区间时间序列预测精准度探讨［J］.数量经济技术经济研究，2008，25(1):133-140.

XU Huili，WU Bolin，JIANG Shaoshan.On forecasting efficiency evaluation for interval time series［J］.The Journal of Quantitative and Technical Economics，2008，25(1):133-140.(in Chinese)

［8］陈华友，李翔，金磊，等.基于相关系数及IOWA算子的区间组合预测方法［J］.统计与决策，2012，354(6):83-86.

CHEN Huayou，LI Xiang，JIN Lei，et al.The methods of interval combination forecasting based on the correlation coefficient and induced ordered weighted averaging(IOWA)operator［J］.Statistics and Decision，2012，354(6):83-86.(in Chinese)

［9］胡凌云，袁宏俊.基于左右端点的IOWGA算子的区间型组合预测模型［J］.统计与决策，2013，383(11):22-25.

HU Lingyun，YUAN Hongjun.The inlerval combination forecasting model based on the left-right endpoint and induced ordered weighted geometric averaging(IOWGA)operator［J］.Statistics and Decision，2013，383(11):22-25.(in Chinese)

［10］Yager R R.OWA aggregation over a continuous interval argument with applications to decision making［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B，2004，34(5):1952-1963.

［11］徐泽水.拓展的C-OWA算子及其在不确定多属性决策中的应用［J］.系统工程理论与实践，2005，25(11):7-13.

XU Zeshui.Extended C-OWA operators and their use in uncertain multi-attribute decision making［J］.Systems Engineering-Theory and Practice，2005，25(11):7-13.(in Chinese)

［12］Yager R R，XU Z S.The continuous ordered weighted geometric operatorand its application to decision making［J］.Fuzzy Sets and Systems，2006，157(10):1393-1402.

［13］Yager R R.Generalized OWA aggregation operators［J］.Fuzzy Optimization and Decision Making ，2004，3(1):93-107.

［14］江立辉，陈华友，丁芳清，等.基于IOWC-GOWA算子的区间组合预测模型［J］.计算机工程与应用，2015，51(3):50-54.

JIANG Lihui，CHEN Huayou，DING Fangqing，et al.Combination forecasting model based on induced ordered weighted continuous generalized ordered weighted averaging operator［J］.Computer Engineering and Applications，2015，51(3):50-54.(in Chinese)

［15］周礼刚，陈华友，王晓，等.诱导连续区间有序加权平均算子及其在区间数群决策中的应用［J］.控制与决策，2010，25(2):179-184.

ZHOU Ligang，CHEN Huayou，WANG Xiao，et al.Induced continuous ordered weighted averaging operators and their applications ininterval group decision making［J］.Control and Decision，2010，25(2):179-184.(in Chinese)

［16］陈华友，刘金培，王慧.一类连续区间数据的有序加权调和(C-OWH)平均算子及其应用［J］.系统工程理论与实践，2008，28(7):86-12.

CHEN Huayou，LIU Jinpei，WANG Hui.A class of continuous ordered weighted harmonic(C-O W H)averaging operators for interval argument and its applications［J］.Systems Engineering-Theory and Practice，2008，28(7):86-12.(in Chinese)