具有自适应耦合强度的驱动响应网络牵制同步控制

温博慧，赵 末

（1.天津财经大学经济学院金融系，天津300222；2.中国民航大学民航空管研究院，天津300222）

具有自适应耦合强度的驱动响应网络牵制同步控制

温博慧1，赵 末2

（1.天津财经大学经济学院金融系，天津300222；2.中国民航大学民航空管研究院，天津300222）

在系统耦合矩阵无需对称可约的无限制条件下，将具有自适应时变特性的耦合强度作为系统模型，利用李雅普诺夫稳定性理论、舒尔补引理和自适应技术，提出一种实现复杂网络间牵制外同步的判别条件，能有效权衡耦合强度、控制器增益和控制器数量三者之间的关系，并通过调整系统参数求得影响驱动响应网络的控制器数量。数值仿真结果表明，以洛仑兹系统为代表的广义复杂网络间能实现外同步，从而验证该判别条件的正确性，且不同类型金融市场间收益行为的仿真同步控制结果接近于实际同步结果。

复杂网络；牵制控制；自适应；耦合强度；同步；控制器

1 概述

复杂网络的泛在性与科学性在现实领域中已被广泛认知［1-2］，其分析过程需系统科学、计算机科学与控制理论相结合的交叉特质，促使不同领域的研究者提出了诸多网络模型，以期更逼真地描述和有效调控现实世界［3-4］。在动态复杂网络中，最引人注目的现象之一是同步效应［5-6］，其可被划分为内部同步［7］和外部同步［8］2类。内部同步指同一网络内的集体行为，外部同步则指同步发生在2个或更多网络之间，而不论内部同步是否发生。随着复杂动态网络外同步问题研究的不断深入，人们需要进一步思考和关注的问题是：如果存在网络内部节点间状态同步的计算准则，那么当网络内节点未实现动力行为统一时，是否存在网络间节点同步，即网络外同步的判别准则，并且如何通过控制手段结合网络特性提高网络性能并进行行为控制。

本文在系统耦合矩阵不必对称可约的无限制条件下，针对具有自适应耦合强度的驱动和响应网络牵制外同步问题，利用李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论、舒尔补（Schur）引理和自适应技术，提出一个能够实现牵制外同步的数值条件，并通过调整系统参数值影响响应系统网络中所需添加的控制器个数。该方法能够有效权衡耦合强度、控制器增益和控制器数量的关系，实现成本最小化。由于不同类需协调控制的网络间耦合权值不是某一固定常数，而是实时变化的，因此将具有自适应时变特性的耦合强度作为系统模型。

2 相关知识

牵制控制通过对复杂网络中部分节点施加控制来确保整个网络实现同步［9］，避免了传统控制研究中对网络海量节点逐一添加控制器的繁琐和弊端，简化了耦合拓扑配置，从而节约成本［10］。牵制控制因其优势，成为近期学者们的研究热点。相关研究通过Lyapunoy稳定性理论和自适应技术取得了牵制外同步实现的系列条件。文献［11］借助变分方程计算得出的最大Lyapunoy指数判断网络外同步是否能够实现；文献［12］针对网络耦合特性提出一种用于判断外同步实现的数值条件；文献［13］针对时滞效应计算了牵制外同步的实现准则。需要说明的是，虽然在对内同步问题的研究中通常要求网络节点都具有连通性，即整个系统不存在孤立节点，用数学语言描述即为系统耦合矩阵具有对称可约性，但2个或多个系统之间完全对称的情况很少出现，外同步实现时允许内部节点孤立，即存在外部耦合矩阵（即节点间外同步关系的数值表现）非对称可约性的现实。然而，上述文献计算过程均需系统外部耦合矩阵具备对称可约性，易导致建模合理性的失衡和无法对系统结构与动态特征做出正确解析［14］。因此，本文忽略了对系统外部耦合矩阵对称可约的限制，包容系统内部孤立节点的存在，降低了对系统结构的约束，使其所得牵制外同步实现条件、控制策略及优化方法具有更广泛的应用范围。

此外，系统耦合强度、控制器增益和牵制控制数量间存在相互制约关系。耦合强度变化对外同步实现的影响强调了将具有自适应耦合强度复杂网络纳入研究的重要意义。由此，如何衡量系统耦合强度、控制器增益和牵制控制数量三者的数值关系，计算网络间牵制外同步实现的最小控制器数量，以及如何通过参数调整对外同步实现进行控制调节，成为需要进一步研究的问题。

3 模型构建与引理推证

3.1 具有自适应耦合强度的驱动响应网络模型

本文在文献［10-13］模型的基础上，降低对系统外部耦合矩阵对称可约的要求，引入一个由M个相同的、具有自适应耦合结构的节点构成的复杂网络，且网络中每一个节点都是一个M维动力系统。广义驱动系统复杂网络的状态方程表达式为：

其中，i=1，2，…，M；f（·）为描述节点动态特征的非线性函数；χi（t）=（χi1（t），χi2（t），…，χim（t））T∈Rm是节点i的状态变量；c（t）表示自适应耦合强度；H=（hij）∈RM×M为系统外部耦合矩阵，其对角线元素hii=-∑Mj=1，j1ihij，若节点i，j（i≠j）相关，则hij＞0，否则hij=0；矩阵A为驱动网络中能够反映任意两节点状态间耦合关系的内部耦合矩阵。

对应驱动系统，将具有自适应耦合强度的响应系统复杂网络模型表述为：

其中，yi（t）为响应系统网络中节点的状态变量；n表示牵制控制器数量。式（2）中其余参数与式（1）中对应参数涵义相同。上述2个系统模型中，外部耦合矩阵H无对称可约限制。

3.2 相关引理证明

鉴于诸如洛伦兹（Lorenz）系统、Chen系统、Lü系统以及其他系列一致性混沌系统已被验证为满足利普希茨（Lipschitz）条件，本文假设f（·）满足如下不等式：

根据Schur引理［14］，或任意成立等价于线性不等式（简称LM I）成立，其中，A（χ）=（A（χ））T；C（χ）=（c（χ））T。于是可得如下引理：引理 若矩阵其中，B1=diag（b1，b2，…，br）为一对角正定矩阵A¯，B¯∈RM×M，A1，B1∈RT×T（1≤r＜M），且AT1=A1，则当bi（1≤i≤r）足够大时，A2＜0与A¯-B¯＜0等价。

该引理可用于推证具有自适应耦合强度的驱动响应网络牵制外同步的实现条件。

4 实现牵制外同步的数值条件

系统耦合强度与控制器增益和牵制控制器数量之间存在相互影响，在自适应耦合强度复杂网络下研究三者的关系，不仅可以得到网络牵制外同步实现的数值条件，而且可计算获得牵制外同步实现的最小控制器数量。自适应牵制控制器设计如下：

其中，i=1，2，…，n；θ为正常数；ri（t）=yi（t）-χi（t）表示驱动响应网络系统误差向量；Ki（t）表示牵制控制器增益。对于1≤i≤n，若di＞0，则Ki（t）与c（t）成正比，即控制器增益正比于网络系统耦合强度。

将牵制控制器的表达式（4）代入系统误差模型（式（5））：

将外部耦合矩阵H的对角线元素hii替代为（ρmin/γ）hii，得到H的修正矩阵H∧，记为的最小特征根，γ=A。

构造一个Lyapunoy函数V（t）如式（6）所示：

其中，α和c¯为待定常数。

根据牵制控制器表达式（4）和系统误差模型式（5），该函数在式（5）解的方向上关于时间t的导数为：

其中：

记λmin为的最小特征值，为Hμ的最大特征值。根据引理，等价于当α充分小且¯c充分大时此时，具有自适应耦合强度的驱动和响应系统网络在自适应牵制控制器（式（4））的作用下可以实现外同步。因此，得出基于具有自适应耦合强度的驱动和响应系统网络间牵制同步实现的数值条件：

条件 当利Lipschitz条件成立时，如果存在自然数n（1≤n＜M）满足：

其中，α为正常数；当γ=A时，具有自适应耦合强度的驱动与响应复杂网络在如式（4）所示的自适应牵制器作用下可以实现牵制外同步。

数值条件中含有网络节点间耦合强度、牵制控制器数量和牵制控制器增益，是一种可以权衡三者关系的折中性判断依据。式（8）中α的变化可以对不等式起到调节作用，从而影响最小控制器数量。

5 数值仿真验证

本文仿真验证分为广义性质验证和具体领域实例验证两部分。首先进行广义性质验证。由于研究目的之一是得出具有自适应耦合强度的2个广义系统间实现外同步的判别条件。根据同步定义，在时间t趋于无穷时，若系统间对应节点能够实现对象状态一致，则认为这2个系统实现外同步。据此，将该问题转化为误差系统的稳定性问题，即若在时间t趋于无穷时，系统中对应节点间的误差趋于0，则认为系统对应节点间实现同步。为得出在时间t趋于无穷时，系统中对应节点间误差趋于0的判定条件，应用稳定性理论中的Lyapunov第二稳定性理论，选取适当的Lyapunov函数，利用该函数导数小于0得出系统能够实现稳定且误差趋于0的判别条件。由于Lorentz系统已被验证为满足Lipschitz条件，一般性地，选择由6个节点构成的复杂网络，且网络中任一节点均由具有典型混沌特性的洛伦兹系统构成。洛伦兹系统的数学描述模型如式（9）所示：沌特征的非线性动力系统。当时，系统具有混沌特性。由于Lorentz系统存在有界性［15-16］，满足Lipschitz条件，因此式（3）成立。

选取具有自适应变化的函数作为驱动和响应系统网络的耦合强度。根据引理和式（9）约定的参数δ=60.318，θ=0.004，n=3，di=50，i=1，2，…，n。对自适应耦合强度c（t）和剩余状态变量的初始值，在区间（0，1）内进行随机选取。在本例中，选取α=3验证响应系统网络中牵制节点数量所产生的影响。

具有自适应耦合强度的驱动和响应系统复杂网络中对应6个节点的误差状态曲线如图1～图3所示。图1表示广义驱动与响应系统中对应节点实现同步过程中，对应误差的变化曲线。由图1可知，在t=4后2个系统间对应节点的第1种状态间的误差

Lorentz系统为一类在指定参数下具有明显混趋于0，也即系统间节点对应的第1种状态完全实现同步。图2和图3表示对应节点间的第2和第3种状态间对应的误差变化曲线。可见，当t趋向无穷时，系统间对应节点可以完全实现同步，即本文所得理论具有可行性。

图1 具有自适应耦合强度的驱动响应系统误差状态ri1

图2 具有自适应耦合强度的驱动响应系统误差状态ri2

图3 具有自适应耦合强度的驱动响应系统误差状态ri3

鉴于在应用领域中金融市场已被证实具有复杂网络特性，以及其间同步问题的存在性和收益数据的易得性，笔者继而进行以我国不同类型金融市场，股票市场、国债市场和股指期货市场间收益行为的同步控制作为广义性质仿真后的具体应用领域验证。针对各金融市场，选择2010年9月20日-2014年9月30日上证综指、上证国债指数和股指期货指数的日度收益率序列，以相关性对各市场建网，用数值仿真的形式得出系统对应节点间实现外同步的判别条件，验证本文所得理论结果的有效性。表征其网间外同步的误差演化形式如图4所示。在本文模型参数约束下，其在2011年附近误差接近于0，与实际市场在2011年3月所表现出的高同步时的点接近一致。

图4 不同类型金融市场的系统误差状态

6 结束语

本文基于Lyapunov稳定性理论、Schur引理和自适应技术，提出一种复杂网络间牵制外同步的判别条件，所得判别条件通过代数表达式进行表达，与现有矩阵不等式方法相比，该方法具有适用范围广的优点，无需对外部耦合矩阵进行对称可约约束，通过模型参数调整响应系统中需要添加的控制器数量，能有效权衡耦合强度、控制器增益和控制器数量三者间的关系，降低成本。从广义应用价值角度，本文研究适用于不同领域间控制协调和网络间拥塞控制，从狭义应用价值角度，适用于不同类型金融市场间行为的协调分析和信息网络间拥塞的外同步滞后控制。鉴于数据可得性，选择以不同类型金融市场间收益行为的协调作为广义性质仿真后的具体性验证。在后续研究中可将本文研究延伸至经济金融政策的协调设计，对优化网络结构、提高系统稳定性具有借鉴作用。

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编辑 陆燕菲

Pinning Synchronization Control of Drive and ResPonse Network with AdaPtive CouPling Strength

WEN Bohui1，ZHAO Mo2
（1.Department of Finance，School of Economics，Tianjin University of Finance and Economics，Tianjin 300222，China；2.Institute of Civil Aviation Air Traffic Control，Civil Aviation University of China，Tianjin 300222，China）

Under the condition that the system coup ling matrix is not required to be symmetric，the coupling strength of adaptive time varying characteristics is used as the system model，this paper makes adaptive time-varying characteristic of the coup ling strength as a model of the system Without symmetry restriction.Based on the Lyapunov stability theory，the lemma of Schur and adaptive technique，the discriminant condition can realize pinning external synchronization between comp lex network.The discriminant condition considers the relationship among the coupling strength，controllers numbers and the controller gain，and it has important realistic significance in engineering design，and the minimum number of controller by parameters can be adjusted.Numerical simulations in Lorentz system are given to illustrate the effectiveness of discriminant condition，and synchronous control simulation results of earnings behavior between different types of financial markets and also close to the real high synchronization in financial markets.

com plex network；pinning control；adaptive；coup ling strength；synchronization；controller

温博慧，赵 末.具有自适应耦合强度的驱动响应网络牵制同步控制［J］.计算机工程，2015，41（9）：126-130.

英文引用格式：Wen Bohui，Zhao Mo.Pinning Synchronization Control of Drive and Response Network with Adaptive Coup ling Strength［J］.Computer Engineering，2015，41（9）：126-130.

1000-3428（2015）09-0126-05

A

TP273

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.09.022

国家自然科学基金青年基金资助项目（71103126）；天津财经大学优秀青年学者培育计划基金资助项目（YQ1204）。

温博慧（1981-），女，副教授、博士，主研方向：复杂网络控制；赵 末，助理研究员、博士。

2014-09-19

2014-10-25 E-m ail：m im iwenh@163.com